高中数学人教A选择性必修一第一章 12 第2课时 空间向量基本定理的初步应用课件

第一章

§1.2空间向量基本定理第2课时空间向量基本定理的初步应用第一章§1.2空间向量基本定理第2课时空间向量基本定理11.会用基底法表示空间向量.2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.学习目标XUEXIMUBIAO1.会用基底法表示空间向量.学习目标XUEXIMUBI2内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练内知识梳理题型探究随堂演练课时对点练31知识梳理PARTONE1知识梳理PARTONE4知识点一证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使

.a＝λbp＝xa＋yb知识点一证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量思考怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？答案

平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.思考怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、知识点二求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝

.(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔

.a·b＝0思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？答案

几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围.知识点二求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则co知识点三求距离(长度)问题思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？答案

几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.知识点三求距离(长度)问题思考怎样利用向量的数量积解决几思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××√思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPAN2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO10一、证明平行、共面问题例1如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点.求证：BF∥ED′.∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.一、证明平行、共面问题例1如图，已知正方体ABCD－A′B反思感悟证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.反思感悟证明平行、共面问题的思路跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝

BB1，DF＝

DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.所以A，E，C1，F四点共面.跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1二、求夹角、证明垂直问题例2如图所示，在三棱锥A－BCD

中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点.(1)证明：AE⊥BC；又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，二、求夹角、证明垂直问题例2如图所示，在三棱锥A－BCD(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝

，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法跟踪训练2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.跟踪训练2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，高中数学人教A选择性必修一第一章12第2课时空间向量基本定理的初步应用课件三、求距离(长度)问题例3已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l

，在l上有两点A，B，线段AC⊂α

，线段BD⊂β

，并且AC⊥l

，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝________.26三、求距离(长度)问题例3已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l解析∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥

l

，BD⊥

l

，AB＝6，BD＝24，AC＝8，∴CD＝26.解析∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，∴CD＝26.反思感悟求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题.反思感悟求距离(长度)问题的思路√√3随堂演练PARTTHREE3随堂演练PARTTHREE231.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是√√因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,由上可知，BD满足要求.123451.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一A.钝角三角形

B.锐角三角形C.直角三角形

D.不确定√12345同理，C，D均为锐角.A.钝角三角形 B.锐角三角形√12345同理，C，A.90° B.60° C.45° D.30°√12345A.90° B.60° C.45° D.30°解析因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以SC与AB所成角的大小为60°.12345解析因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，又A4.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________.123457∴PC＝7.4.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°5.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝

，则cos〈a，b〉＝_____.123455.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a1.知识清单：(1)空间向量基本定理.(2)空间向量共线、共面的充要条件.(3)向量的数量积及应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR4课时对点练PARTFOUR31√基础巩固12345678910111213141516√基础巩固123456789101112131415162.如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是A.长方形B.正方形C.梯形D.菱形√123456789101112131415162.如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边所以四边形PQRS为平行四边形.所以PS＝PQ，故四边形ABCD为菱形.12345678910111213141516所以四边形PQRS为平行四边形.所以PS＝PQ，故四边形AB3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是√解析根据题意可得，123456789101112131415163.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4.在正三棱柱ABC－A1B1C1

中，若AB＝

BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是A.60° B.75° C.90° D.105°√＝a·b＋b·c－a·c－c2∴CA1与C1B所成的角的大小是90°.123456789101112131415164.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝B5.如图，二面角α－l－β等于

，A，B是棱l上两点，BD,AC分别在平面α，β内，AC⊥l

，BD⊥l

，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于12345678910111213141516√5.如图，二面角α－l－β等于，A，B是棱l上两点，12345678910111213141516123456789101112131415166.已知向量a，b满足条件|a|＝

，|b|＝4，若m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则实数λ＝_____.解析因为m·n＝0，所以(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，123456789101112131415166.已知向量a，b满足条件|a|＝，|b|＝4设直线AB与CD所成角为α，12345678910111213141516设直线AB与CD所成角为α，12345678910111218.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________.123456789101112131415168.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝解如图，连接AC，EF，D1F，BD1，12345678910111213141516解如图，连接AC，EF，D1F，BD1，123456789123456789101112131415161234567891011121314151610.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.1234567891011121314151610.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别1234567891011121314151612345678910111213141516综合运用A.－3 B.－1 C.1

D.3√解析连接AG(图略)，12345678910111213141516综合运用A.－3 B.－1 C.1 D.3√解12.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，

点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是A.30° B.45° C.90° D.60°√解析因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，设所求异面直线的夹角为θ，则1234567891011121314151612.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，A13.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______.90°1234567891011121314151613.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等14.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1

，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________.(填序号)12345678910111213141516①②14.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C解析以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，12345678910111213141516解析以顶点A为端点的三条棱长都相等，12345678910所以②正确.显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.则③不正确.12345678910111213141516所以②正确.显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°所以④不正确，故①②正确.12345678910111213141516所以④不正确，故①②正确.1234567891011121315.(多选)在四面体P－ABC

中，以上说法正确的有√12345678910111213141516拓广探究√√15.(多选)在四面体P－ABC中，以上说法正确的有√1212345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151616.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心.求证：B1O⊥平面PAC.1234567891011121314151616.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的证明如图，连接BD，则BD过点O，12345678910111213141516证明如图，连接BD，则BD过点O，123456789101又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，∴OB1⊥平面PAC.12345678910111213141516又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，123456789本课结束更多精彩内容请登录：本课结束更多精彩内容请登录：60第一章

§1.2空间向量基本定理第2课时空间向量基本定理的初步应用第一章§1.2空间向量基本定理第2课时空间向量基本定理611.会用基底法表示空间向量.2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.学习目标XUEXIMUBIAO1.会用基底法表示空间向量.学习目标XUEXIMUBI62内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练内知识梳理题型探究随堂演练课时对点练631知识梳理PARTONE1知识梳理PARTONE64知识点一证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使

.a＝λbp＝xa＋yb知识点一证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量思考怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？答案

平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.思考怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、知识点二求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝

.(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔

.a·b＝0思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？答案

几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围.知识点二求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则co知识点三求距离(长度)问题思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？答案

几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.知识点三求距离(长度)问题思考怎样利用向量的数量积解决几思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××√思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPAN2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO70一、证明平行、共面问题例1如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点.求证：BF∥ED′.∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.一、证明平行、共面问题例1如图，已知正方体ABCD－A′B反思感悟证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.反思感悟证明平行、共面问题的思路跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝

BB1，DF＝

DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.所以A，E，C1，F四点共面.跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1二、求夹角、证明垂直问题例2如图所示，在三棱锥A－BCD

中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点.(1)证明：AE⊥BC；又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，二、求夹角、证明垂直问题例2如图所示，在三棱锥A－BCD(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝

，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法跟踪训练2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.跟踪训练2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，高中数学人教A选择性必修一第一章12第2课时空间向量基本定理的初步应用课件三、求距离(长度)问题例3已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l

，在l上有两点A，B，线段AC⊂α

，线段BD⊂β

，并且AC⊥l

，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝________.26三、求距离(长度)问题例3已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l解析∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥

l

，BD⊥

l

，AB＝6，BD＝24，AC＝8，∴CD＝26.解析∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，∴CD＝26.反思感悟求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题.反思感悟求距离(长度)问题的思路√√3随堂演练PARTTHREE3随堂演练PARTTHREE831.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是√√因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,由上可知，BD满足要求.123451.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一A.钝角三角形

B.锐角三角形C.直角三角形

D.不确定√12345同理，C，D均为锐角.A.钝角三角形 B.锐角三角形√12345同理，C，A.90° B.60° C.45° D.30°√12345A.90° B.60° C.45° D.30°解析因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以SC与AB所成角的大小为60°.12345解析因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，又A4.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________.123457∴PC＝7.4.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°5.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝

，则cos〈a，b〉＝_____.123455.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a1.知识清单：(1)空间向量基本定理.(2)空间向量共线、共面的充要条件.(3)向量的数量积及应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR4课时对点练PARTFOUR91√基础巩固12345678910111213141516√基础巩固123456789101112131415162.如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是A.长方形B.正方形C.梯形D.菱形√123456789101112131415162.如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边所以四边形PQRS为平行四边形.所以PS＝PQ，故四边形ABCD为菱形.12345678910111213141516所以四边形PQRS为平行四边形.所以PS＝PQ，故四边形AB3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是√解析根据题意可得，123456789101112131415163.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4.在正三棱柱ABC－A1B1C1

中，若AB＝

BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是A.60° B.75° C.90° D.105°√＝a·b＋b·c－a·c－c2∴CA1与C1B所成的角的大小是90°.123456789101112131415164.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝B5.如图，二面角α－l－β等于

，A，B是棱l上两点，BD,AC分别在平面α，β内，AC⊥l

，BD⊥l

，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于12345678910111213141516√5.如图，二面角α－l－β等于，A，B是棱l上两点，12345678910111213141516123456789101112131415166.已知向量a，b满足条件|a|＝

，|b|＝4，若m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则实数λ＝_____.解析因为m·n＝0，所以(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，123456789101112131415166.已知向量a，b满足条件|a|＝，|b|＝4设直线AB与CD所成角为α，12345678910111213141516设直线AB与CD所成角为α，12345678910111218.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________.123456789101112131415168.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝解如图，连接AC，EF，D1F，BD1，12345678910111213141516解如图，连接AC，EF，D1F，BD1，123456789123456789101112131415161234567891011121314151610.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.1234567891011121314151610.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别1234567891011121314151612345678910111213141516综合运用A.－3 B.－1 C.1

D.3√解析连接AG(图略)，12345678910111213141516综合运用A.－3 B.－1 C.1 D.3√解12.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，

点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是A.30° B.45° C.90° D.60°√解析因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，设所求异面直线的夹角为θ