高中数学 回归分析的基本思想及其初步应用课件

回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用学习目标：1、回顾必修3统计相关内容，介绍回归分析的思想与步骤；2、线性回归模型与回归模型的R2检验；学习目标：1、回顾必修3统计相关内容，介绍回归2、线性回归模------------必修三内容回顾------------------------必修三内容回顾-----------如：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是y=x2确定性关系如：某水田水稻产量y与施肥量x之间没有一个确定性的关系

在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y3303453654054454504551、变量之间的两种关系---函数关系和相关关系如：正方形的面积y与正方形的边长x之间的y=x2确定性

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

相关关系是一种不确定性关系；自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变例、下列各组变量中，不是相关关系的是（）

A.销售人员工作年限与销售额大小

B.圆的周长与它的半径

C.光照时间与果树的亩产量

D.数学成绩与物理成绩B例、下列各组变量中，不是相关关系的是（）B正相关负相关2、散点图正相关负相关2、散点图3、回归直线方程称为样本点的中心。性质：回归直线过样本点的中心3、回归直线方程称为样本点的中心。性质：回归直线过样本点的中1、计算；2、计算未知参数；3、写出线性回归方程4、求线性回归直线方程的步骤1、计算；2、计算未知参数统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。

回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。

其主要内容和步骤是：首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验；5、回归分析的内容和步骤统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因例、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)的对比表：(1)试用最小二乘法求出线性回归方程；

(2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯(1)作散点图如图所示解由散点图知两个变量是线性相关的例、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)的于是：由于是：由于是，线性回归方程为

y=57.557-1.648x2)由回归方程知，当某天的气温是-3℃时，卖出的热茶杯数为57.557-1.648×(-3)≈63(杯）于是，线性回归方程为

y=57.557-1.648x2)练习：假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料试求：(1)线性回归方程；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？参考数据：练习：假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程y＝bx＋a用回归直线方程解决应用问题选修１-２——统计案例引入线性回归模型y＝bx＋a＋e了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2

和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计选修１-２——------------线性回归模型------------------------线性回归模型------------例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量．2.回归方程：1.散点图；分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1思考:产生随机误差项e的原因是什么？我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。思考:我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、忽略了其它因素的影响：影响身高y的因素不只是体重x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高y的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。随机误差e的来源(可以推广到一般）：函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型：可以提供选择模型的准则函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型：可以提供函数模型：回归模型：

线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化。

在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。函数模型：回归模型：线性回归模型y=bx+a+e---------------残差分析------------------------------残差分析-----------1、残差分析与残差图的定义：

然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。

我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。

数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。1、残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残注意：1）残差分析步骤：1）计算每组数据的残差，即样本值减预测值2）画残差图。纵坐标为残差，横坐标为自变量。3）分析残差图4）找异常值2）残差图的制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择.横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误.

横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地.注意：1）残差分析步骤：1）计算每组数据的残差，即样本值减预下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。残差图问题数据越窄越好注意：残差图的作用：1)发现原始数据中的可疑数据，问题数据

2)判断模型的适用性，若模型选择的正确，残差图中的点应该比较均匀地落在

以横轴为中心的水平的带状区域中

带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高，说明选用的模型较合适。下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。残---------------R2检验------------------------------R2检验-----------回归模型：

我们用回归方程中的估计上式中的。由于，所以是e的估计量。

对于样本点其估计值为成为相应于点的残差。回归模型：我们用回归方程中的估计上我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是相关指数R21.公式反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差相关指数R21.公式反映回归直线的拟合程度例2、在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。解：例2、在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量Y件之间的一组列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。00.3-0.4-用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。——这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。小结用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪相关系数

1.计算公式2．相关系数的性质(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？相关系数1.计算公式相关系数ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，r∈[-1,-0.75]--负相关很强;

r∈[0.75,1]—正相关很强;

r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般;r∈[0.3,0.75]—正相关一般;r∈[-0.25,0.25]--相关性较弱;相关系数ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，r∈[-1,-0相关关系的测度

（相关系数取值及其意义）-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关关系的测度

（相关系数取值及其意义）-1.0+1.00-回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用学习目标：1、回顾必修3统计相关内容，介绍回归分析的思想与步骤；2、线性回归模型与回归模型的R2检验；学习目标：1、回顾必修3统计相关内容，介绍回归2、线性回归模------------必修三内容回顾------------------------必修三内容回顾-----------如：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是y=x2确定性关系如：某水田水稻产量y与施肥量x之间没有一个确定性的关系

在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y3303453654054454504551、变量之间的两种关系---函数关系和相关关系如：正方形的面积y与正方形的边长x之间的y=x2确定性

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

相关关系是一种不确定性关系；自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变例、下列各组变量中，不是相关关系的是（）

A.销售人员工作年限与销售额大小

B.圆的周长与它的半径

C.光照时间与果树的亩产量

D.数学成绩与物理成绩B例、下列各组变量中，不是相关关系的是（）B正相关负相关2、散点图正相关负相关2、散点图3、回归直线方程称为样本点的中心。性质：回归直线过样本点的中心3、回归直线方程称为样本点的中心。性质：回归直线过样本点的中1、计算；2、计算未知参数；3、写出线性回归方程4、求线性回归直线方程的步骤1、计算；2、计算未知参数统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。

回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。

其主要内容和步骤是：首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验；5、回归分析的内容和步骤统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因例、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)的对比表：(1)试用最小二乘法求出线性回归方程；

(2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯(1)作散点图如图所示解由散点图知两个变量是线性相关的例、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)的于是：由于是：由于是，线性回归方程为

y=57.557-1.648x2)由回归方程知，当某天的气温是-3℃时，卖出的热茶杯数为57.557-1.648×(-3)≈63(杯）于是，线性回归方程为

y=57.557-1.648x2)练习：假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料试求：(1)线性回归方程；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？参考数据：练习：假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程y＝bx＋a用回归直线方程解决应用问题选修１-２——统计案例引入线性回归模型y＝bx＋a＋e了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2

和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计选修１-２——------------线性回归模型------------------------线性回归模型------------例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量．2.回归方程：1.散点图；分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1思考:产生随机误差项e的原因是什么？我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。思考:我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、忽略了其它因素的影响：影响身高y的因素不只是体重x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高y的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。随机误差e的来源(可以推广到一般）：函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型：可以提供选择模型的准则函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型：可以提供函数模型：回归模型：

线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化。

在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。函数模型：回归模型：线性回归模型y=bx+a+e---------------残差分析------------------------------残差分析-----------1、残差分析与残差图的定义：

然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。

我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。

数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。1、残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残注意：1）残差分析步骤：1）计算每组数据的残差，即样本值减预测值2）画残差图。纵坐标为残差，横坐标为自变量。3）分析残差图4）找异常值2）残差图的制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择.横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误.

横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地.注意：1）残差分析步骤：1）计算每组数据的残差，即样本值减预下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。残差图问题数据越窄越好注意：残差图的作用：1)发现原始数据中的可疑数据，问题数据

2)判断模型的适用性，若模型选择的正确，残差图中的点应该比较均匀地落在

以横轴为中心的水平的带状区域中

带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高，说明选用的模型较合适。下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。残---------------R2检验------------------------------R2检验-----------回归模型：

我们用回归方程中的估计上式中的。由于，所以是e的估计量。

对于样本点其估计值为成为相应于点的残差。回归模型：我们用回归方程中的估计上我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是相关指数R21.公式反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差相关指数R21.公式反映回归直线的拟合程度例2、在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。解：例2、在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量Y件之间的一组列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-