高三数学一轮复习 52 平面向量基本定理及向量的坐标表示课件

高三数学一轮复习课件高三数学一轮复习课件第五章

平面向量、数系的扩充

与复数的引入第五章平面向量、数系的扩充

与复数的引入5.2

平面向量基本定理

及向量的坐标表示5.2平面向量基本定理

及向量的坐标表示-4-知识梳理双基自测2341自测点评1.平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个

的向量,那么该平面内的任一向量a,

的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.

其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组

,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.

不平行

存在唯一

基底

-4-知识梳理双基自测2341自测点评1.平面向量基本定理不-5-知识梳理双基自测自测点评23412.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法,数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=

,a-b=

,λa=

,|a|=

.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1+x2,y1+y2)

(x1-x2,y1-y2)

(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)-5-知识梳理双基自测自测点评23412.平面向量的坐标运算-6-知识梳理双基自测自测点评23413.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔

.

x1y2-x2y1=0-6-知识梳理双基自测自测点评23413.平面向量共线的坐标-7-知识梳理双基自测自测点评23414.两个向量的夹角(1)定义:已知两个

向量a和b,作

=b,则

称作向量a和向量b的夹角,记作<a,b>.

(2)范围:向量夹角<a,b>的范围是[0,π],且<a,b>=<b,a>.(3)向量垂直:如果<a,b>=,则a与b垂直,记作

.

非零

∠AOBa⊥b-7-知识梳理双基自测自测点评23414.两个向量的夹角非零2-8-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(

)(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(

)(3)在△ABC中,向量

的夹角为∠ABC.(

)(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(

)(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成(

)×√×√×2-8-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打-9-知识梳理双基自测自测点评234152.已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“a∥b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭当m=1时,a=b,可以推出a∥b;当a∥b时,m2=1,解得m=±1,不能推出m=1.所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.答案解析关闭A-9-知识梳理双基自测自测点评234152.已知向量a=(1-10-知识梳理双基自测自测点评234153.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),则以a,b为基底表示的c等于(

)A.a-3b B.-a+3b

C.3a-b D.-3a+b答案解析解析关闭设c=λa+μb,则由题意可得(-2,4)=(λ,λ)+(μ,-μ)=(λ+μ,λ-μ),∴λ+μ=-2,λ-μ=4,解得λ=1,μ=-3.∴c=a-3b.答案解析关闭A-10-知识梳理双基自测自测点评234153.若a=(1,1-11-知识梳理双基自测自测点评23415答案解析解析关闭由题意,得a=(1,-1),b=(t,1),则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)∥(a-b),所以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.答案解析关闭-14.(2017山西太原一模)已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t=

.

-11-知识梳理双基自测自测点评23415答案解析解析关-12-知识梳理双基自测自测点评234155.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=

.

答案解析解析关闭∵|a+b|2=|a|2+|b|2,∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.答案解析关闭-2-12-知识梳理双基自测自测点评234155.设向量a=(m-13-知识梳理双基自测自测点评1.能作为基底的两个向量必须是不共线的.2.向量的坐标与点的坐标不同,向量平移后,其起点和终点的坐标都变了,但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标,故平移后坐标不变.3.求向量的夹角要注意向量的方向,否则,得到的可能是向量夹角的补角.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成

因为x2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0.-13-知识梳理双基自测自测点评1.能作为基底的两个向量必须-14-考点1考点2考点3例1(1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(

)A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与2e1+6e2(3)设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=

.

思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?答案答案关闭-14-考点1考点2考点3例1(1)如果e1,e2是平面α内-15-考点1考点2考点3-15-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.-16-考点1考点2考点3(3)由题意,设e1+e2=ma+-17-考点1考点2考点3解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.-17-考点1考点2考点3解题心得1.应用平面向量基本定理表-18-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3-20-考点1考点2考点3例2(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)(2)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若

=-3a,则点N的坐标为(

)A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0)思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点1考点2考点3例2(1)已知平面向量a=(1,1-21-考点1考点2考点3解题心得向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.-21-考点1考点2考点3解题心得向量的坐标运算主要是利用向-22-考点1考点2考点3对点训练2(1)在▱ABCD中,AC为一条对角线,若A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)(2)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),则|a+2b|=(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-22-考点1考点2考点3对点训练2(1)在▱ABCD中,A-23-考点1考点2考点3例3(1)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量

与向量a=(λ,1)共线,则λ=

.

(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为

.

思考向量共线有哪几种表示形式?两个向量共线的充要条件有哪些作用?答案解析解析关闭答案解析关闭-23-考点1考点2考点3例3(1)已知点P(-1,2),线-24-考点1考点2考点3解题心得1.向量共线的两种表示形式设a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b⇒a=λb(b≠0);②a∥b⇔x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.2.两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.-24-考点1考点2考点3解题心得1.向量共线的两种表示形式-25-考点1考点2考点3对点训练3(1)(2018全国Ⅲ,文13)已知向量

a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=

.

-25-考点1考点2考点3对点训练3(1)(2018全国Ⅲ,-26-考点1考点2考点31.只要两个非零向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.2.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.3.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题来解决,从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题.4.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.5.平面向量的基底中一定不含零向量.-26-考点1考点2考点31.只要两个非零向量不共线,就可以-27-考点1考点2考点31.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其终点坐标就是向量的坐标.2.若a,b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.-27-考点1考点2考点31.要注意点的坐标和向量的坐标之间本节结束，谢谢观看！本节结束，谢谢观看！高三数学一轮复习课件高三数学一轮复习课件第五章

平面向量、数系的扩充

与复数的引入第五章平面向量、数系的扩充

与复数的引入5.2

平面向量基本定理

及向量的坐标表示5.2平面向量基本定理

及向量的坐标表示-32-知识梳理双基自测2341自测点评1.平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个

的向量,那么该平面内的任一向量a,

的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.

其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组

,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.

不平行

存在唯一

基底

-4-知识梳理双基自测2341自测点评1.平面向量基本定理不-33-知识梳理双基自测自测点评23412.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法,数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=

,a-b=

,λa=

,|a|=

.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1+x2,y1+y2)

(x1-x2,y1-y2)

(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)-5-知识梳理双基自测自测点评23412.平面向量的坐标运算-34-知识梳理双基自测自测点评23413.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔

.

x1y2-x2y1=0-6-知识梳理双基自测自测点评23413.平面向量共线的坐标-35-知识梳理双基自测自测点评23414.两个向量的夹角(1)定义:已知两个

向量a和b,作

=b,则

称作向量a和向量b的夹角,记作<a,b>.

(2)范围:向量夹角<a,b>的范围是[0,π],且<a,b>=<b,a>.(3)向量垂直:如果<a,b>=,则a与b垂直,记作

.

非零

∠AOBa⊥b-7-知识梳理双基自测自测点评23414.两个向量的夹角非零2-36-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(

)(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(

)(3)在△ABC中,向量

的夹角为∠ABC.(

)(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(

)(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成(

)×√×√×2-8-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打-37-知识梳理双基自测自测点评234152.已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“a∥b”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭当m=1时,a=b,可以推出a∥b;当a∥b时,m2=1,解得m=±1,不能推出m=1.所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.答案解析关闭A-9-知识梳理双基自测自测点评234152.已知向量a=(1-38-知识梳理双基自测自测点评234153.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),则以a,b为基底表示的c等于(

)A.a-3b B.-a+3b

C.3a-b D.-3a+b答案解析解析关闭设c=λa+μb,则由题意可得(-2,4)=(λ,λ)+(μ,-μ)=(λ+μ,λ-μ),∴λ+μ=-2,λ-μ=4,解得λ=1,μ=-3.∴c=a-3b.答案解析关闭A-10-知识梳理双基自测自测点评234153.若a=(1,1-39-知识梳理双基自测自测点评23415答案解析解析关闭由题意,得a=(1,-1),b=(t,1),则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)∥(a-b),所以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.答案解析关闭-14.(2017山西太原一模)已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t=

.

-11-知识梳理双基自测自测点评23415答案解析解析关-40-知识梳理双基自测自测点评234155.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=

.

答案解析解析关闭∵|a+b|2=|a|2+|b|2,∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.答案解析关闭-2-12-知识梳理双基自测自测点评234155.设向量a=(m-41-知识梳理双基自测自测点评1.能作为基底的两个向量必须是不共线的.2.向量的坐标与点的坐标不同,向量平移后,其起点和终点的坐标都变了,但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标,故平移后坐标不变.3.求向量的夹角要注意向量的方向,否则,得到的可能是向量夹角的补角.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成

因为x2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0.-13-知识梳理双基自测自测点评1.能作为基底的两个向量必须-42-考点1考点2考点3例1(1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(

)A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与2e1+6e2(3)设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=

.

思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?答案答案关闭-14-考点1考点2考点3例1(1)如果e1,e2是平面α内-43-考点1考点2考点3-15-考点1考点2考点3-44-考点1考点2考点3(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.-16-考点1考点2考点3(3)由题意,设e1+e2=ma+-45-考点1考点2考点3解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.-17-考点1考点2考点3解题心得1.应用平面向量基本定理表-46-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3-47-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3-48-考点1考点2考点3例2(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)(2)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若

=-3a,则点N的坐标为(

)A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0)思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭-20-考点1考点2考点3例2(1)已知平面向量a=(1,1-49-考点1考点2考点3解题心得向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.-21-考点1考点2考点3解题心得向量的坐标运算主要是利用向-50-考点1考点2考点3对点训练2(1)在▱ABCD中,AC为一条对角线,若A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)(2)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),则|a+2b|=(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-22-考点1考点2考点3对点训练2(1)在▱ABCD中,A-51-考点1考点2考点3例3(1)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量

与向量a=(λ,1)共线,则λ=

.

(2)在△ABC