高中奥赛-薛定谔方程及其求解方法公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

薛定谔方程

内容：

1、微观粒子波粒二象性2、测不准原理3、波函数及其物理意义4、薛定谔波动方程

5、量子力学问题几个简例19，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化19，爱因斯坦，光电效应，光量子19，玻尔，氢原子光谱，量子态薛定谔(ErwinSchrödinger,1887–1961)

薛定谔在德布罗意思想基础上，于1926年在《量子化就是本征值问题》论文中，提出氢原子中电子所遵照波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础波动力学和量子力学近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其主要地位，它与经典力学中牛顿运动定律价值相同。薛定谔对原子理论发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。薛定谔还是当代分子生物学奠基人，1944年，他发表一本名为《什么是生命——活细胞物理面貌》书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命奥秘。奥地利著名理论物理学家，量子力学主要奠基人之一，同时在固体比热、统计热力学、原子光谱及镭放射性等方面研究都有很大成就。狄拉克（PaulAdrienMauriceDirac，1902-1984）

英国理论物理学家。1925年，他作为一名硕士便提出了非对易代数理论，而成为量子力学创建者之一。第二年提出全同粒子费米-狄拉克统计方法。1928年提出了电子相对论性运动方程，奠定了相对论性量子力学基础，并由此预言了正负电子偶湮没与产生，造成认可反物质存在，使人们对物质世界认识愈加深入。他还有许多创见（如磁单极子等）都是当代物理学中基本问题。因为他对量子力学所作贡献，他与薛定谔共同取得1933年诺贝尔物理学奖金。德布罗意(LouisVictorduedeBroglie,1892-1960)德布罗意原来学习历史，以后改学理论物理学。他善于用历史观点，用对比方法分析问题。1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文《关于量子理论研究》中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射试验想法。爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想重大意义，誉之为“揭开一幅大幕一角”。法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖取得者，波动力学创始人，量子力学奠基人之一。德布罗意假设一个质量为m实物粒子以速率v运动时，即含有以能量E和动量P所描述粒子性，也含有以频率n和波长l所描述波动性。德布罗意波，也叫物质波。德布罗意公式如速度v=5.0102m/s飞行子弹，质量为m=10-2Kg，对应德布罗意波长为：如电子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s,对应德布罗意波长为：太小测不到！X射线波段中子衍射射线衍射X例1.计算以下运动物质德布罗意波长(1)质量100g,v=10m·s1运动小球。(2)以2.0103m·s1速度运动质子。(3)动能为1.6107J电子海森伯（W.K.Heisenberg，1901-1976）

德国理论物理学家。他于1925年为量子力学创建作出了最早贡献，而于25岁时提出不确定关系则与物质波概率解释一起奠定了量子力学基础。为此，他于1932年取得诺贝尔物理学奖金。不确定关系§3.1不确定关系一、电子单缝衍射(1961年，约恩逊成功做出)电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为，经过狭缝时发生衍射，抵达C屏。第一级暗纹位置：x方向上，粒子坐标不确定度为又粒子动量不确定度为

狭缝对电子束起了两种作用：一是将它坐标限制在缝宽d范围内，一是使电子在坐标方向上动量发生了改变。这两种作用是相伴出现，不可能既限制了电子坐标，又能防止动量发生改变。假如缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上动量就愈不确定。所以，微观粒子坐标和动量不能同时有确定值。1927年，海森堡首先推导出不确定关系：二、不确定关系1927年，海森堡首先推导出不确定关系：：x表示粒子在x方向上位置不确定范围，px表示在x方向上动量不确定范围，其乘积不得小于一个常数。若一个粒子能量状态是完全确定，即E=0，则粒子停留在该态时间为无限长，t=。不确定关系数学表示与物理意义例题1：一颗质量为10g子弹，含有200m/s速度，动量不确定量为0.01%，问在确定该子弹位置时，有多大不确定范围？解：子弹动量为子弹动量不确定量为由不确定关系，能够得到子弹位置不确定范围为这个不确定范围是微不足道，可见不确定关系对宏观物体来说，实际上是不起作用。例题2：一电子含有含有200m/s速率，动量不确定量为0.01%，问在确定该电子位置时，有多大不确定范围？解：电子动量为子弹动量不确定量为由不确定关系，能够得到子弹位置不确定范围为我们知道原子大小数量级为10-10m，电子则更小。在这种情况下，电子位置不确定范围比电子本身大小要大几亿倍以上。不确定关系应用1、估算氢原子可能含有最低能量电子束缚在半径为r

球内，所以按不确定关系当不计核运动，氢原子能量就是电子能量：代入上式得：基态能应满足：由此得出基态氢原子半径：基态氢原子能量：与波尔理论结果一致。本例还说明：量子体系有所谓零点能。2、求一维谐振子基态能量（P121：例3.5）§3.3波函数及其物理意义一、波函数概率密度1、平面简谐波波函数一个频率为n，波长为l、沿x方向传输单色平面波波函数为复数形式2、自由粒子波函数一个自由粒子有动能E和动量p。对应德布罗意波含有频率和波长：波函数能够写成3、波函数统计解释某一时刻出现在某点附近体积元dV中粒子概率，与波函数模平方成正比。概率密度波函数Ψ(x,y,z,t)统计解释(哥本哈根解释)：波函数模平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发觉粒子概率，即|Ψ|2代表概率密度。波函数统计意义是波恩于1926年提出。因为波恩在量子力学所作基础研究，尤其是波函数统计解释，他与博特共享了1954年诺贝尔物理学奖。k加速电场单缝105个2×104个10个E*玻恩对波函数统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点玻恩假定描述粒子在空间概率分布“概率振幅”概率密度例题2：光子自由平面波波函数在空间各点发觉光子概率相同用波方程来描写实物粒子，依据德布罗意关系：――自由粒子波函数，描写动量为、能量为E自由粒子。经典力学

位置和速度量子力学

波函数波函数表达了波粒二象性，其中E和是描写粒子性物理量，却处于一个描写波函数中。2．归一化条件因为粒子总在空间某处出现，故在整个空间出现总几率应该为1：三、波函数标准条件及归一化1．波函数必须单值、有限、连续。单值：在任何一点，几率只能有一个值。有限：几率不能无限大。连续：几率普通不发生突变。对x、y、z分别求二次偏导：§3.2薛定谔方程一、薛定谔方程建立1．自由粒子薛定谔方程对t求一次偏导：――自由粒子薛定谔方程。三者相加：拉普拉斯算符：自由粒子:普通粒子常受到力场约束，用表示力场，则粒子在力场中受到力为：，假设处于这种力场中微观粒子波函数为，假设仍满足方程：

但此时则有：――处于以势能表征力场中微观粒子所满足运动方程，称之为薛定谔方程2．普通粒子薛定谔方程把E和P看做以下算符：然后作用于波函数上，就可得到薛定谔方程E为一常数二、定态薛定谔方程能量不随时间改变状态称为定态。设作用在粒子上力场不随时间改变，即势能中不显含时间t，将其代入方程：波函数分离变量：

解出：――定态波函数1．定态中E不随时间改变，粒子有确定能量2．定态中粒子几率密度不随时间改变3．定态薛定谔方程3．详细势场决定粒子状态改变情况，假如给出势能函数详细形式，只要我们知道了微观粒三、薛定谔方程讨论1．薛定谔方程描述了微观粒子运动状态在势场中随时间改变规律。2．薛定谔方程是量子力学基本方程，它不能从更基本假设中推导出来。它正确性只有经过与试验结果相一致来得到证实。子初始时刻状态。标准上说，只要经过薛定谔方程，就能够求出任意时刻状态。5．在薛定谔方程建立中，应用了，所4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以普通是复数形式。表示概率波，是表示粒子在时刻t、在空间某处出现概率。因而薛定谔方程所描述状态随时间改变规律，是一个统计规律。以是非相对论结果；同时方程不适合一切粒子，这是方程不足。例1：一个粒子在如图所表示势场中运动，它势能为这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子怎样运动？它波函数怎样？能量怎样？

解：因为粒子做一维运动，所以有因为势能中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。方程解为定态解所以一维定态薛定谔方程为1．方程通解(1)

所以波函数为零，即粒子不可能跑到阱外去，(2)

时，，方程为令

二阶齐次微分方程，它通解为式中A、B为两常数。

2．常数确定及能量量子化依据波函数标准条件，波函数应连续，

，(？)当时，表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能。波函数归一化：

能量是量子化

3．讨论(1)能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中粒子能量是量子。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出，不用再做量子化假定。(2)波函数物理意义处于不一样能级粒子，在势阱中几率分布不一样。(3)实际意义：金属内自由电子，可看成在势阱中运动粒子。

例2势垒贯通粒子受到势能为：计算粒子在三个区出现几率。粒子含有能量为E，

解：设粒子在I、II、III区波函数分别为，它们满足薛定谔方程为：

令

方程解为：依据波函数连续条件和归一化条件能够确定常数，结果如图：可见，即使，粒子仍能够穿过II区进入III区，这种贯通势垒效应称为隧道效应。粒子从I区到III区几率为

4.一维简谐振子势能一维谐振子定态薛谔方程为引入无量纲参量(1)(2)渐进方程这个方程解，但只有渐进解满足时，

条件，这是因为谐振子势是一个无限深势阱，只存在束缚态.对束缚态，在无穷远处，u必须趋于零.

(3)于是方程（3）解能够写成(4)

将(4)代入（3）式，得到v满足方程为

厄米（Hermite）微分方程，可用级数法求其解.普通情况下，解为一个无穷级数，

它在时渐进解为

代入（4）所得u不能满足束缚态边界条件，必须使这个级数中止，即要求是一个多项式.级数中止条件是（5）中参数必须是奇数，即（5）（6）这时，方程（5）有一个多项式解（7）称为厄米多项式，它表示式为

（8）前厄米多项式几个为

将（6）式代入(2）式，得简谐振子能量本征值（9）简谐振子能量是量子化，只能取离散值，它能级如图3-14所表示，通常把能级图画在势能曲线

图上.

简谐振子能级存在两个特点：一是能量间距都是相同，二是n=0时，基态能量不为零，即有零点能，.这意味着简谐振子不可能禁止不动.这是与经典物理学完全不一样量子效应，也是不确定关系直接结果.简谐振子能量为本征函数为，也就是简谐振子处于定态波函数.

（10）其中，为归一化常数，（11）第n激发态概率密度有n+1个极大值波函数和概率密度如图3-15和图3-163.3.1力学量平均值3.3量子力学中力学量当测量粒子位置时候，每次所得结果可能是不一样，但其概率密度分布是正确，也就是位置平均值是确定，如粒子位置坐标由归一化后，我们可求出在空间处发觉粒子平均值为概率密度为此式也可改写为（3.61）

势能函数，是粒子位置坐标函数，势能平均值

（3.62）下面来求动量分量平均值，不过在量子力学中，依据不确定关系，动量不可能是坐标函数。定态波函数动量概率密度是经过傅里叶变换能够建立和之间联络：（3.63）

（3.64）

粒子动量平均值为（3.65）

将（3.64）式代入（3.65）式，可得到所以，假如想要用波函数来求动量平均值，只需要把换为算符形式就行，即

（3.66）

（3.67）

进行类似计算可得（3.68）称为动量算符.对应算符为显然，动能（3.69）

在经典力学中，系统总能量称为哈密顿函数，它对应算符通常称为哈密顿算符（Hamiltonianoperator）,用表示，即（3.70）

类似地，角动量对应算符为（3.71）

（3.72）

角动量算符用球坐标表示为（3.73）

角动量平方算符为（3.74）

量子力学三大基本假设：1.系统量子态用波函数来描述；2.力学量用算符来表示；3.力学量A平均值为（3.74）

3.3.2力学量本征值和本征函数力学量算符作用在波函数上等于一个数值A乘以上述方程称为算符本征值方程。扫描隧道显微镜(ScanningTunnelingMicroscopy—STM)STM原理.0.1nm,0.01nm1986年，宾尼博士和罗雷尔与创造电子显微镜鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。§5.5氢原子量子力学处理一、氢原子薛定谔方程电子在原子核库仑场中运动：

定态薛定谔方程：

氢原子问题是球对称问题，通常采取球坐标系：

氢原子在球坐标下定态薛定谔方程：

二、分离变量1．

代入方程，并用乘以两边：

是一个与

无关常数。

径向方程：角方程：2．

代入方程，并用乘以两边：

是一个与无关常数。

三、

三方程解1．方程解方程解为：波函数单值：

波函数归一化：2．方程解关联勒让德方程。求解过程中发觉，为了得到符合波函数标准条件解，必须对和加以限制：方程解为关联勒让德多项式：

3．方程解关联拉盖尔方程，方程解为关联拉盖尔多项式

玻尔半径只要给出了、一对详细数值，就能够得到一个満足标准条件解。

四、H原子波函数对应一组量子数，就能给出波函数一个详细形式，所以确定了原子状态。当时，取任何值都能使R满足标准条件解。所以正值能量是连续，相当于自由电子与H+离子结合为原子时释放能量。

§5.6量子力学对氢原子运动状态描绘一、量子数物理意义1．主量子数与能量量子化当时，能量是量子化，自然得出。2．角量子数和角动量角子化

角动量是量子化，自然得出。旧量子论：

当角动量很大时，，，二者一致，所以玻尔理论给出了近似结果。3．磁量子数m和空间量子化

个角动量在外场方向分量也是量子化，即空间取向量子化，自然得出。因为薛定谔方程是非相对论，没有导出自旋量子数和自旋磁量子数。

所以，在附近、内找到电子几率为：在球坐标中，二、电子几率分布：代表几率随角度分布；：代表几率随角度分布；