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返回第二章刚体定轴转动

本章将要介绍一个特殊质点系—刚体—所遵从力学规律。刚体能够看成由许多质点组成。在外力作用下各质元之间相对位置保持不变。所以，刚体是固体物件理想化模型。音乐花径不曾缘客扫，蓬门今始为君开。名句赏析

内容提要

刚体定轴转动运动学

转动定律

刚体定轴转动能定理，功效关系

角动量原理角动量守恒定律水平面刚体水平面刚体第一节刚体两种基本运动形式刚体两种基本运动形式一平动

结论：刚体在平动运动中，连接体内直线在空间指向总保持不变，各点含有相同速度,相同加速度。可按质点力学规律处理。固定轴刚体二定轴转动特点：刚体上各点绕轴在与轴垂直平面内做圆周运动。各质点速度，加速度普通不一样,可按前面质点运动学处理.

三刚体更复杂运动形式：平面平行运动，定点转动，举例说明（略讲)。定轴转动平动力学欣赏木星环海水转动一刚体定轴转动运动方程第二节刚体定轴转动运动学固定轴刚体

如图，一刚体定轴转动，怎样确定该刚体位置。在固定轴上固结轴。与夹角不停构想在刚体上有一直线，在刚体转动中，改变，是时间函数，一定，则刚体位置确定（或曰刚体上全部质点位置确定），改变，说明刚体位置改变。因而，用可确定刚体位置。为刚体定轴转动运动方程。如同质点一维运动时二角速度

设称为角位移，代数量。则固定轴刚体平均角速度瞬时角速度即对运动方程求一阶导数。单位或矢量性角速度能够定义为矢量，以表示，它方向要求为沿轴方向。其指向用右手法则确定。

在定轴转动中，因为角速度仅有两个方向，故可用代数量来表示其矢量性。详细做法是：要求一转动方向为正方向，当角速度与其同向时，取正；反之取负，详见后面例题分析。刚体三角加速度固定轴刚体加速转动减速转动

若是改变，同理得瞬时角加速度.单位或或由运动方程可得，均为代数量。矢量式为一样，在定轴转动中，角加速度仅两个方向，当角加速度与其同向时，取正；反之取负，详见后面例题分析。对匀变速转动特殊情形恒量若则有质点直线运动与刚体定轴转动运动规律比较运动方程速度加速度其它关系式运动方程角速度角加速度其它关系式

固定轴四角量和线量关系

如图示，刚体上一点绕轴在与刚体轴相垂直平面内做圆周运动，P半径为。加速度法向加速度切向加速度例题该点速度为例2—1刚体定轴转动运动方程为，求:1时和；2时，处，和。解：12时***矢量关系矢量式大小方向向内:刚体上一质点速度沿方向.刚体上一质点加速度第二节刚体定轴转动定律

问题提出：

当质点运动或刚体平动时，是运动状态，是运动状态改变，原因是即协力是产生加速度原因。在刚体定轴转动中，转动状态，转动状态改变，角加速度产生原因是什么呢?本节回答此问题。定轴一力矩力作用线在轴垂直平面内,力对水平轴力矩为刚体，力对水平轴力矩定轴分解力，则力矩可记为矢量式方向：沿轴，与和均垂直。

若力作用线不在与轴垂直平面内，则把力沿轴与轴垂直方向分解：作用线沿轴分力对轴不产生力矩；而作用线在与轴垂直平面内力力矩可用以上方法来分析与计算。平行转动轴分力力矩平行于转动轴，不会产生轴向力矩。二刚体定轴转动定律设一刚体定轴转动中，研究力矩与角加速度间定量关系。在刚体上取一小块，质量为，到轴垂直距离为。内力外力据牛二律法向分量式：切向分量式：

为简单其见，设二力作用线在与轴垂直平面内。

因为本题讨论中心是角加速度与力矩关系，而第二式含有，故仅讨论第二式。得对整个刚体求和因解释原因则令

例1—31如图，体系开始静止，当摆线由水平摆到竖直时，车及球速度。光滑水平面车解：体系机械能守恒。体系水平方向动量守恒。解得怎样求物体抵达最低点时绳中得张力。

例1—32一质量为木块置于光滑水平面上，其上有二分之一径为光滑圆弧，如图示。当质量为小球沿圆弧由运动到圆弧底部时，二者速度。

解：本题特点是,作用中，体系沿水平方向动量守恒，取向左为正方向。在最底点时，设大木块及球对地均向左运动，则有解（略）过程中，对体系，仅重力作功，故机械能守恒，则***物体系在竖直方向动量是否守恒，为何?动能来自何方?哪些力对做功；与间一对内力功之和为多少?结论式中称为转动惯量。为刚体受外力矩代数和。上式表示内容为转动定律。说明：1该式含有瞬时性（解释）。2矢量式为

详细使用方法是：要求一转动方向为正方向，当力矩与要求正方向一致时，取正；反之取负；当角加速度与要求正方向同向时，取正；反之取负；通常选择转动方向（角速度方向）为要求正方向，这么得到了转动定律代数式。祥见后面例题分析。也为刚体受外力，但对轴力矩为零。如图示，要求力力矩方向为正方向时，则有力矩与美三转动惯量1物理意义牛二律知由转动定律

由比较知，当合外力矩一定时，转动惯量越大，越小，刚体转动状态即角速度越难以改变，即刚体维持原有运动状态能力强；反之则弱。所以，转动惯量是刚体转动惯性量度。在力一定时，越大，则加速度越小，表示物体维持原来运动状态能力越强；反之亦然。称为物体平动惯性量度。简言之，质量越大，其状态越难以改变。2计算转动惯量，如图所表示。定轴

其物理意义为：各质元质量与到轴垂直距离平方之积和。

考虑到刚体是质量分布连续体，则1求均质圆环对中心轴转动惯量。o例2—2解：可见，转动惯量与质量大小相关。2求均质圆盘对中心轴转动惯量。解：利用上题结果为基础，取一圆环。由上可知，转动惯量与质量分布相关。此结果也适合圆柱体。

解：1轴过端点。

例2—3求均匀直杆转动惯量。1轴过端点。2轴过质心。2轴过质心。可见，刚体转动惯量与轴位置相关。***

平行轴定理介绍解释对过质心轴转动惯量对与过质心轴相平行轴转动惯量二轴间距离

（证实略）

例均质杆又刚体对轴和轴转动惯量为***

平行轴定理证实取刚体上过刚体质心为刚体质心在同一水平面内。它们刚体质心所以***

垂直轴定理介绍薄板***

垂直轴定理介绍证实薄板对轴转动惯量对轴转动惯量对轴转动惯量则有结论：转动惯量2与质量分布相关,

1与质量相关,

3与轴位置相关。例2---4求由杆与球组成体系对轴转动惯量。解：转动惯量含有叠加性。

例2—5如图，半径为，质量为均质圆盘可绕经过质心水平轴自由转动。盘上绕一段绳，绳两端分别系二物体和，如图所表示。求盘角加速度，二物加速度及绳内张力。设物体运动中，绳与轮间无相对运动，而且。

解：解题思绪：本题似曾相识。在高中阶段怎样求解此题?轮质量不计。仅研究和二物体，绳仅为连接体。则有

然而，此处要考虑轮（因给出了质量和半径）-----刚体。此为一刚体和二质点组成物体系。怎样求解：用隔离体法，分析各物体受力。

此处，，因和质量不等，二者会加速运动，它们加速度大小与轮边缘处切向加速度大小同值，故按转动定律，轮所受合外力矩定不为零，故。转动正方向轮投影式：对轮，利用转动定律，则对二物体和，利用牛二律，则（1）（2）（3）（4）联立可得（略）。

例2—6如图，半径为，质量为均质圆盘可绕经过质心水平轴自由转动。盘上绕一长绳，绳另一端系一质量为物体，求绳中张力及.三式联立求解得运动学联络解：力图设转动正方向(略)本题转动定律又可写为本题转动定律又可写为讨论1系统从静止开时，经时间t物体下落高度及轮转过角度。

2若轮转动时，轴处摩擦阻力矩为（恒力矩），结果怎样?解：轮：物：转动正方向3若阻力矩为，为恒量，求轮角速度表示式。物：解：轮：二式联立，消去，在利用分离变量法，积分求得。（略）例2—7在外力矩作用下，物体以速度上升，撤去外力矩后，物体上升多高时开始下落。并求轮角加速度。解：减速运动设转动正方向联立求解，得联立求解。解：减速运动设转动正方向联立求解，得联立求解。例2—8求解：例2---9如图为一榔头击打物体时情形.相关说明以下:分别为锤柄与锤头质量;为系统质心;手握锤柄处;手握锤柄处与锤头中心距离;手握锤柄处与质心中心距离;锤柄长,即锤柄端到锤头中心之距.被击物对锤头作用力.

求打击时质心加速度及锤柄对手切向力.解设打击时手对柄切向力为,由质心运动定理,有(1)以为轴,由转动定律,有(2)由角量与线量关系,有(3)据质心定义,有(4)(1)(2)(3)(4)对转动惯量为(5)以上五式联立,解得(详见教材讨论,略)解：杆受力如图。1

例2—9如图示，一长为质量为均质杆可绕过一端水平轴自由转动，开始时，杆水平。若杆突然释放，求:1释放后瞬时（杆仍水平），，，，2当杆转到与水平成时上述值。

质心处.由质心运动定理，有解得2当杆转到与水平成某一角时,由转动定律,有显然,杆做变角加速度转动.越来越小.结果可得。质心求用积分转动定律。怎样求杆转到时角加速度与角速度.得或积分经验谈怎样正确地利用转动定律7利用运动学条件。转动定律是刚体定轴转动时规律。利用时：1选定刚体（盘，柱，杆等）及定轴；2分析刚体受力，并找出各力力矩；3求各力力矩代数和；4写出详细表述；5该式含有瞬时性，与刚体运动状态（大小和方向）无关;6利用隔离体法,对质点利用牛二律;一力矩功

设一刚体绕轴转动。一力作用在点,为简单起见，设力作用线在与轴垂直平面内，如图示。为点到轴垂直距离。

该力作用点轨迹为半径为圆，故该力元功为第三节力矩功转动动能功效关系则

由以上看出，功定义不变，只是用力矩来计算刚体转动中力功简单，当然，仍可用力功。若力矩是转角函数，用上式积分；若是恒力矩。则上式为是转角。二转动动能

在定轴转动刚体上取一质量为质元,其动能为整个刚体动能为其中转动惯量转动动能oo

若刚体定轴转动时仅有保守力(或保守力力矩)做功，则机械能守恒。

三动能定理机械能守恒律即合外力矩功等与转动动能增量。2杆转到与水平成时角加速度；例2—9如图示。1杆水平时角加速度；3杆竖直时角速度；解：123利用动能定理

例2—9如图示,杆长为,质量为,求杆由水平位置(静止)转到竖直位置时角速度.水平位置(静止)解法2用动能定理求解.即解得竖直位置某瞬时位置解法3考虑到仅重力做功,用机械守恒律求解.水平位置(静止)竖直位置零势能面机械能得或利用机械能守恒定律。零势能面怎样求杆上各点速度和加速度?

例2---16如图，求杆由水平释放后（仍水平）时,杆和及杆转到竖直位置时，。轴解：（学生自己做）。

例2----18求杆角加速度，及转到水平位置时角速度。解：（学生自己做）。例2---19推证转动动能定理。第四节角动量定理角动量守恒定律一角动量定理

转动定律瞬时性。则过程性。

该式物理意义是:瞬时力矩对微小时间累积

引发物理量改变。(与类比)在一段时间内(与类比)定义冲量矩角动量

角动量定理：刚体所受合外力矩冲量矩等于刚体角动量增量。实质讲力矩时间累积及效果间关系。若合外力矩是恒力矩，则上式简化为

说明1角动量是矢量，表示为，方向与同。

不过，在定轴转动中，沿轴，仅有两个方向，若要求一方向为正，则另一方向为负，因而，在定轴转动中，角动量为代数量既可。角动量定理矢量式:转动方向

物理意义：为质元动量与质元到轴垂直距离积，称为其动量矩（与力矩比较）。L为组成刚体各质点动量矩代数和。故又称动量矩。角动量定理又称动量矩定理。2动量矩3质点动量矩(角动量)质点动量矩(角动量)普遍定义式大小矢量式动量在矢径垂直方向投影与矢径大小积。方向右手螺旋法则。定点矢径轨迹例求一沿直线运动质点角动量.大小:方向:垂直平面向外解（协力）

质点角动量定理

质点动量改变率由质点受协力决定。质点角动量改变率由什么决定呢？质点角动量对时间改变率则式中称为质点所受协力对此固定点力矩。力矩为矢量:方向，右手螺旋法则。大小定点矢径轨迹且式中为质点受外力对定点力矩。为动量矩或角动量增量或称为质点角动量定理.形式同刚体角动量定理.

质点系角动量定理形式同刚体角动量定理,因刚体本身为质点系.例2—10体系从静止开时，经秒后轮角速度。解：轮：物：动量矩定理动量定理二式联立得结果或另一方法

例2—9二分之一径为，质量为均质圆盘置于水平桌面上，设盘在桌面上转动初角速度为，盘和桌面间摩擦系数为，盘经多长时间停顿转动。解：阻力矩为略去数值例题另一解法

二角动量守恒定律称为角动量（或动量矩）守恒律。对质点,因则三角动量守恒应用

即使角动量守恒定律由单一刚体绕定轴转动时导出，然而确有更广泛应用范围，归纳以下。对定轴转动刚体,因若质点受合外力矩为零时,即则称为质点角动量（或动量矩）守恒律。

1单一质点

在很多情形下，一质点绕一固定点运动，质点受协力作用线恒过此固定点，即协力力矩为零，则质点对该固定点动量矩(角动量)守恒。如近日点远日点太阳地球动量不守恒!但机械能守恒。据动量矩(角动量)守恒定律,地球对太阳处角动量恒定;还有电子在原子核场中运动等。因与共线,对即太阳处力矩为零,即如在地球围绕太阳做椭圆轨道运动时对近日点与远日点,有而且,机械能守恒

例一倔强系数为，原长为弹性绳一端固定，另一端系一质量为小球，整个系统在光滑水平面上，如图示。开始时，如图。求物体与O点最近距离。

解：分析：物体绕O运动时，受协力恒指向O点，故对O点动量矩守恒。当物体运动到B点时，弹性绳恢复到原长，但不是最近距离，今后，物体惯性运动，到C点时，为最近距离。BC2角动量守恒1机械能守恒演示032角动量守恒定律向下拉特点：小球在绳作用下运动，不停靠近绳穿过孔。此过程中，角动量守恒，动能不守恒，机械能不守恒，动量不守恒。小孔2物体系如图为一定轴转动刚体，角动量守恒。恒量

想象把此刚体分为若干块，它们为一物体系（为一些刚体，或刚体与质点组合），则体系受合外力矩仍为零，体系内各物体间有内力和内力矩，但对体系总角动量无影响。由此推出：当一物体系在相互作用时（即有内力和内力矩），而体系所受合外力矩为零，则体系角动量守恒。这么，把动量矩守恒律推广到物体系。内力矩使体系内各物体间角动量交换。作用中，是否机械能守恒或动量守恒，视是否满足二者条件而定。（代数和）2刚体系

例如图示，若轮B沿轴移向A轮，当二者接触后，二者因摩擦最终以相同角速度转动，求其值，设。

解：当二轮接触后，因有轮间内摩擦力矩，A轮转速减慢，而B轮加紧。

最终，二者以相同转速转动。

作用过程中仅内力矩做功，故体系角动量守恒。作用前作用后

据此得到

作用过程中，机械能不守恒，为何?例2—12如图示，质量为半径为均质盘（砂轮）绕定轴自由转动，某瞬时，其边缘处爆列，一质量为一小块向上飞去，求余下盘角速度。

解：小块飞出时，此小块与余下盘部分为一物体系，体系合外力矩为零，故此过程中，体系角动量守恒。作用前作用后是经常犯错误!3刚体与质点系一均质杆自由悬挂，处于静止状态。一子弹水平射向杆。当子弹击中杆后，嵌入杆内，使体系获角速度。

作用中，系统外力矩为零（包含重力矩和轴处约束力）为零，体系角动量守恒作用前作用后杆静止子弹运动，对轴有动量矩杆与子弹一起转动但作用中动量不守恒，机械能也不守恒!今后怎样运动,恪守什麽守恒率.轴对杆有作用力子弹冲量矩定理动量定理杆角动量原理

推导设子弹击中杆后与杆共同角速度为设二者作用时间为内力二式相加，整理得补：设轴处水平作用力为解释：杆动量定理

例如图，均质杆可绕过质心自由转动轴在水平面内转动。杆静止。一刚球垂直射向杆，与杆做完全弹性碰撞。求作用后杆角速度。作用前解：角动量守恒机械能守恒作用后动量不守恒：作用中体系所受外力为轴对体系作用力解释

作用中，体系机械能不守恒，动量不守恒。在何处有外力，请考虑其计算。例

如图所表示，均匀细棒OA可绕过端点轴在水平面内转动，开始棒静止，速率为V子弹从棒端穿过后速率为

，则该棒角速度为2V()A()B()D()COALMmmVr2Vr[]比如图所示，均匀细棒AB长,质量为可绕过质心竖直轴在水平面内转动，开始棒静止，速度为子弹在棒端击中杆,并嵌于其中,则杆角速度为.39演示角动量守恒定律人相对盘静止，随盘一起转动刚体，质点系人相对盘沿盘缘跑动过程中，体系角动量守恒为人相对盘速度

解：设轮半径为，

设人向上爬时，物对地速度为，体系受合外力矩为零，人对地速度为二者速度大小相同，故同时抵达。作用前，体系动量矩为作用前，体系动量矩为据动量矩守恒定律则有

例2—14如图，人与物同质量，开始体系静止。当人以相对速度向上爬动时，求二者对地速度及人与物谁先抵达轮处。并讨论计论半径和质量时，及二者质量不一样时情形。***计轮质量时，由角动量守恒律得***

若人质量为，而物体为。

体系合外力矩为体系角动量为由角动量原理（或动量矩定理)得或即注意到，得此时人和物作加速运动。

人向圆心跑动中，体系角动量守恒。4轴位置不变,转动中无外力矩作用,但质量分布改变

当体系在无外力矩情形下，对轴角动量守恒，若体系质量分布改变，其转动惯量对应改变，因而，角速度改变。如：花样滑冰；跳水；跳马；巴蕾舞等。（物体在无外力矩存在下，因内力而使质量分布改变)生物力学生熟鸡蛋地判断美的力学宇宙飞船中宇航员在空中翻转身体。角动量角动量在广泛领域内应用：

天体间，星体公转与自转动量矩。以及微观体系内粒子角动量，如电子轨道运动角动量，电子，中子及其它粒子自旋角动量等。而且，据近代物理理论，微观粒子角动量是量子化，自旋及自旋角动量是微观粒子基本属性。***用角动量守恒律解释科里奥利力当球在光滑盘面由A向B运动时，其角动量守恒。在A点时球在向外运动时，增大，故对地角速度减小，因而，球相对盘面有一与相反转动（球越向外运动，其值越大），球相对盘面轨迹为曲线。横向力为科氏力。经验谈怎样正确地利用角动量守恒定律

关键分析出体系（或物体）在作用中，对轴（或一定点）合外力矩为零（而不是合外力为零）。注意动量守恒律和角动量守恒律区分。切无混同。动力学内容比较质点一维运动刚体定轴转动牛一律牛二律转动定律力矩平衡功动能定理动能定理功动量定理角动量原理（冲量矩定理）对物体系守恒律条件第五节滚动（略讲)一刚体平面平行运动:运动学设一圆柱体在地面上滚动

质心对地速度:

轮上某点相对质心速度:轮上某点相对地面速度为轮纯滚动:因为圆柱体与平面间无相对滑动。质心平动，而轮上各点绕质心转动运动学规律

在轮纯滚动时，轮缘上一点P转过角时，轮质心C移动距离为，轮质心速度大小为二轮纯滚动:运动学即为纯滚动运动学条件。据速度叠加，轮缘上各点速度为

不难得出，轮缘上与地面接触点速度为瞬心质心平动，而轮上各点绕质心转动。运动学规律该点称为转动瞬心。而轮上不一样点速度各异。三动力学规律静摩擦力瞬心质心运动规律动能如图绕质心转动规律

轮做纯滚动，与地接触点速度为零，可取为瞬时转动中心，能够此为瞬轴，写出转动定律。推广联合解题。例讨论圆柱体沿斜面纯滚动，质心运动规律解：为何有，无能否纯滚动。分量式：绕质心转动规律联立解得柱与斜面间最大静摩擦力为若即或

则圆柱体不可能在斜面纯滚动了。所以，圆柱体在斜面上纯滚动条件为功效关系为不做功，为什麽﹖演示012圆柱形刚体静摩擦力纯滚动纯滚动为质心平动和绕质心转动合运动静摩擦力产生对质心力矩重力分力对瞬心产生力矩o质心轨迹第六节进动

类比法是学习和研究物理一个基本方法。

质点

与平行，物体做直线运动,被加速或减速；动量方向不变，仅改变大小。与垂直时，此时，力仅改变动量方向，而大小不变，如匀速率圆周运动。协力与动量垂直，动量绕点匀速转动，而动量增量与力同向。

刚体

在定轴转动中，和皆沿轴，角动量增量与力矩方向相同。当与方向一致时，刚体加速转动；反之减速转动。

若与垂直，刚体做何种运动呢?此时刚体不可能再做定轴转动运动。由物理规律表示式可知，角动量增量仍是与力矩方向相同，但与角动量本身方向垂直，此时，力矩只会改变角动量方向，而不改变其大小。结果，使角动量在空间转动，刚体绕一点进动。如同匀速率圆周运动中动量在空中转动一样。解释+垂直于!增量与力矩同方向陀螺陀螺角动量绕定点转动。即进动。应用炮弹运行飞机，舰艇急转弯自行车转弯陀螺定向进动应用1飞机，军舰行进中快速转动。轴承压力形成。2定向。子弹运行。3电子轨道在外磁场中进动。4双原子分子轨道角动量在绕核间轴进动。5自行车进动。飞行子弹进动图（阻力）（磁矩）电子轨道运动在外磁场中进动示意图本章重点与难点转动定律角动量原理角动量守恒律一运动学1运动方程（运动规律）2角速度3角加速度匀变速时4角量和线量关系二转动定律瞬时性。代数和转动惯量意义三功与能力矩功恒力矩功12转动动能3功效关系

如图示，系统静止，弹簧处于原优点，不计摩擦，求物体下滑速度。光滑零势能面4若仅保守力力矩做功，则机械能守恒。四角动量原理角动量守恒定律

1角动量原理

2角动量守恒定律

体系角动量守恒。

这个定律应用有一定难度，关健是有哪些物体组成物体系，作用过程中，系统外力矩为零。该过程中，协力可能不为零，动量不守恒；机械能也可不守恒。角动量质点刚体下一章返回清明清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。借问酒家何处有，牧童遥指杏花村。（唐）杜牧

例1—31如图，体系开始静止，当摆线由水平摆到竖直时，车及球速度。光滑水平面车解：体系机械能守恒。体系水平方向动量守恒。解得怎样求物体抵达最低点时绳中得张力。

例1—32一质量为木块置于光滑水平面上，其上有二分之一径为光滑圆弧，如图示。当质量为