线性代数辅导第四章

理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．

a2na11x1a2naxax 21 22 若

amnamn ,r线性无关 ,r线性表示则 ,r称为齐次线性方程组的一个基础解系，且该方程组的通解xk11nRA)nRA)rn时,方程组有非零解，其基础解系含有nra2na11xa2n

axax 21 22

aamn

am1x1am2x2

a2na11x1a2naxax 21 22

amnam1x1am2x2amnABBA设1及2都是(1)的解，则x12为对应的齐次方程组(2)的解设是方程组(1)的解，是方程组(2)x仍是方程组(1)krr如果是方程组(1)的一个特解，1,2, ,r是方程组(2)的一个基础解系，则方程组(1)的通解是k11krrnRA)R(B),则方程组(1)RA)R(B)rn,则方程组(1)RA)R(B)n，方程组(1)当方程组个数等于未知量个数时，可考虑先求AA0，可用克拉默法则求方程的唯一解．若A0，列出增广矩阵用消元法求解；x25x3x4 x2x3x x8xx 3x29x37x4

3/ 1 7/

3x~~r1r2

，化简后的方程组为 r44r20r44r20

2x3x31x40x30x41 7/2 基础解系为

xk

k 0

1 2 1 3x22 2

x4

x1

x2x2403

1 x4

10 7/2 基础解系为

0 1 2 x2x3

x4x5 x3x3x4x 4xx3x2x x24x38x44x5111334111334412484BRA)R(B)3n511384

*134,120

x4 1 , 5 得 8x4,32 x 513 8 从而得它的基础解系为15,21 −0 8 −0

15k21，其中k1k2 0 1 x5

5x5x5x4k1x5k2x1 8 3

k15k211 04 x 0 0 15 3B0B2233求参数的值;(2)证明|B|

0

解(1)B0BB的每一 5(1)故

10．因为B的每一列都是齐 方程组(*)的解,所以有AB0|B|0B可逆,

存在,从而由(AB)B10B10推得A0,与A0,故|B|0例4设n阶矩阵A的各行元和均为0，且A的秩为n1，试求齐次线性方程Ax0解因为RA)n1Ax0nrn(n1)1个解向量．又因为A的各行元和为0，ai1ai2 即 ,1)T是Ax0的一个非零解故方程组Ax0的通解为 ,1)T其中

a1nxna 21a

a22x2 a2n

5线性方程组

an1,1x1an1,2x2an1,nxn的系数矩阵A,Mi(i1, ,n)是在矩阵A中划去第i列所得到的n1阶子式，证明 n(M,M,,(1)n1 n

A的秩为n1，则方程组的解都是(M1,

n分析为证明(1)，可直接把(M1,n

)nn

ai

aM

)

i

i

i1 n1对(2)，因为RA)n1，所以方程组的基础解系只包含一个解向量．同时M,i1, ,n不全为0，即(M,M ,(1)n1

证(1)对i1,2,...,n1

ai

aM

)

i

i

即向量(M1,

,(1)n1

)满足第i(i1, ,n1)个方程，所以它是方程组n因为RA)n1,所以矩阵An1nM1,

1)n1M0;nrnn1)n个解向量组成．因此(M1,n

,(1)n1

)是方程组的一个基础解系，其通解为nk(M1,n

,(1)n1Mn6(2K303-2-4AnATA的转置矩阵，则对于线性方程组nAX0和(II)ATAX0A(II)的解是(I)的解，(I)的解也是(IIB(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)C(I)的解不是(II)(II)的解也不是(ID(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是(I) AX0的解显然为ATAX

的解．又X满足ATAX

，则有XTATAX0，即(AX)T(AX0AX0AX0ATAX0因此选A例7设f(t)aat atn，证明：若f(t)有n1个互异零点，则f(t)恒为 证明设f(t)的n1个互异零点为t0 ,tn，则有f(ti)0，atn0,i0,1,atn0,i0,1,n,n 1 2这是以a0,a1, ,an为未知数的齐次线性方程组其系数行列式为n1阶范德蒙行列式的转 t t t t 1 t

tn

t)

01 t t 故a0a1 an0，即f(t)0 2例8设A c，且方程组Ax0的解空间的维数为2,求Ax0的 1 分析Ax0nRAn42nRA)4RARA)2，故先确定cRA)221c12 1cc1 c (c.解 .(c1)2RA)2，则(c1)20，可得c1，此时同解方程组为x1x

x 例9为何值时，方程

(3)2

33D3

2(3( 当0且1时，方程组只有零解xx30当0或1时，方程组有非零解．当0x(3

k为任意实常数．当1x(

k(1,k例10(94508)设1,2,3

Ax012,23,31证明先证12,23,31A(12)A1A200故12是该方程组的解，同理可证23,31也是方程组的解．再证12,23,31线性无关．设有常数k1k2k3使k1(12)k2(23)k3(31)即(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)3因为1,2,3线性无关k1k30,k1k20,k2k3k1k2k30．即12,23,31线性无关．因为方程组的基础解系含有312,23,31t例11(96408)设向量1,2, ,t是齐次方程组AX0的一个基础解系向量不是方程组AX0的解，试证明：向量组,1,2, ,t线性无关．t证明设有一组数k,k1,k2 ,kt，使得kki(i)0， (kki)(ki

(kki)A(ki)Ai 因为A0，故kki0，这样得到(ki)i0．由于 ,t是基 ,t，解系，所以k1k2 kt0,k0,因此,t，

12证明三个平面1xcybz,2yazcx,3zbxay相交于一条直线a2b2c22abc显然这三个平面都过原点，由此知，它们要相交于一过原点的直线的充要条件是xcybzcxyazbxayz a12abca2b2c2 即a2b2c22abc13A*nAR(A*)

R(A)R(A)n(2)|A*||A|n1

R(A)n(1)A*AA*|A|E得证．(2)是(1)的自然推论．证(1RA)n|A|0.由两边取行列式得|A||A*||A|n

即|A*||A|n1

R(A*)nRA)n1时，|A|0A至少有一个n1A*的定义A*R(A*)1.AA*|A|EAA*0A*nAx0RA)n1Ax0R(A*RA)n1R(A*)1．RAn1时，A的所有n1阶子式均为0Aij0i,j12n,A*0R(A*)0.这证明了(1当|A|0RA)n，故由(1|A*||A|n1当|A|0RAn

由(1)R(A*)

故|A*|

从而也有|A*||A|n11

11

0 例14(2K206-12)设2, ,0，A

B是182 180 0

2B2A2xA4xB4x1

10 10

1A21

0

0

B 021

1 0 A2TT(T)T2AA48A16Ax8Ax16x即8A2ExE 令x(,x)T，代入上式，得到非齐次线性方程 x1x

2x 1

12x22x312其齐次方程组的通解为k2k11 0 0 1 2 1

0x*xk20 1 1 2 1x1 1 例15(2K103-1-4)已知方程组 a2x23无解，则a 2x 3 1 1 1解 a 3 1 1 0 a (a1)(a a 方程组无解，则a例16(2K308-9)设向量组a2,10)T,2,1,5)T，1,14)T 1,bc)T．试问：当abc可由1,2,3线性表出，且表示唯不能由1,2,3线性表示可由1,2,3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式．解设有一组数k1k2k3，使得k11k22k33.

|A

a当a4|A|0可由1,2,3当a4

11

b1100B 100 c 若3bc1RA)R(B)不能由1,2,3a43bc1秩(A秩(B23，方程组有无穷多解，可由1,2,3线性表示，但表示不唯一．解得k1tk22tb1k32b1t为任意常t1(2tb1)22b1)3.17(02308)ax1bx2bx3 bxnbxaxbx bx axnbx1bx2axn其中a0,b0,n2，试a,b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无abbabbbb|A|bab[a(n1)b](abbba当ab且a(1n)b aaa aaa a 1 10100 a 0A

x2 xn0,0),,0),T2 ,cn1为任意常数当a(1n)bA bbbb 11111111111 1 1 111n 00 00 10

xn ,

x其基础解系为 nxcc为任意常数n例18(2K303-2-3)设1,2,3AXb

0,12,3TcAX 1

1 0

1 2

1 3

32A2c132

2c1；

2c

2c431 31

34 34

35 35

AA 002

2 0 2 )

6 2 4 例19取什么值时下列方程组无解，有解，有解时求解x2x3 xx x

1

2

~

~

1 1 (1)

r2r1

3

1r3r101

1

1 若1

1xk1

00.2 1 2 x 0 1 03 若1

2

r

(1

1)r3r2

(1)2 若2RA)2R(B)3如