典型概率论例题要举一反三

典型概率论例题要举一反三〔〕:

摘要：针对概率论课程的常考知识点，通过设计典型例题进展举一反三训练教学，发现假设强迫性地让学生对典型例题进展达标训练，不仅有利于强化概率论根底知识的理解和掌握，使概率论的考试成绩有明显进步，而且可以让学生通过不断地挑战自己，提升学习积极性，培养良好的思维品质和创新才能，进而从更深层次上掌握相关知识，在以后的学习工作中可以灵敏运用。

关键词：概率论；典型例题；举一反三

本文引用格式：马巧云，等.典型概率论例题要举一反三[J].教育现代化,2022,7(36):159-163.

LearningbyAnalogyforTypicalProbabilityExample

MAQiao-yun,LIUTong-sheng,LVHai-yan

(CollegeofInformationandManagementScienceofHenanAgriculturalUniversity,ZhengzhouHenan)

Abstract:Forthemontestpointsofprobabilitytheory,designingandtrainingtypicalexamplesisagoodteachingway.Itisfoundthatifstudentsareforcedtotraintypicalexamplestomeetthestudystandards,itisnotonlytostrengthentheunderstandingofbasicknowledgeandraisethetestscores,butalsotoencouragestudentschallengingthemselvesandcultivatinggoodlearningquality,andthentomasterrelatedknowledgedeeply,whichcanbeflexiblyusedinfuturelearning.

Keywords:Probabilitytheory;Typicalexamples;Drawinferencesfromoneinstance

一引言

概率论是研究随机现象及其规律性的一门学科【1】。围绕随机现象及其规律性的研究，需要进展随机试验并观察试验结果得到样本空间，进而对样本空间中感兴趣的结果作为随机事件研究其发生的概率，提醒随机现象的发生规律。然后，通过引入随机变量及其相关的数学描绘，研究随机变量的分布及其数字特征，从而更明晰地提醒随机现象及其规律性。

随机变量的分布和数字特征是概率论的重点，不仅反映了概率论研究的根本思想，有助于培养概率思维的品质，而且是概率论教学大纲和考试大纲的根本要求【2】。近年来的教学理论说明，假设老师能找准典型例题，强迫性地让学生对典型例题进展达标训练，不仅可以有效地掌握概率论的根本知识，使考生的概率论答卷明显得以改善，而且对于学生后续的学习和工作有极大的促进作用。

文中呈现的例题涉及随机变量的主要知识点和考点，包括：〔1〕密度函数的定义和性质〔2〕分布函数的定义和性质〔3〕结合分布和边缘分布〔4〕独立与相关性〔5〕数字特征〔6〕随机变量表达事件概率的计算等，根本可以涵盖随机变量及分布相关的主要知识点【3】，可实现对概率论根底知识掌握程度的检测。在例题呈现根底上通过对其进展深化剖析，提醒了例题本身的典型特征，探究了典型例题举一反三的教学过程及其作用。

二例题呈现

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三例题剖析

〔一〕契合大纲，涵盖知识点多

本道例题包含七个小问题，涵盖了随机变量的概率密度和分布函数、多维随机变量的结合分布与边缘分布等根本概念，以及随机变量的数字特征和与随机变量表示相关事件的概率的计算，还有随机变量间独立性的判断和证明、独立与相关的关系等【4】。而这些知识点的考察广泛出如今概率论课程的考试及研究生招生考试中的概率论局部。从教学大纲和考研大纲来看，分布函数的概念和性质，离散型和连续型的随机变量及其分布，二维随机变量的结合分布、边缘分布和条件分布，随机变量的独立性和不相关性，以及随机变量的数学期望、方差等数字特征，都是教学的重点也是考试的重点。

〔二〕规律性强，方便举一反三

本道例题不仅解题方法和过程有很强的代表性，而且解的结果也有典型的规律性。可推广到一般情况见例2。

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这样，非常方便地通过修改数据,例如a2,b3，或者a5,b2等进展举一反三训练，不仅有利于对概率论根本知识点的掌握，也有利于学生在训练中找到成就感，不断挑战自己，进而进步学生学习数学的积极性和主动性。

〔三〕具有可拓展性，可启发思维

本道例题还可拓展到离散情况，如可将此题拓展为如下的例3。这样不仅可以有效复习相关知识点，而且可以通过类比考虑，启迪思维。因离散型随机变量及其分布比拟详细，相对容易求解，例3便不再给出详解。

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〔四〕具有广泛的应用性

例1给出了一类典型的连续型随机变量的分布规律，即指数分布。指数分布广泛用于表示独立随机事件之间发生的时间间隔的概率问题，比方旅客进机场的时间间隔，来电的时间间隔，网站访问的时间间隔等。指数分布也是一种常见的寿命分布，但因其具有的无记忆性，违犯了机械零件的损伤累积和老化规律，虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中有着广泛的应用。在寿命分布和可靠性研究【5】中，也经常会用到类似的指数分布。

四教法过程

例题是数学学习过程的重要局部，数学知识的掌握、才能的进步、思想方法的形成、综合素质的培养都需要通过例题的教学来实现【6】。例题不仅涵盖了知识信息，而且可以激发学生学数学的兴趣，并方便监测学生的学习效果【7】。因此合理地设计例题教学过程和方法是决定数学教学效果的关键环节。

遵循由易到难、演练再现、举一反三的原那么，可以很好地到达掌握根本知识、培养思维品质和才能的目的。

〔一〕由易到难

例中涉及的各个知识点在各章节学习过程中应当作为重点加强举一反三训练，在学习完概率论全部课程时，首先将例1作为综合练习题加以呈现，并围绕该例题强化密度函数、分布函数、结合分布和边缘分布、独立性等根本知识点，引导同学考虑将这类问题一般化为例2。最后再通过对a,b详细化，进展举一反三训练。如a2,b3，或者a5,b2等，为了防止有同学因恐惧二重积分而放弃对本类典型题的练习，也可先从离散情形的例3

开展举一反三训练，在纯熟掌握例3解题过程和熟悉根本概念的根底上，补授二重积分要点，引导学生比照完成例1的练习，再推广到例2。

〔二〕演练再现

数学学习离不开解题，因为"问题";是数学学习的心脏[8]。演练再现将少数学生的上台演板和多数同学的台下练习相结合，老师既要关注台上，又要关注台下，及时发现问题。这种演练再现的过程不但可以展示知识生成，也有助于及时发现并纠正学生解题中的错误，是弥补知识破绽、强化学生认知的重要途经。通过演练和讲评，可加深学生对根本概念的理解和对根底知识的掌握，并通过课堂测验来检验学生的学习效果。

〔三〕举一反三

针对课堂测验成绩不好的同学，要求其对该类题型通过不断调整题目中的参数a,b取值，进展举一反三强化训练，并由老师或者指定同学作为负责人进展监视，强迫这些学生对本例题进展达标训练，以致让学生到达可以为自己出题，并做出正确结果，并使学生在构造习题的过程中学会创新，勤于探究，到达培养学生创新才能的目的。

五结语

典型例题因其能较好地概括新知识的生成和开展，是稳固根底知识、启迪创造性思维的重要工具，而练习那么是数学知识生成和开展的根基。因此对典型例题进展举一反三训练，不仅可以加深学生对根本概念的理解和对根底知识的掌握，及时发现并纠正学习中的错误，而且有助于培养学生的创新才能和良好的思维品质。在今后的数学教学中希望我们的老师能根据学生的认知现状，在认真研读课本和大纲的根底上，精心创设和优选典型例题，借助典型例题在教学过程中的开启功能，既要有重点讲解，又要有举一反三训练，以有效促进学生创造性思维的开展，使学生能领略到学习数学的价值。

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