专题四 曲线运动(讲解部分)课件

专题四曲线运动高考物理专题四曲线运动高考物理考点一曲线运动、运动的合成与分解考点清单一、质点运动类型的分类及条件

考点一曲线运动、运动的合成与分解考点清单一、质点运动类型的2二、曲线运动的定义、条件和特点

曲线运动说明定义轨迹是一条曲线的运动叫做曲线运动一般曲线运动可看成是几个直线运动的合运动条件质点所受合外力的方向跟它的速度方向①不在同一直线上

(v0≠0,F≠0)加速度的方向跟速度的方向不在同一直线上特点(1)轨迹是一条曲线(2)某点的瞬时速度的方向,就是通过这一点的②切线

的方向(3)曲线运动的速度方向时刻在改变,所以是变速运动,必具有加速度(4)合外力F始终指向运动轨迹的③内侧

(1)加速度可以是不变的,这类曲线运动是匀变速曲线运动,如平抛运动(2)加速度可以是变化的,这类曲线运动是变加速曲线运动(或非匀变速曲线运动),如圆周运动二、曲线运动的定义、条件和特点曲线运动说明定义轨迹是一条曲3三、运动的合成与分解1.合运动与分运动的关系2.运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量,所以合成与分解都遵循⑦

平行四边形定则

。等时性各分运动经历的时间与合运动经历的时间④

相同

独立性一个物体同时参与几个分运动,各分运动⑤独立

进行,不受其他分运动的影响等效性各分运动叠加起来与合运动有⑥相同

的效果三、运动的合成与分解2.运动的合成与分解的运算法则等时性各分43.运动的合成与分解已知分运动求合运动,叫做运动的合成;已知合运动求分运动,叫做运动的

分解。分运动与合运动是一种⑧等效替代

关系,运动的合成与分解是研究曲

线运动的一种基本方法。4.两个直线运动的合运动性质的判断标准:看合初速度方向与合加速度方向是否共线。两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线,为匀变速直线运动

如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动3.运动的合成与分解两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速5一、平抛运动1.平抛运动(1)定义:水平抛出的物体只在①重力

作用下的运动叫做平抛运动。(2)性质:加速度为②重力加速度g

的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线。(3)研究方法:平抛运动可以分解为水平方向上的③匀速直线

运动和竖

直方向上的④自由落体

运动。(4)运动时间和射程t=

仅取决于竖直下落的高度;射程x=v0

取决于竖直下落的高度和初速度。考点二抛体运动一、平抛运动考点二抛体运动62.平抛运动的规律以抛出点为坐标原点,以初速度v0方向为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向,

如图所示,则有水平方向分速度:vx=v02.平抛运动的规律7竖直方向分速度:vy=gt合速度大小:v=

tanθ=

(θ为速度与水平方向的夹角)水平方向分位移:x'=v0t竖直方向分位移:y'=

gt2合位移:x合=

tanβ=

(β为位移方向与水平方向的夹角)竖直方向分速度:vy=gt8二、斜抛运动1.斜抛运动的定义将物体以速度v0斜向上方或斜向下方抛出,物体只在⑤重力

作用下的

运动。2.运动性质加速度为⑥重力加速度g

的匀变速曲线运动,轨迹为抛物线。3.基本特点(以斜向上抛为例说明,如图所示)

(1)水平方向:v0x=⑦

v0·cosθ

,F合x=0。(2)竖直方向:v0y=⑧

v0·sinθ

,F合y=mg。二、斜抛运动(1)水平方向:v0x=⑦

v0·cos9一、描述圆周运动的物理量

定义、意义公式、单位

(1)描述做圆周运动的物体①

运动快慢

的物理量(v)(2)是②矢量

,方向和半径垂直,和圆周③相切

a.v=

,v=

b.单位:m/s

(1)描述物体④绕圆心转动

快慢的物理量(ω)(2)是矢量,但中学阶段不研究其方向a.ω=

,ω=

b.单位:rad/s

(1)周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周⑤运动一周

的时间(T);周期的倒数等于频率(f)(2)转速是物体单位时间内转过的圈数(n)a.T=

,单位:sb.f=

,单位:Hzc.n的单位:r/s、r/min考点三圆周运动一、描述圆周运动的物理量定义、意义公式、单位 (1)描述做10续表

定义、意义公式、单位

(1)描述速度⑥方向

变化快慢的物理量(a)(2)方向指向圆心a.a=

=rω2b.单位:m/s2

(1)作用效果是产生⑦向心

加速度(2)方向始终指向⑧圆心

a.F=ma=

=mω2r=mωvb.单位:N

(1)T=

(2)v=rω=

r=2πfr(3)a=

=rω2=ωv=

=4π2f2r(4)t=

·T

续表定义、意义公式、单位 (1)描述速度⑥方向

变11二、离心现象当提供的向心力小于所需向心力时,物体将远离原来的轨道的现象叫离心

现象。从力的角度分析物体的运动:1.匀速圆周运动:F合=mrω2。2.离心运动:F合<mrω2。3.向心运动:F合>mrω2。二、离心现象12拓展一平抛运动的两个重要推论推论一做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处,设其末速

度方向与水平方向的夹角为θ,位移与水平方向的夹角为φ,则tanθ=2tanφ。证明:如图甲所示,由平抛运动规律得tanθ=

=

,tanφ=

=

=

,所以tanθ=2tanφ。知能拓展拓展一平抛运动的两个重要推论知能拓展13推论二做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长

线一定通过此时水平位移的中点。如图乙中所示B点。证明:设平抛物体的初速度为v0,从原点O到A点的时间为t,A点坐标为(x,y),B

点坐标为(x',0),则x=v0t,y=

gt2,v⊥=gt,又tanθ=

=

,解得x'=

。即末状态速度反向延长线与x轴的交点B必为此刻水平位移的中点。注意(1)在平抛运动过程中,位移矢量与速度矢量永远不会同线。(2)推论一中的tanθ=2tanφ,但不能误认为θ=2φ。推论二做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向14例1

(2018河北定州期中,10)如图所示,在足够长的斜面上A点,以水平速

度v0抛出一个小球,不计空气阻力,它落到斜面上所用的时间为t1;若将此球

改用2v0水平速度抛出,它落到斜面上所用时间为t2,则t1∶t2为

()A.1∶1

B.1∶2

C.1∶3

D.1∶4例1

(2018河北定州期中,10)如图所示,在足够长15解析斜面倾角的正切值tanθ=

=

=

,则运动的时间t=

,知运动的时间与平抛运动的初速度有关,初速度变为原来的2倍,则运动时间

变为原来的2倍,所以t1∶t2=1∶2。故B正确,A、C、D错误。解法二两次小球从斜面上同一点水平抛出,落到同一斜面上,即两次球的

位移偏转角相同,由推论一可知,落到斜面时速度的偏转角一定相同,由tan

α=

,vy=gt,得t=

,故

=

=

,选项B正确。答案

B

解析斜面倾角的正切值tanθ= = = ,则运动的时间t16拓展二多个物体的平抛运动1.若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出,则两物体始终在同一高度,二

者间距只取决于两物体的水平分运动。2.若两物体同时从不同高度抛出,则两物体高度差始终与抛出点高度差相

同,二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定。3.若两物体从同一点先后抛出,两物体竖直高度差随时间均匀增大,二者间

距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。4.两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处,两物体必须同时

到达此处才会相遇。拓展二多个物体的平抛运动17例2如图所示,A、B两小球从相同高度同时水平抛出,经过时间t在空中相

遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍,则两球从抛出到相遇经过的时

间为

()A.t

B.

t

C.

D.

解析本题考查平抛运动、运动的独立性。依据运动的独立性原理,在水

平方向上,两球之间的距离d=(v1+v2)t=(2v1+2v2)t',得t'=

,故选项C正确。答案

C

例2如图所示,A、B两小球从相同高度同时水平抛出,经过时间18一、做圆周运动的常见模型拓展三圆周运动的动力学分析图形受力分析建立坐标系利用向心力分析

Fcosθ=mgFsinθ=mω2lsinθ

Fcosθ=mgFsinθ=mω2(d+lsinθ)一、做圆周运动的常见模型拓展三圆周运动的动力学分析图形受力19

FNcosθ=mgFNsinθ=mω2r

F升cosθ=mgF升sinθ=mω2r

FN=mAgF=mBg=mAω2r   FNcosθ=mg   F升cosθ=mg  20

Ff=mgFN=mrω2(Ff≤μFN)

FN=mgFf=mrω2(Ff≤μFN)

Ffcosθ+FNsinθ=mgFfsinθ-FNcosθ=mrω2(Ff≤μFN)   Ff=mg   FN=mg   Ffcosθ+FN21二、常见传动装置及其特点1.共轴传动A点和B点在同轴的圆盘上,如图甲,圆盘转动时,它们的线速度、角速度、

周期存在以下定量关系:ωA=ωB,

=

,TA=TB,并且转动方向相同。

甲

乙

二、常见传动装置及其特点222.皮带传动A点和B点分别是两个轮子边缘上的点,两个轮子用皮带连起来,并且皮带

不打滑。如图乙,轮子转动时,它们的线速度、角速度、周期存在以下定量

关系:vA=vB,

=

,

=

,并且转动方向相同。2.皮带传动233.齿轮传动A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点,两个齿轮轮齿啮合。如图,齿轮转

动时,它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系:vA=vB,

=

=

,

=

=

。式中n1、n2分别表示两齿轮的齿数。两点转动方向相反。注意在处理传动装置中各物理量间的关系时,关键是确定其相同的量

(线速度或角速度),再由描述圆周运动的各物理量间的关系,确定其他各量

间的关系。3.齿轮传动24例3如图所示,B和C是一组塔轮,B和C半径不同,但固定在同一转动轴上,

其半径之比为RB∶RC=3∶2。A轮的半径大小与C轮相同,它与B轮紧靠在

一起,当A轮绕过其中心的竖直轴转动时,由于摩擦作用,B轮也随之无滑动

地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点,则a、b、c三点在运动过

程中的

()A.线速度大小之比为3∶2∶2B.角速度大小之比为3∶3∶2C.转速大小之比为2∶3∶2D.向心加速度大小之比为9∶6∶4例3如图所示,B和C是一组塔轮,B和C半径不同,但固定在同25解析轮A、轮B靠摩擦传动,边缘上的点线速度相等,故:va∶vb=1∶1根据公式v=rω,有:ωa∶ωb=3∶2根据ω=2πn,有:na∶nb=3∶2根据a=vω,有:aa∶ab=3∶2轮B、轮C是共轴传动,角速度相等,故:ωb∶ωc=1∶1根据公式v=rω,有:vb∶vc=3∶2根据ω=2πn,有:解析轮A、轮B靠摩擦传动,边缘上的点线速度相等,故:va∶26nb∶nc=1∶1根据a=vω,有:ab∶ac=3∶2综合得到:va∶vb∶vc=3∶3∶2ωa∶ωb∶ωc=3∶2∶2na∶nb∶nc=3∶2∶2aa∶ab∶ac=9∶6∶4答案

D

nb∶nc=1∶1答案

D271.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。2.三种速度:v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)。3.三种情景渡河时间最短

当船头方向垂直河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin=

渡河位移最短

如果v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ=v水时,合速度垂直河岸,渡河位移最短,等

于河宽d

如果v船<v水,当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时,渡河位移最短,等于

应用一探究小船过河问题的处理方法实践探究1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。渡河284.分析思路4.分析思路29例1一条宽度为l的河流,已知船在静水中的速度为v船,水流速度为v水。那

么:(1)怎样渡河时间最短?(2)若v船>v水,怎样渡河位移最小?(3)若v船<v水,怎样渡河船下漂的距离最短?例1一条宽度为l的河流,已知船在静水中的速度为v船,水流速30解析(1)如图甲所示,设船头斜向上游与河岸成任意角θ,这时船速在垂直

于河岸方向的速度分量为v1=v船sinθ,渡河所需的时间为t=

=

。

可以看出:l、v船一定时,t随sinθ增大而减小;当θ=90°时,sinθ=1(最大)。所以

可得船头与河岸垂直时渡河时间最短,即tmin=

。(2)如图乙所示,渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于l,必须

使船的合速度v合的方向与河岸垂直。这时船头应指向河的上游,并与河岸解析(1)如图甲所示,设船头斜向上游与河岸成任意角θ,这时31成一定的角度θ。根据三角函数关系有v船cosθ-v水=0,得cosθ=

。只有在v船>v水时,船才有可能垂直河岸横渡。(3)如果水流速度大于船在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总是

被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢?如图丙所示,设v船与河岸

成θ角。合速度v合与河岸成α角。可以看出:α角越大,船下漂的距离x越短。

那么,在什么条件下α角最大呢?以v水的末端为圆心、v船大小为半径画圆,当

v合与圆相切时,α角最大,此时cosθ=

。船下漂的最短距离为xmin=(v水-v船cosθ)·

,此时渡河的最短位移大小为s=

=

。答案见解析

成一定的角度θ。根据三角函数关系有v船cosθ-v水=0,32应用二探究绳(杆)端速度分解的处理方法1.模型特点沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。2.思路与方法合速度→物体的实际运动速度v分速度→

方法:v1与v2的合成遵循平行四边形定则。3.解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分速度,根据沿

绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。应用二探究绳(杆)端速度分解的处理方法1.模型特点33

34例2人用绳子通过定滑轮拉物体A,A穿在光滑的竖直杆上,当以速度v0匀

速地拉绳使物体A到达如图所示位置时,绳与竖直杆的夹角为θ,则物体A实

际运动的速度是

()

A.v0sinθ

B.

C.v0cosθ

D.

解题导引

例2人用绳子通过定滑轮拉物体A,A穿在光滑的竖直杆上,当以35解析由运动的合成与分解可知,物体A参与这样的两个分运动,一个是沿

着与它相连接的绳子的运动,另一个是垂直于绳子斜向上的运动。而物体

A实际运动是沿着竖直杆向上运动,此运动就是物体A的合运动,合速度与

分速度之间的关系如图所示。由三角函数知识可得vA=

,所以D选项是正确的。

答案

D

解析由运动的合成与分解可知,物体A参与这样的两个分运动,一36应用三探究水平面内圆周运动的动力学问题1.向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也

可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添

加一个向心力。应用三探究水平面内圆周运动的动力学问题1.向心力的来源372.运动模型运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯圆锥摆

飞车走壁汽车在水平路面转弯

水平转台(光滑)

2.运动模型运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯圆锥摆 飞车383.分析思路3.分析思路39例3如图所示,两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置,两

轮半径关系为RA=2RB。当主动轮A匀速转动时,在A轮边缘上放置的小木块

恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上,欲使木块相对B轮也

静止,则木块距B轮转动轴的最大距离为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

()A.

B.

C.

D.RB解题导引关键词:①相同材料,②靠摩擦传动,③小木块恰能相对静止,④

木块相对B轮也静止。A、B两轮边缘处的线速度相同,木块在静摩擦力作

用下做圆周运动。

例3如图所示,两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平40解析由图可知,当主动轮A匀速转动时,A、B两轮边缘上的线速度相同,

由ω=

,得

=

=

=

。由于小木块恰能在A轮边缘静止,则由最大静摩擦力提供向心力,故μAmg=m

RA

①设放在B轮上能使木块相对静止的距B转动轴的最大距离为r,则向心力由

最大静摩擦力提供,故μBmg=m

r

②因A、B材料相同,故木块与A、B的动摩擦因数相同,①②式左边相等,故m

RA=m

r,得r=

RA=

RA=

=

。所以选项C正确。答案

C

解析由图可知,当主动轮A匀速转动时,A、B两轮边缘上的线速41应用四探究竖直面内圆周运动的动力学问题1.物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动,该类

运动常有临界问题,并常伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语,常分

析两种模型——“绳球”模型和“杆球”模型,分析比较如下。

“绳球”模型“杆球”模型常见类型

均是没有支撑的小球

均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg=m

得v临=

由小球恰能做完整圆周运动,可得v临=0应用四探究竖直面内圆周运动的动力学问题1.物体在竖直平42讨论分析(1)过最高点时,v=

,mg=

,FN=0,即绳、轨道对球无弹力(2)过最高点时,v≥

,FN+mg=m

,绳、轨道对球产生弹力FN(3)不能过最高点,v<

,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心(2)当0<v<

时,mg-FN=m

,FN背离圆心,随v的增大而减小(3)当v=

时,FN=0(4)当v>

时,FN+mg=m

,FN指向圆心并随v的增大而增大讨论(1)过最高点时,v= ,mg= ,FN=0,即绳、轨道432.竖直圆的有关脱轨问题(1)脱轨可分为外侧脱轨与内侧脱轨两种情况。(2)脱轨的条件为物体与轨道之间的作用力为零。如图小球(质量为m)从光滑圆轨道最高点由静止滑下,小球在何处脱离轨道?

设小球与圆心连线与竖直方向的夹角为θ时开始脱轨,则满足关系:

得cosθ=

2.竖直圆的有关脱轨问题得cosθ= 443.有关竖直平面内的圆周运动的几点说明如图所示,若小球在细绳的拉力作用下,恰能在竖直平面内做圆周运动,应

满足vA=

,vD=

,TA=0,TD=6mg,若小球由B或C处静止释放,则满足vD=

,TD=3mg,TD的大小与绳子的长短无关,只与m的大小有关。

3.有关竖直平面内的圆周运动的几点说明45例4

(2018福建百校联考)图甲中表演的水流星是一项中国传统民间杂技

艺术,在一根绳子上系着两个装满水的桶,表演者把它甩动转起来,犹如流

星般,而水不会流出来。图乙为水流星的简化示意图,在某次表演中,当桶A

在最高点时,桶B恰好在最低点,若演员仅控制住绳的中点O不动,而水

桶A、B(均可视为质点)都恰好能通过最高点,已知绳长l=1.6m,两水桶(含

水)的质量均为m=0.5kg,不计空气阻力及绳重,取g=10m/s2。

(1)求水桶在最高点和最低点的速度大小;(2)求图示位置时,手对绳子的力的大小。例4

(2018福建百校联考)图甲中表演的水流星是一项46思路分析(1)两水桶都恰好能通过最高点，即在最高点仅由重力提供向心力，从而可求解出水桶在最高点的速度，从最高点到最低点的过程机械能守恒，列式可求解水桶在最低点的速度。(2)图示位置时,绳OA对水桶A的拉力为零,桶B受绳竖直向上的拉力和竖直

向下的重力,两者的合力提供向心力,列式可求解此时手对绳子的力的大小。思路分析(1)两水桶都恰好能通过最高点，即在最高点47解析(1)设最高点的速度为v1,最低点的速度为v2,水桶做圆周运动的半径

R=

=0.8m水桶恰好通过最高点时绳上的拉力为零,有:mg=m

解得:v1=2

m/s水桶从最高点运动到最低点有:mgl+

m

=

m

解得:v2=2

m/s(2)绳OA对水桶A的拉力为零,对最低点的桶B受力分析可得FOB-mg=m

解得:FOB=30N所以,手对绳子的力的大小为30N答案(1)2

m/s2

m/s(2)30N

解析(1)设最高点的速度为v1,最低点的速度为v2,水桶做48如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,

母线与轴线的夹角为θ,一条长为l的绳,一端固定在圆锥体的顶点O,另一端

系一个质量为m的小球(视为质点),小球以速率v绕圆锥体的轴线在水平面

内做匀速圆周运动。应用五探究圆锥面上的临界问题如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直49①临界条件:小球刚好对圆锥面没有压力时的速率为v0,小球所受重力和绳子的拉力的合力提供向心力,则有F向=mgtanθ=m

。②当v<v0时,小球除受到重力和绳子的拉力外,还受到圆锥面的支持力,如图

所示,则有F向=FTsinθ-FNcosθ=m

,FTcosθ+FNsinθ=mg。①临界条件:小球刚好对圆锥面没有压力时的速率为v0,小球所受50易知速度越大,支持力越小。③当v>v0时,小球离开圆锥面飘起来,设绳与圆锥体轴线的夹角为φ,则FTcos

φ=mg,F向=FTsinφ=m

。速度越大,绳与圆锥体轴线的夹角φ越大。④涉及绳子拉力的临界问题a.若小球已经或恰好离开圆锥面,由上述分析知FTsinφ=m

,当绳长固定且绳子中的张力达到最大值,对应的绳与圆锥体轴线的夹角为β时,则小

球做圆周运动的最大速度vm=

。b.若小球仍在圆锥面上,情况复杂,一般不会考查。易知速度越大,支持力越小。51例5如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l的绳悬挂一质量为m的物

体。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹

角为30°。物体以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。(1)当v1=

时,求绳对物体的拉力。(2)当v2=

时,求绳对物体的拉力。解题思路关键词:①光滑的,②做水平匀速圆周运动。临界状态是球与锥

面间弹力为零,设此时线速度为v0,分v>v0和v<v0两种情况讨论。

例5如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l的绳悬挂一质量为m52解析如图甲所示,物体在锥面上运动,但支持力为0,物体只受重力mg和绳

的拉力FT作用,合力沿水平面指向轴线。根据牛顿第二定律有:

甲mgtan30°=m

=m

解得:v0=

(1)因为v1<v0,所以物体与锥面接触并产生弹力FN,此时物体受力如图乙所示。解析如图甲所示,物体在锥面上运动,但支持力为0,物体只受重53根据牛顿第二定律有:FTsin30°-FNcos30°=

FTcos30°+FNsin30°-mg=0解得:FT=

mg

乙根据牛顿第二定律有:54

丙(2)因为v2>v0,所以物体与锥面脱离,设绳与竖直方向的夹角为α,此时物

体受力如图丙所示。根据牛顿第二定律有:FTsinα=

FTcosα-mg=0解得:FT=2mg答案(1)1.03mg(2)2mg

 答案(1)1.03mg(2)2mg55创新点斜面上圆周运动的临界问题在斜面上做圆周运动的物体,因所受的控制因素不同(如静摩擦力控

制、绳控制、杆控制),物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。求解

这类问题的典型方法是类比法,与竖直平面内圆周运动的各种模型进行类

比,寻找“等效重力”“等效最低点”“等效最高点”,类比竖直平面内圆

周运动的各种模型的运动状态、受力特点及临界条件进行求解。下面列

举三类实例。创新思维创新点斜面上圆周运动的临界问题创新思维56例1

(静摩擦力控制下的斜面上圆周运动)如图所示的绝缘圆盘与水平面

的夹角为θ,可绕过圆心O的轴转动,今有一个质量为m、电荷量为+q的小物

块放置在距转轴L处并处于静止状态,小物块与圆盘间的动摩擦因数为μ,

现启动圆盘让其加速转动,到盘上的小物块刚要滑动时停止加速,在圆盘转

动过程中保证小物块与圆盘始终相对静止。已知重力加速度为g,最大静

摩擦力等于滑动摩擦力,下列有关描述中正确的是

()A.逐渐加速的过程中,小物块所受摩擦力始终指向圆心B.小物块所受摩擦力大小为μmgcosθC.小物块不相对滑动的最大角速度是

D.若施加一个竖直向上的匀强电场,则圆盘的最大转速增大例1

(静摩擦力控制下的斜面上圆周运动)如图所示的绝缘57解析小物块在圆盘上受重力、支持力和摩擦力的作用,与竖直平面内圆

周运动的模型进行类比,“等效重力”为mgsinθ。在逐渐加速的过程中

小物块所受的摩擦力一方面使其加速,另一方面和重力沿圆盘的分力一起

提供向心力,A错误;小物块与圆盘间的摩擦力为静摩擦力,大小是变化的,B

错误;当小物块运动到圆盘最低点处恰好不相对滑动时的角速度最大,由μ

mgcosθ-mgsinθ=mLω2知最大角速度为ω=

,C正确;若施加一个竖直向上的匀强电场,小物块受到一个竖直向上的电场力,小物块运动

到最低点而不滑动时应满足μ(mg-Eq)cosθ-(mg-Eq)sinθ=mLω'2,易知圆盘

的最大转速应减小,D错误。答案

C

解析小物块在圆盘上受重力、支持力和摩擦力的作用,与竖直平面58例2

(轻杆控制下的斜面上圆周运动)如图所示,在倾角为α=30°的光滑斜

面上,有一根长为L=0.8m的轻杆,一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.2

kg的小球,沿斜面做圆周运动。g取10m/s2。若要小球能通过最高点A,则

小球在最低点B的最小速度是

()

A.4m/sB.2

m/s

C.2

m/sD.2

m/s例2

(轻杆控制下的斜面上圆周运动)如图所示,在倾角为59解析小球受轻杆控制,在A点的最小速度为零,由动能定理得2mgLsinα=

m

,可得vB=4m/s,A正确。答案

A

解析小球受轻杆控制,在A点的最小速度为零,由动能定理得2m60例3

(轻绳控制下的斜面上圆周运动)(多选)如图所示,一块足够大的光滑

平板放置在水平面上,能绕水平固定轴MN自由转动从而实现调节其与水

平面所成的倾角。板上有一根长为l=0.5m的轻绳,一端系住一个质量为m

=0.5kg的小球,另一端固定在板上的O点。当平板倾角为α时,先将轻绳平

行于水平轴MN拉直,然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0=2m

/s,g取10m/s2,则

()A.若α=0°,则轻绳对小球的拉力大小为FT=4NB.若α=90°,则小球相对于初始位置可上升的最大高度为0.3mC.小球能在平板上绕O点做完整的圆周运动,α必须满足的条件为sinα≤

D.小球能在平板上绕O点做完整的圆周运动,α必须满足的条件为sinα≤

例3

(轻绳控制下的斜面上圆周运动)(多选)如图所示,61解析小球在平板上运动时受轻绳的拉力、重力和平板的弹力。在垂直

平板方向上合力为零,重力沿平板方向的分力为mgsinα,小球在最高点时,

由轻绳的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力,有FT+mgsinα

=m

研究小球从释放点到最高点的过程,据动能定理有-mglsinα=

m

-

m

若恰好通过最高点,轻绳拉力FT=0,联立解得sinα=

=

,故C错误,D正确;解析小球在平板上运动时受轻绳的拉力、重力和平板的弹力。在垂62若α=90°,小球不能到达最高点,假设能够上升0.3m,重力势能的增加量为

mgh=1.5J,初动能为

m

=1J,机械能不守恒,故B错误。若α=0°,则轻绳对小球的拉力大小为FT=m

=4N,故A正确;答案

AD

若α=90°,小球不能到达最高点,假设能够上升0.3m,重63专题四曲线运动高考物理专题四曲线运动高考物理考点一曲线运动、运动的合成与分解考点清单一、质点运动类型的分类及条件

考点一曲线运动、运动的合成与分解考点清单一、质点运动类型的65二、曲线运动的定义、条件和特点

曲线运动说明定义轨迹是一条曲线的运动叫做曲线运动一般曲线运动可看成是几个直线运动的合运动条件质点所受合外力的方向跟它的速度方向①不在同一直线上

(v0≠0,F≠0)加速度的方向跟速度的方向不在同一直线上特点(1)轨迹是一条曲线(2)某点的瞬时速度的方向,就是通过这一点的②切线

的方向(3)曲线运动的速度方向时刻在改变,所以是变速运动,必具有加速度(4)合外力F始终指向运动轨迹的③内侧

(1)加速度可以是不变的,这类曲线运动是匀变速曲线运动,如平抛运动(2)加速度可以是变化的,这类曲线运动是变加速曲线运动(或非匀变速曲线运动),如圆周运动二、曲线运动的定义、条件和特点曲线运动说明定义轨迹是一条曲66三、运动的合成与分解1.合运动与分运动的关系2.运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量,所以合成与分解都遵循⑦

平行四边形定则

。等时性各分运动经历的时间与合运动经历的时间④

相同

独立性一个物体同时参与几个分运动,各分运动⑤独立

进行,不受其他分运动的影响等效性各分运动叠加起来与合运动有⑥相同

的效果三、运动的合成与分解2.运动的合成与分解的运算法则等时性各分673.运动的合成与分解已知分运动求合运动,叫做运动的合成;已知合运动求分运动,叫做运动的

分解。分运动与合运动是一种⑧等效替代

关系,运动的合成与分解是研究曲

线运动的一种基本方法。4.两个直线运动的合运动性质的判断标准:看合初速度方向与合加速度方向是否共线。两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线,为匀变速直线运动

如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动3.运动的合成与分解两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速68一、平抛运动1.平抛运动(1)定义:水平抛出的物体只在①重力

作用下的运动叫做平抛运动。(2)性质:加速度为②重力加速度g

的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线。(3)研究方法:平抛运动可以分解为水平方向上的③匀速直线

运动和竖

直方向上的④自由落体

运动。(4)运动时间和射程t=

仅取决于竖直下落的高度;射程x=v0

取决于竖直下落的高度和初速度。考点二抛体运动一、平抛运动考点二抛体运动692.平抛运动的规律以抛出点为坐标原点,以初速度v0方向为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向,

如图所示,则有水平方向分速度:vx=v02.平抛运动的规律70竖直方向分速度:vy=gt合速度大小:v=

tanθ=

(θ为速度与水平方向的夹角)水平方向分位移:x'=v0t竖直方向分位移:y'=

gt2合位移:x合=

tanβ=

(β为位移方向与水平方向的夹角)竖直方向分速度:vy=gt71二、斜抛运动1.斜抛运动的定义将物体以速度v0斜向上方或斜向下方抛出,物体只在⑤重力

作用下的

运动。2.运动性质加速度为⑥重力加速度g

的匀变速曲线运动,轨迹为抛物线。3.基本特点(以斜向上抛为例说明,如图所示)

(1)水平方向:v0x=⑦

v0·cosθ

,F合x=0。(2)竖直方向:v0y=⑧

v0·sinθ

,F合y=mg。二、斜抛运动(1)水平方向:v0x=⑦

v0·cos72一、描述圆周运动的物理量

定义、意义公式、单位

(1)描述做圆周运动的物体①

运动快慢

的物理量(v)(2)是②矢量

,方向和半径垂直,和圆周③相切

a.v=

,v=

b.单位:m/s

(1)描述物体④绕圆心转动

快慢的物理量(ω)(2)是矢量,但中学阶段不研究其方向a.ω=

,ω=

b.单位:rad/s

(1)周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周⑤运动一周

的时间(T);周期的倒数等于频率(f)(2)转速是物体单位时间内转过的圈数(n)a.T=

,单位:sb.f=

,单位:Hzc.n的单位:r/s、r/min考点三圆周运动一、描述圆周运动的物理量定义、意义公式、单位 (1)描述做73续表

定义、意义公式、单位

(1)描述速度⑥方向

变化快慢的物理量(a)(2)方向指向圆心a.a=

=rω2b.单位:m/s2

(1)作用效果是产生⑦向心

加速度(2)方向始终指向⑧圆心

a.F=ma=

=mω2r=mωvb.单位:N

(1)T=

(2)v=rω=

r=2πfr(3)a=

=rω2=ωv=

=4π2f2r(4)t=

·T

续表定义、意义公式、单位 (1)描述速度⑥方向

变74二、离心现象当提供的向心力小于所需向心力时,物体将远离原来的轨道的现象叫离心

现象。从力的角度分析物体的运动:1.匀速圆周运动:F合=mrω2。2.离心运动:F合<mrω2。3.向心运动:F合>mrω2。二、离心现象75拓展一平抛运动的两个重要推论推论一做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处,设其末速

度方向与水平方向的夹角为θ,位移与水平方向的夹角为φ,则tanθ=2tanφ。证明:如图甲所示,由平抛运动规律得tanθ=

=

,tanφ=

=

=

,所以tanθ=2tanφ。知能拓展拓展一平抛运动的两个重要推论知能拓展76推论二做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长

线一定通过此时水平位移的中点。如图乙中所示B点。证明:设平抛物体的初速度为v0,从原点O到A点的时间为t,A点坐标为(x,y),B

点坐标为(x',0),则x=v0t,y=

gt2,v⊥=gt,又tanθ=

=

,解得x'=

。即末状态速度反向延长线与x轴的交点B必为此刻水平位移的中点。注意(1)在平抛运动过程中,位移矢量与速度矢量永远不会同线。(2)推论一中的tanθ=2tanφ,但不能误认为θ=2φ。推论二做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向77例1

(2018河北定州期中,10)如图所示,在足够长的斜面上A点,以水平速

度v0抛出一个小球,不计空气阻力,它落到斜面上所用的时间为t1;若将此球

改用2v0水平速度抛出,它落到斜面上所用时间为t2,则t1∶t2为

()A.1∶1

B.1∶2

C.1∶3

D.1∶4例1

(2018河北定州期中,10)如图所示,在足够长78解析斜面倾角的正切值tanθ=

=

=

,则运动的时间t=

,知运动的时间与平抛运动的初速度有关,初速度变为原来的2倍,则运动时间

变为原来的2倍,所以t1∶t2=1∶2。故B正确,A、C、D错误。解法二两次小球从斜面上同一点水平抛出,落到同一斜面上,即两次球的

位移偏转角相同,由推论一可知,落到斜面时速度的偏转角一定相同,由tan

α=

,vy=gt,得t=

,故

=

=

,选项B正确。答案

B

解析斜面倾角的正切值tanθ= = = ,则运动的时间t79拓展二多个物体的平抛运动1.若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出,则两物体始终在同一高度,二

者间距只取决于两物体的水平分运动。2.若两物体同时从不同高度抛出,则两物体高度差始终与抛出点高度差相

同,二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定。3.若两物体从同一点先后抛出,两物体竖直高度差随时间均匀增大,二者间

距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。4.两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处,两物体必须同时

到达此处才会相遇。拓展二多个物体的平抛运动80例2如图所示,A、B两小球从相同高度同时水平抛出,经过时间t在空中相

遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍,则两球从抛出到相遇经过的时

间为

()A.t

B.

t

C.

D.

解析本题考查平抛运动、运动的独立性。依据运动的独立性原理,在水

平方向上,两球之间的距离d=(v1+v2)t=(2v1+2v2)t',得t'=

,故选项C正确。答案

C

例2如图所示,A、B两小球从相同高度同时水平抛出,经过时间81一、做圆周运动的常见模型拓展三圆周运动的动力学分析图形受力分析建立坐标系利用向心力分析

Fcosθ=mgFsinθ=mω2lsinθ

Fcosθ=mgFsinθ=mω2(d+lsinθ)一、做圆周运动的常见模型拓展三圆周运动的动力学分析图形受力82

FNcosθ=mgFNsinθ=mω2r

F升cosθ=mgF升sinθ=mω2r

FN=mAgF=mBg=mAω2r   FNcosθ=mg   F升cosθ=mg  83

Ff=mgFN=mrω2(Ff≤μFN)

FN=mgFf=mrω2(Ff≤μFN)

Ffcosθ+FNsinθ=mgFfsinθ-FNcosθ=mrω2(Ff≤μFN)   Ff=mg   FN=mg   Ffcosθ+FN84二、常见传动装置及其特点1.共轴传动A点和B点在同轴的圆盘上,如图甲,圆盘转动时,它们的线速度、角速度、

周期存在以下定量关系:ωA=ωB,

=

,TA=TB,并且转动方向相同。

甲

乙

二、常见传动装置及其特点852.皮带传动A点和B点分别是两个轮子边缘上的点,两个轮子用皮带连起来,并且皮带

不打滑。如图乙,轮子转动时,它们的线速度、角速度、周期存在以下定量

关系:vA=vB,

=

,

=

,并且转动方向相同。2.皮带传动863.齿轮传动A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点,两个齿轮轮齿啮合。如图,齿轮转

动时,它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系:vA=vB,

=

=

,

=

=

。式中n1、n2分别表示两齿轮的齿数。两点转动方向相反。注意在处理传动装置中各物理量间的关系时,关键是确定其相同的量

(线速度或角速度),再由描述圆周运动的各物理量间的关系,确定其他各量

间的关系。3.齿轮传动87例3如图所示,B和C是一组塔轮,B和C半径不同,但固定在同一转动轴上,

其半径之比为RB∶RC=3∶2。A轮的半径大小与C轮相同,它与B轮紧靠在

一起,当A轮绕过其中心的竖直轴转动时,由于摩擦作用,B轮也随之无滑动

地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点,则a、b、c三点在运动过

程中的

()A.线速度大小之比为3∶2∶2B.角速度大小之比为3∶3∶2C.转速大小之比为2∶3∶2D.向心加速度大小之比为9∶6∶4例3如图所示,B和C是一组塔轮,B和C半径不同,但固定在同88解析轮A、轮B靠摩擦传动,边缘上的点线速度相等,故:va∶vb=1∶1根据公式v=rω,有:ωa∶ωb=3∶2根据ω=2πn,有:na∶nb=3∶2根据a=vω,有:aa∶ab=3∶2轮B、轮C是共轴传动,角速度相等,故:ωb∶ωc=1∶1根据公式v=rω,有:vb∶vc=3∶2根据ω=2πn,有:解析轮A、轮B靠摩擦传动,边缘上的点线速度相等,故:va∶89nb∶nc=1∶1根据a=vω,有:ab∶ac=3∶2综合得到:va∶vb∶vc=3∶3∶2ωa∶ωb∶ωc=3∶2∶2na∶nb∶nc=3∶2∶2aa∶ab∶ac=9∶6∶4答案

D

nb∶nc=1∶1答案

D901.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。2.三种速度:v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)。3.三种情景渡河时间最短

当船头方向垂直河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin=

渡河位移最短

如果v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ=v水时,合速度垂直河岸,渡河位移最短,等

于河宽d

如果v船<v水,当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时,渡河位移最短,等于

应用一探究小船过河问题的处理方法实践探究1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。渡河914.分析思路4.分析思路92例1一条宽度为l的河流,已知船在静水中的速度为v船,水流速度为v水。那

么:(1)怎样渡河时间最短?(2)若v船>v水,怎样渡河位移最小?(3)若v船<v水,怎样渡河船下漂的距离最短?例1一条宽度为l的河流,已知船在静水中的速度为v船,水流速93解析(1)如图甲所示,设船头斜向上游与河岸成任意角θ,这时船速在垂直

于河岸方向的速度分量为v1=v船sinθ,渡河所需的时间为t=

=

。

可以看出:l、v船一定时,t随sinθ增大而减小;当θ=90°时,sinθ=1(最大)。所以

可得船头与河岸垂直时渡河时间最短,即tmin=

。(2)如图乙所示,渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于l,必须

使船的合速度v合的方向与河岸垂直。这时船头应指向河的上游,并与河岸解析(1)如图甲所示,设船头斜向上游与河岸成任意角θ,这时94成一定的角度θ。根据三角函数关系有v船cosθ-v水=0,得cosθ=

。只有在v船>v水时,船才有可能垂直河岸横渡。(3)如果水流速度大于船在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总是

被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢?如图丙所示,设v船与河岸

成θ角。合速度v合与河岸成α角。可以看出:α角越大,船下漂的距离x越短。

那么,在什么条件下α角最大呢?以v水的末端为圆心、v船大小为半径画圆,当

v合与圆相切时,α角最大,此时cosθ=

。船下漂的最短距离为xmin=(v水-v船cosθ)·

,此时渡河的最短位移大小为s=

=

。答案见解析

成一定的角度θ。根据三角函数关系有v船cosθ-v水=0,95应用二探究绳(杆)端速度分解的处理方法1.模型特点沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。2.思路与方法合速度→物体的实际运动速度v分速度→

方法:v1与v2的合成遵循平行四边形定则。3.解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分速度,根据沿

绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。应用二探究绳(杆)端速度分解的处理方法1.模型特点96

97例2人用绳子通过定滑轮拉物体A,A穿在光滑的竖直杆上,当以速度v0匀

速地拉绳使物体A到达如图所示位置时,绳与竖直杆的夹角为θ,则物体A实

际运动的速度是

()

A.v0sinθ

B.

C.v0cosθ

D.

解题导引

例2人用绳子通过定滑轮拉物体A,A穿在光滑的竖直杆上,当以98解析由运动的合成与分解可知,物体A参与这样的两个分运动,一个是沿

着与它相连接的绳子的运动,另一个是垂直于绳子斜向上的运动。而物体

A实际运动是沿着竖直杆向上运动,此运动就是物体A的合运动,合速度与

分速度之间的关系如图所示。由三角函数知识可得vA=

,所以D选项是正确的。

答案

D

解析由运动的合成与分解可知,物体A参与这样的两个分运动,一99应用三探究水平面内圆周运动的动力学问题1.向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也

可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添

加一个向心力。应用三探究水平面内圆周运动的动力学问题1.向心力的来源1002.运动模型运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯圆锥摆

飞车走壁汽车在水平路面转弯

水平转台(光滑)

2.运动模型运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯圆锥摆 飞车1013.分析思路3.分析思路102例3如图所示,两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置,两

轮半径关系为RA=2RB。当主动轮A匀速转动时,在A轮边缘上放置的小木块

恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上,欲使木块相对B轮也

静止,则木块距B轮转动轴的最大距离为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

()A.

B.

C.

D.RB解题导引关键词:①相同材料,②靠摩擦传动,③小木块恰能相对静止,④

木块相对B轮也静止。A、B两轮边缘处的线速度相同,木块在静摩擦力作

用下做圆周运动。

例3如图所示,两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平103解析由图可知,当主动轮A匀速转动时,A、B两轮边缘上的线速度相同,

由ω=

,得

=

=

=

。由于小木块恰能在A轮边缘静止,则由最大静摩擦力提供向心力,故μAmg=m

RA

①设放在B轮上能使木块相对静止的距B转动轴的最大距离为r,则向心力由

最大静摩擦力提供,故μBmg=m

r

②因A、B材料相同,故木块与A、B的动摩擦因数相同,①②式左边相等,故m

RA=m

r,得r=

RA=

RA=

=

。所以选项C正确。答案

C

解析由图可知,当主动轮A匀速转动时,A、B两轮边缘上的线速104应用四探究竖直面内圆周运动的动力学问题1.物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动,该类

运动常有临界问题,并常伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语,常分

析两种模型——“绳球”模型和“杆球”模型,分析比较如下。

“绳球”模型“杆球”模型常见类型

均是没有支撑的小球

均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg=m

得v临=

由小球恰能做完整圆周运动,可得v临=0应用四探究竖直面内圆周运动的动力学问题1.物体在竖直平105讨论分析(1)过最高点时,v=

,mg=

,FN=0,即绳、轨道对球无弹力(2)过最高点时,v≥

,FN+mg=m

,绳、轨道对球产生弹力FN(3)不能过最高点,v<

,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心(2)当0<v<

时,mg-FN=m

,FN背离圆心,随v的增大而减小(3)当v=

时,FN=0(4)当v>

时,FN+mg=m

,FN指向圆心并随v的增大而增大讨论(1)过最高点时,v= ,mg= ,FN=0,即绳、轨道1062.竖直圆的有关脱轨问题(1)脱轨可分为外侧脱轨与内侧脱轨两种情况。(2)脱轨的条件为物体与轨道之间的作用力为零。如图小球(质量为m)从光滑圆轨道最高点由静止滑下,小球在何处脱离轨道?

设小球与圆心连线与竖直方向的夹角为θ时开始脱轨,则满足关系:

得cosθ=

2.竖直圆的有关脱轨问题得cosθ= 1073.有关竖直平面内的圆周运动的几点说明如图所示,若小球在细绳的拉力作用下,恰能在竖直平面内做圆周运动,应

满足vA=

,vD=

,TA=0,TD=6mg,若小球由B或C处静止释放,则满足vD=

,TD=3mg,TD的大小与绳子的长短无关,只与m的大小有关。

3.有关竖直平面内的圆周运动的几点说明108例4

(2018福建百校联考)图甲中表演的水流星是一项中国传统民间杂技

艺术,在一根绳子上系着两个装满水的桶,表演者把它甩动转起来,犹如流

星般,而水不会流出来。图乙为水流星的简化示意图,在某次表演中,当桶A

在最高点时,桶B恰好在最低点,若演员仅控制住绳的中点O不动,而水

桶A、B(均可视为质点)都恰好能通过最高点,已知绳长l=1.6m,两水桶(含

水)的质量均为m=0.5kg,不计空气阻力及绳重,取g=10m/s2。

(1)求水桶在最高点和最低点的速度大小;(2)求图示位置时,手对绳子的力的大小。例4

(2018福建百校联考)图甲中表演的水流星是一项109思路分析(1)两水桶都恰好能通过最高点，即在最高点仅由重力提供向心力，从而可求解出水桶在最高点的速度，从最高点到最低点的过程机械能守恒，列式可求解水桶在最低点的速度。(2)图示位置时,绳OA对水桶A的拉力为零,桶B受绳竖直向上的拉力和竖直

向下的重力,两者的合力提供向心力,列式可求解此时手对绳子的力的大小。思路分析(1)两水桶都恰好能通过最高点，即在最高点110解析(1)设最高点的速度为v1,最低点的速度为v2,水桶做圆周运动的半径

R=

=0.8m水桶恰好通过最高点时绳上的拉力为零,有:mg=m

解得:v1=2

m/s水桶从最高点运动到最低点有:mgl+

m

=

m

解得:v2=2

m/s(2)绳OA对水桶A的拉力为零,对最低点的桶B受力分析可得FOB-mg=m

解得:FOB=30N所以,手对绳子的力的大小为30N答案(1)2

m/s2

m/s(2)30N

解析(1)设最高点的速度为v1,最低点的速度为v2,水桶做111如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,

母线与轴线的夹角为θ,一条长为l的绳,一端固定在圆锥体的顶点O,另一端

系一个质量为m的小球(视为质点),小球以速率v绕圆锥体的轴线在水平面

内做匀速圆周运动。应用五探究圆锥面上的临界问题如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直112①临界条件:小球刚好对圆锥面没有压力时的速率为v0,小球所受重力和绳子的拉力的合力提供向心力,则有F向=mgtanθ=m

。②当v<v0时,小球除受到重力和绳子的拉力外,还受到圆锥面的支持力,如图

所示,则有F向=FTsinθ-FNcosθ=m

,FTcosθ+FNsinθ=mg。①临界条件:小球刚好对圆锥面没有压力时的速率为v0,小球所受113易知速度越大,支持力越小。③当v>v0时,小球离开圆锥面飘起来,设绳与圆锥体轴线的夹角为φ,则FTcos

φ=mg,F向=FTsinφ=m

。速度越大,绳与圆锥体轴线的夹角φ越大。④涉及绳子拉力的临界问题a.若小球已经或恰好离开圆锥面,由上述分析知FTsinφ=m

,当绳长固定且绳子中的张力达到最大值,对应的绳与圆锥体轴线的夹角为β时,则小

球做圆周运动的最大速度vm=

。b.若小球仍在圆锥面上,情况复杂,一般不会考查。易知速度越大,支持力越小。114例5如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l的绳悬挂一质量为m的物

体。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹

角为30°。物体以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。(1)当v1=

时,求绳对物体的拉力。(2)当v2=

时,求绳对物体的拉力。解题思路关键词:①光滑的,②做水平