重庆中考复习数学“线段最值问题”漫谈课件

“线段最值问题”漫谈2020.08.23“线段最值问题”漫谈2020.08.231目录命题地位1基本类型23解决策略4核心知识问题关键5分类例析67考题赏析目命题地位1基本类型23解决策略4核心知识问题关键5分类例析2“线段最值”问题是重庆中考的热点问题（每年必考），题型多样，变化灵活，综合性强，考查的知识点众多，涉及多种数学思想、方法和技能技巧，对学生的各种能力要求较高，一般都是各题型的压轴题，拉分题。深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略，利于我们把握中考方向，在教学实践中才能做到有的放矢，提高教学的针对性、有效性。命题地位“线段最值”问题是重庆中考的热点问题（每年必考）3基本类型基本类型4所有线段最值问题核心知识的老祖宗只有两个：①两点之间，线段最短；②点线之间，垂线段最短。基本图形AB最短PA+PB>AB核心知识所有线段最值问题核心知识的老祖宗只有两个：基本图形AB最短P5由此派生：③三角形两边之和大于第三边基本图形结论PA+PB>AB由此派生：基本图形结论6④平行线之间，垂线段最短基本图形结论AB最短④平行线之间，垂线段最短基本图形结论7⑤点圆之间，点心线截距最短（长）基本图形结论PA最短PB最长⑤点圆之间，点心线截距最短（长）基本图形结论8⑥线圆之间，心垂线截距最短基本图形结论PA最长PB最短⑥线圆之间，心垂线截距最短基本图形结论9⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）基本图形结论AB最长CD最短⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）基本图形结论10

复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形”的知识解决。常运用的典型几何变换有：（1）平移------“架桥选址”（2）翻折------“将军饮马“（3）旋转------“费马点问题“（4）相似------“阿氏圆问题“（5）三角------“胡不归问题“（6）多变换综合运用解决策略复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变11

复杂的几何最值问题的关键------明确动点运动的路径（轨迹）【例1】在⊙O中，圆的半径为6，点A在⊙O上，AC是⊙O的切线，B是⊙O上以动点，且∠B=30°，则CD的最小值是

.E问题关键复杂的几何最值问题的关键------明确动点运12【例2】（2020滕州市一模改编）在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB=2S△PCD.则线段PC+PD最小值为

.【例2】（2020滕州市一模改编）在矩形ABCD中，AB=13动点轨迹之------瓜豆原理瓜豆原理：若两动点到某定点的距离之比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。瓜豆原理是主从联动问题，主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线；瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。动点轨迹之------瓜豆原理瓜豆原理：若两动点到某定点的距14【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角△BDE,使得∠BDE=90∘，连接AE.若BC=4，AC=5，则AE的最小值是

.动点轨迹之----瓜豆原理（核心方法：构相似）法一：特殊位置定轨迹45【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动15【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角△BDE,使得∠BDE=90∘，连接AE.若BC=4，AC=5，则AE的最小值是

.动点轨迹之----瓜豆原理（核心方法：构相似）

解题顺口溜“两动两定取新点”“相同操作连新从”“手拉手型得相似”“相似定值得轨迹”法二：构造法定轨迹E145【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动16【例4】如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），⊙A的半径为2，点P为⊙A上一动点.以OP为边做等腰直角三角形OPQ，当点P在⊙A上运动时，AQ的长度的最小值为

.最大值为

.M

解题顺口溜“两动两定取新点”“相同操作连新从”“手拉手型得相似”“相似定值得轨迹”Q1Q2【例4】如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），⊙A的半径为17【例5】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是

.

解题顺口溜“连接心动取新点”“相同操作连新从”“A型相似得定值”“根据定值得轨迹”NM1【例5】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90∘，AB=4，18动点轨迹之----隐圆问题【模型1】共端点，等线段模型【模型2】定弦定角模型动点轨迹之----隐圆问题【模型1】共端点，等线段模型【模19【例6】如图,菱形ABCD边长为4,∠A=60〫,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A´MN,连接A´C,

则A´C的最小值是

.A1【例6】如图,菱形ABCD边长为4,∠A=60〫,M是AD边20【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为

.E´O【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形21【例8】如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF。连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是

.OH´【例8】如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足22垂线段最短类【例9】（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为

．

F´F1

基本思想同侧化异侧、折线化直线分类例析垂线段最短类【例9】（2020•营口）如图，△ABC为等边三23【例10】（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为

．M1N1N2【例10】（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝124【例11】（2020•铁岭）如图，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（0，4），顶点B、D分别在x轴和直线y＝﹣3上，则对角线AC的最小值是

．Ny=-1.5M【例11】（2020•铁岭）如图，已知平行四边形ABCD的顶25将军饮马类基本思想------同侧化异侧、折线化直线基本方法------N个动点N条河，N次对称跑不脱解题关键------根据结论抓点、线分类例析将军饮马类基本思想------同侧化异侧、折线化直线基本26将军饮马类【例12】（一动两定型）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AC的中点，点P是CD上一动点，则PA+PE的最小值是为

.河边E1将军饮马类【例12】（一动两定型）如图，△ABC中，∠ACB27【例13】（两动两定型）如图，已知A（﹣6，2），B（﹣2，4），点M是y轴正半轴上一点，点N是x轴负半轴上一点，连接AB，BM，MN，NA．则四边形ABMN周长的最小值为

.将军饮马类河边河边A1N1M1B1【例13】（两动两定型）如图，已知A（﹣6，2），B（﹣2，28【例14】（两动一定型）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是

．河边河边P1P2将军饮马类N1M1【例14】（两动一定型）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AO29将军饮马类【例15】（三动点型）如图，点A是⊙O2上一动点，点B是⊙O1上一动点，点P是直线L上动点，且⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为5，O1O2=18，则PA+PB的最小值是

．将军饮马类【例15】（三动点型）如图，点A是⊙O2上一动点，30＊【例16】（三动点型）如图，在△ABC中,AC=1，∠BAC=60°，且AC⊥BC，弧BC所对的圆心角为60°.若点P在弧BC上运动，E、F分别在AB、AC上，则PE+PF+EF的最小值为

.将军饮马类OP1P2P3＊【例16】（三动点型）如图，在△ABC中,AC=1，∠B31将军饮马类【例17】（知识综合型）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为

.C1O将军饮马类【例17】（知识综合型）如图，正方形ABCD的边长32架桥选址类【例18】已知A（1，1）、B（4，2）,CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求：AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；解题要点：将定点沿定长方向平移定长距离将军饮马A1B1B1A1架桥选址类【例18】已知A（1，1）、B（4，2）,CD为轴33【例19】如图，菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，M、N是AC上两动点，且MN=2，则BM+BN的最小值为__________.架桥选址类解题要点：将定点沿定长方向平移定长距离将军饮马B1B1【例19】如图，菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=6034架桥选址类【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是

．C1C2架桥选址类【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝35【古老传说】说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。（如下图）点A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂地上行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”这个古老的传说，引起了人们的思索：小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归”问题。“胡不归”问题【古老传说】说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后36【数学问题】

根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点P，小伙子从A走到P，然后从P折往B，可望最早到达B。问题：若在驿道上行走的速度为v1=8km/h，在沙地上行走的速度为v2=4km/h.（1）小伙子回家需要的时间可表示为

;（2）点P选择在何处他回家的时间最短？【数学问题】37【问题解决】点P1即为最佳选择点，BD即为的最小值.

作图步骤（四部曲）1.找带分数的线段PA2.线段PA的定端点P3.过定端点P作射线PNPN需满足：（1）∠MPN满足sinP=（2）“＋”异“－”同的原则4.过B作射线PN的垂线BD即可.30〫CDP1N【问题解决】点P1即为最佳选择点，BD即为38【例21】如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（﹣1，0），在y轴上有一动点G，则BG+AG的最小值为

.驿道GCM点G为最值点，BC为所求线段【例21】如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（﹣39【例22】已知B（-1，0），P（1，-4），在x轴上找点M，在y轴上找点H,

使最小，并求最小值.MHP1CD1M1D点M1为最值点，P1D1为所求线段【例22】已知B（-1，0），P（1，-4），在x轴上找点40“阿氏圆”问题【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”.如下图所示，其中PA：PB＝OP：OB＝OA：OP＝k.“阿氏圆”问题【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上41【例23】如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为圆心，4为半径作圆．

点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD.则(1)AD+BD的最小值_______.

(2)AD+BD的最小值为=

.

解题步骤（五部曲）1.连：连接圆心与动点CD2.构：构“母子”型柳腰相似----缩小型内构；扩大型外构----半径CD为公共边3.算：第三边CE的长度4.连：

连接AE5.求：求AE的长68104E2【例23】如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为42【例24】已知扇形COD中,∠COD=90〫，OC=6，OA=3，OB=5,点P是弧CD上一点，求：2PA+PB的最小值.356EBE为所求线段12【例24】已知扇形COD中,∠COD=90〫，OC=6，OA43【例25】如图，P是正方形ABCD内一动点，AD=6，CP=4，求：3PA+2PD的最小值．646EAE为所求线段【例25】如图，P是正方形ABCD内一动点，AD=6，44“费马点”问题如图，如果△ABC的内角均小于120°，在△ABC内作点P，使PA+PB+PC值最小.【数学问题】【作法】如图，以AB、AC为边，在△ABC的外部作等边△ABD和等边△ACE，CD与BE交于点P，此时PA+PB+PC值最小.点P即为△ABC的费马点.“费马点”问题如图，如果△ABC的内角均小于120°，在△45【费马点性质】1、PA+PB+PC值最小2、最小值=CD=BE=PA+PB+PC3、∠APB=∠APC=∠BPC=120〫【解决思路----外旋60〫】

如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP1C1，连接PP1．则△APP1为等边三角形，AP=PP1，P1C1=PC，所以PA+PB+PC=PP1+PB+P1C1．BC1为定长，所以当B、P、P1、C1四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小.【费马点性质】1、PA+PB+PC值最小【解决思路----外46【例26】如图，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6,AC=5,在△ABC内部有点P，连接PA、PB、PC，求：PA+PB+PC的最小值.D65【例26】如图，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6,47【例27】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形内部一动点，过点P作PE⊥AD于点E，连接PB,PC，则PE+PB+PC的最小值为

.64FGFG为所求线段【例27】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是48“其它类型”的线段最值【例28】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2，顶点A、B分别在x、y轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的最大值为

.M“其它类型”的线段最值【例28】如图，在矩形ABCD中，49【例29】（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6C1【例29】（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧50【例30】（2020•常州）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为C1GG1【例30】（2020•常州）如图，在△ABC中，AB＝2，∠51“重庆中考试题”赏析【2020重庆B卷26题】△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2，以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．8GN1考查要点1.隐圆问题2.瓜豆原理3.点圆最值“重庆中考试题”赏析【2020重庆B卷26题】△ABC为等边52【2020重庆A卷26题】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．PMP1D1考查要点1.费马点问题2.瓜豆原理【2020重庆A卷26题】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝53【2019重庆A卷26题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求：HF+FP+PC的最小值；MNHFPGP1驿道考查要点1.胡不归问题【2019重庆A卷26题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y54用习惯和智慧创造奇迹，用理想和信心换取动力!

祝您成功！用习惯和智慧创造奇迹，55谢谢聆听！谢谢聆听！561.中国人只要看到土地，就会想种点什么。而牛叉的是，这花花草草庄稼蔬菜还就听中国人的话，怎么种怎么活。

2.

中国人对蔬菜的热爱，本质上是对土地和家乡的热爱。本诗主人公就是这样一位采摘野菜的同时，又保卫祖国、眷恋家乡的士兵。

3.本题运用说明文限制性词语能否删除四步法。不能。极大的一词表程度，说明绘画的题材范围较过去有了很大的变化，删去之后其程度就会减轻，不符合实际情况，这体现了说明文语言的准确性和严密性。4.开篇写湘君眺望洞庭，盼望湘夫人飘然而降，却始终不见，因而心中充满愁思。续写沅湘秋景，秋风扬波拂叶，画面壮阔而凄清。5.以景物衬托情思，以幻境刻画心理，尤其动人。凄清、冷落的景色，衬托出人物的惆怅、幽怨之情，并为全诗定下了哀怨不已的感情基调。6.石壕吏和老妇人是诗中的主要人物，要立于善于运用想像来刻画他们各自的动作、语言和神态；还要补充一些事实上已经发生却被诗人隐去的故事情节。7.文学本身就是将自己生命的感动凝固成文字，去唤醒那沉睡的情感，饥渴的灵魂，也许已是跨越千年，但那人间的真情却亘古不变，故事仿佛就在昨日一般亲切，光芒没有丝毫的暗淡减损。8.只要我们用心去聆听，用情去触摸，你终会感受到生命的鲜活，人性的光辉，智慧的温暖。9.能准确、有感情的朗读诗歌，领会丰富的内涵，体会诗作蕴涵的思想感情。1.中国人只要看到土地，就会想种点什么。而牛叉的是，这花花57“线段最值问题”漫谈2020.08.23“线段最值问题”漫谈2020.08.2358目录命题地位1基本类型23解决策略4核心知识问题关键5分类例析67考题赏析目命题地位1基本类型23解决策略4核心知识问题关键5分类例析59“线段最值”问题是重庆中考的热点问题（每年必考），题型多样，变化灵活，综合性强，考查的知识点众多，涉及多种数学思想、方法和技能技巧，对学生的各种能力要求较高，一般都是各题型的压轴题，拉分题。深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略，利于我们把握中考方向，在教学实践中才能做到有的放矢，提高教学的针对性、有效性。命题地位“线段最值”问题是重庆中考的热点问题（每年必考）60基本类型基本类型61所有线段最值问题核心知识的老祖宗只有两个：①两点之间，线段最短；②点线之间，垂线段最短。基本图形AB最短PA+PB>AB核心知识所有线段最值问题核心知识的老祖宗只有两个：基本图形AB最短P62由此派生：③三角形两边之和大于第三边基本图形结论PA+PB>AB由此派生：基本图形结论63④平行线之间，垂线段最短基本图形结论AB最短④平行线之间，垂线段最短基本图形结论64⑤点圆之间，点心线截距最短（长）基本图形结论PA最短PB最长⑤点圆之间，点心线截距最短（长）基本图形结论65⑥线圆之间，心垂线截距最短基本图形结论PA最长PB最短⑥线圆之间，心垂线截距最短基本图形结论66⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）基本图形结论AB最长CD最短⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）基本图形结论67

复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形”的知识解决。常运用的典型几何变换有：（1）平移------“架桥选址”（2）翻折------“将军饮马“（3）旋转------“费马点问题“（4）相似------“阿氏圆问题“（5）三角------“胡不归问题“（6）多变换综合运用解决策略复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变68

复杂的几何最值问题的关键------明确动点运动的路径（轨迹）【例1】在⊙O中，圆的半径为6，点A在⊙O上，AC是⊙O的切线，B是⊙O上以动点，且∠B=30°，则CD的最小值是

.E问题关键复杂的几何最值问题的关键------明确动点运69【例2】（2020滕州市一模改编）在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB=2S△PCD.则线段PC+PD最小值为

.【例2】（2020滕州市一模改编）在矩形ABCD中，AB=70动点轨迹之------瓜豆原理瓜豆原理：若两动点到某定点的距离之比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。瓜豆原理是主从联动问题，主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线；瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。动点轨迹之------瓜豆原理瓜豆原理：若两动点到某定点的距71【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角△BDE,使得∠BDE=90∘，连接AE.若BC=4，AC=5，则AE的最小值是

.动点轨迹之----瓜豆原理（核心方法：构相似）法一：特殊位置定轨迹45【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动72【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角△BDE,使得∠BDE=90∘，连接AE.若BC=4，AC=5，则AE的最小值是

.动点轨迹之----瓜豆原理（核心方法：构相似）

解题顺口溜“两动两定取新点”“相同操作连新从”“手拉手型得相似”“相似定值得轨迹”法二：构造法定轨迹E145【例3】如图,直角△ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动73【例4】如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），⊙A的半径为2，点P为⊙A上一动点.以OP为边做等腰直角三角形OPQ，当点P在⊙A上运动时，AQ的长度的最小值为

.最大值为

.M

解题顺口溜“两动两定取新点”“相同操作连新从”“手拉手型得相似”“相似定值得轨迹”Q1Q2【例4】如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），⊙A的半径为74【例5】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90∘，AB=4，BC=3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是

.

解题顺口溜“连接心动取新点”“相同操作连新从”“A型相似得定值”“根据定值得轨迹”NM1【例5】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90∘，AB=4，75动点轨迹之----隐圆问题【模型1】共端点，等线段模型【模型2】定弦定角模型动点轨迹之----隐圆问题【模型1】共端点，等线段模型【模76【例6】如图,菱形ABCD边长为4,∠A=60〫,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A´MN,连接A´C,

则A´C的最小值是

.A1【例6】如图,菱形ABCD边长为4,∠A=60〫,M是AD边77【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为

.E´O【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形78【例8】如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF。连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是

.OH´【例8】如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足79垂线段最短类【例9】（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为

．

F´F1

基本思想同侧化异侧、折线化直线分类例析垂线段最短类【例9】（2020•营口）如图，△ABC为等边三80【例10】（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为

．M1N1N2【例10】（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝181【例11】（2020•铁岭）如图，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（0，4），顶点B、D分别在x轴和直线y＝﹣3上，则对角线AC的最小值是

．Ny=-1.5M【例11】（2020•铁岭）如图，已知平行四边形ABCD的顶82将军饮马类基本思想------同侧化异侧、折线化直线基本方法------N个动点N条河，N次对称跑不脱解题关键------根据结论抓点、线分类例析将军饮马类基本思想------同侧化异侧、折线化直线基本83将军饮马类【例12】（一动两定型）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AC的中点，点P是CD上一动点，则PA+PE的最小值是为

.河边E1将军饮马类【例12】（一动两定型）如图，△ABC中，∠ACB84【例13】（两动两定型）如图，已知A（﹣6，2），B（﹣2，4），点M是y轴正半轴上一点，点N是x轴负半轴上一点，连接AB，BM，MN，NA．则四边形ABMN周长的最小值为

.将军饮马类河边河边A1N1M1B1【例13】（两动两定型）如图，已知A（﹣6，2），B（﹣2，85【例14】（两动一定型）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是

．河边河边P1P2将军饮马类N1M1【例14】（两动一定型）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AO86将军饮马类【例15】（三动点型）如图，点A是⊙O2上一动点，点B是⊙O1上一动点，点P是直线L上动点，且⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为5，O1O2=18，则PA+PB的最小值是

．将军饮马类【例15】（三动点型）如图，点A是⊙O2上一动点，87＊【例16】（三动点型）如图，在△ABC中,AC=1，∠BAC=60°，且AC⊥BC，弧BC所对的圆心角为60°.若点P在弧BC上运动，E、F分别在AB、AC上，则PE+PF+EF的最小值为

.将军饮马类OP1P2P3＊【例16】（三动点型）如图，在△ABC中,AC=1，∠B88将军饮马类【例17】（知识综合型）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为

.C1O将军饮马类【例17】（知识综合型）如图，正方形ABCD的边长89架桥选址类【例18】已知A（1，1）、B（4，2）,CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求：AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；解题要点：将定点沿定长方向平移定长距离将军饮马A1B1B1A1架桥选址类【例18】已知A（1，1）、B（4，2）,CD为轴90【例19】如图，菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，M、N是AC上两动点，且MN=2，则BM+BN的最小值为__________.架桥选址类解题要点：将定点沿定长方向平移定长距离将军饮马B1B1【例19】如图，菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=6091架桥选址类【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是

．C1C2架桥选址类【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝92【古老传说】说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。（如下图）点A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂地上行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”这个古老的传说，引起了人们的思索：小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归”问题。“胡不归”问题【古老传说】说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后93【数学问题】

根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点P，小伙子从A走到P，然后从P折往B，可望最早到达B。问题：若在驿道上行走的速度为v1=8km/h，在沙地上行走的速度为v2=4km/h.（1）小伙子回家需要的时间可表示为

;（2）点P选择在何处他回家的时间最短？【数学问题】94【问题解决】点P1即为最佳选择点，BD即为的最小值.

作图步骤（四部曲）1.找带分数的线段PA2.线段PA的定端点P3.过定端点P作射线PNPN需满足：（1）∠MPN满足sinP=（2）“＋”异“－”同的原则4.过B作射线PN的垂线BD即可.30〫CDP1N【问题解决】点P1即为最佳选择点，BD即为95【例21】如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（﹣1，0），在y轴上有一动点G，则BG+AG的最小值为

.驿道GCM点G为最值点，BC为所求线段【例21】如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（﹣96【例22】已知B（-1，0），P（1，-4），在x轴上找点M，在y轴上找点H,

使最小，并求最小值.MHP1CD1M1D点M1为最值点，P1D1为所求线段【例22】已知B（-1，0），P（1，-4），在x轴上找点97“阿氏圆”问题【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”.如下图所示，其中PA：PB＝OP：OB＝OA：OP＝k.“阿氏圆”问题【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上98【例23】如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为圆心，4为半径作圆．

点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD.则(1)AD+BD的最小值_______.

(2)AD+BD的最小值为=

.

解题步骤（五部曲）1.连：连接圆心与动点CD2.构：构“母子”型柳腰相似----缩小型内构；扩大型外构----半径CD为公共边3.算：第三边CE的长度4.连：

连接AE5.求：求AE的长68104E2【例23】如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为99【例24】已知扇形COD中,∠COD=90〫，OC=6，OA=3，OB=5,点P是弧CD上一点，求：2PA+PB的最小值.356EBE为所求线段12【例24】已知扇形COD中,∠COD=90〫，OC=6，OA100【例25】如图，P是正方形ABCD内一动点，AD=6，CP=4，求：3PA+2PD的最小值．646EAE为所求线段【例25】如图，P是正方形ABCD内一动点，AD=6，101“费马点”问题如图，如果△ABC的内角均小于120°，在△ABC内作点P，使PA+PB+PC值最小.【数学问题】【作法】如图，以AB、AC为边，在△ABC的外部作等边△ABD和等边△ACE，CD与BE交于点P，此时PA+PB+PC值最小.点P即为△ABC的费马点.“费马点”问题如图，如果△ABC的内角均小于120°，在△102【费马点性质】1、PA+PB+PC值最小2、最小值=CD=BE=PA+PB+PC3、∠APB=∠APC=∠BPC=120〫【解决思路----外旋60〫】

如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP1C1，连接PP1．则△APP1为等边三角形，AP=PP1，P1C1=PC，所以PA+PB+PC=PP1+PB+P1C1．BC1为定长，所以当B、P、P1、C1四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小.【费马点性质】1、PA+PB+PC值最小【解决思路----外103【例26】如图，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6,AC=5,在△ABC内部有点P，连接PA、PB、PC，求：PA+PB+PC的最小值.D65【例26】如图，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6,104【例27】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形内部一动点，过点P作PE⊥AD于点E，连接PB,PC，则PE+PB+PC的最小值为

.64FGFG为所求线段【例27】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是105“其它类型”的线段最值【例28】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2，顶点A、B分别在x、y轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的最大值为

.M“其它类型”的线段最值【例28】如图，在矩形ABCD中，106【例29】（2020