专题与圆有关的最值问题

00与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2.设tanZBOC二m，则m的取值范围是.引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作OD，以O为圆心OA长为半径作00,C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交0O于点E,BC=a，AC=b，求a+b的最大值.引例3：如图，ZBAC=60。，半径长为1的圆O与ZBAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,3\/3C.则线段DE长度的最大值为（）.A.3*yB.6OD.一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（ZDAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略直观感觉，画出图形；特殊位置，比较结果；理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用如图，A点的坐标为（-2,1）,以A为圆心的0A切x轴于点B,P（a,b）为0A上的一个动点，请分别探索：③b-a③b-a的最大值；④b-a的最大值;【拓展延伸】①b+2a的范围；②b—2a的范围;D点运动过程中，线段D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.例二、圆外一点与圆的最近点、最远点如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2,M为BD的中点，在1.如图，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2力2,D是线段BC上的一个动点，以AD1.如图，AABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2力2,D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作0Q分£C别交AB,AC于E,F两点，连接EF,则线段EF长度的最小值为.2.如图，定长弦CD在以AB为直径的0Q上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP丄AB于点P,若CD=3,AB=8，则PM长度的最大值是.例四、柯西不等式、配方法如图，已知半径为2的0Q与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C,PC与0Q交于点D,连接PA、PB,设PC的长为X（2VxV4）,则当x=大，且最大值是为.—时，PD・CD的值最如图，线段AB=4,C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,0Q外接于△CDE,则。Q半径的最小值为（）.如图，Q）的直径为4,C为OQ上一个定点，ZABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为；（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为例三、正弦定理A.4D.2例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,则线段CE长度的最小值.A.4D.2例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,则线段CE长度的最小值.2.如图，RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4，以AC上的一点0为圆心0A为半径作OO,若00与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段A0的取值范围是.如图，射线PQ〃射线MN,PM丄MN,A为PM的中点，0为射线PQ上的一个动点，AC丄AB交MN于点C,当以0为圆心，以0B为半径的圆与线段PM有公共点时（包括P、M两点），则线段0P长度的最小值为.例五、其他几何知识的运用如图所示，AC丄AB,AB=6,AC=4,点D是以AB为直径的半圆0上一动点，DE丄CD交直线AB于点E,设ZDAB=a,（0°Va<90°）.若要使点E在线段0A上（包括0、A两点），则tana的取值范围为.5824194582419458241945824194関1関1g坤関咨用图【题型训练】如图，已知直线l与00相离，0A丄l于点A,0A=5,0A与00相交于点P,AB与00相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在00上存在点Q,使厶QAC是以AC为底边的等腰三角形，则00的半径r的取值范(A)(A)已知：如图，RtAABC中，ZB=90°,ZA=30°,BC=6cm,点0从A点出发，沿AB以每秒J3cm的速度向B点方向运动，当点0运动了t秒（t>0）时，以0点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点,过E作EG丄DE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是.如图，0M,0N的半径分别为2cm,4cm，圆心距MN=10cm.P为0M上的任意一点，Q为0N上的任意一点,直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为a,当P、Q在两圆上任意运动时，tanZa的最大值为（）.4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,04.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,0为矩形ABCD的中心,个动点，连接AP、0P，贝9^A0P面积的最大值为（）•⑻21（C）35以D为圆心1为半径作0D,P为0D上的一(A)4（D）如图，在RtAABC中，ZC=90。，AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是（）.A.B.C.5D.A.B.C.5D.4^2如图，在等腰RtAABC中，ZC=90°AC=BC=4,D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合）,过A、D、E三点作00,00交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，线段ef长度的最小值为•如图，A、B两点的坐标分别为（2,0）、（0，2）,OC的圆心的坐标为（-1,0），半径为1,若D是OC上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,则厶ABE面积的最小值是（）.8.如图，已知8.如图，已知A、B两点的坐标分别为（-2,0）、（0,1）,OC的圆心坐标为（0,-1）,半径为1,D是OC上的一个动点，射线AD与y轴交于点E,贝△ABE面积的最大值是（）.A.311B.—C.A.311B