2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总-将军饮马问题及其11种变形汇总

2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总——将军饮马专题古老的数学问题将军饮马"，“费马点r"胡不归问題"，“阿氏阴“等都运用了化折为直的数学思想这类何題也是中考试题为中比较难的一类题目.常常出现在填空题斥紬題或解答題压轴題中.那么如何破解这类压轴題呢？【问是磁】最短路徨何题是图论研完中的一个经典算法何題，旨在寻找图（由结点和路径组成的〉中浙结点之何的最短路径.算法具体的形式包样：定起点的最短箱径何趕，即已知起始结点，求最战路径的何趕.确定终点的呆短路径问題：与确定起点的问题相反，该问題是己知终结结点，求最短路径的何题.定起点终点的用短路径问题：即已知起点和终点，求两绪点之间的最短路径.4・全局最短路径何題：求图中所有的最短路径.【剛WK型】“将军饮马”“造桥选址”【涉及知识】“两点之间线段用短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“紬对称”,“平移杪.【出JB1MU直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圈、坐标轴、抛物线等.【解愿思路】“化曲为直”=两定一动.偷过敌营.【问題订作袪作觀康理A■/5在直线I上求一点几使连M,与/交点即为P.A*B两点之阿銭段最短.最小值为.0•题型—事两定动，将军饮［冋理21“将军饮马”马.作法作图）原理.%B1左点线1上求一点P.便E4FB值最小作0关于/的对称点r览〃，与/交点即为p.A8,两点之间线段最短.加PB最小值为A3

例b如阁，AM1EF.BNXEE•垂足为M、N.MN=12a,MI=Sm.BN=4m・P是EF上任总一点.则pA+FB的帰小值是id.分析，这是凰基本的将军饮马问趣・A,B是定点，P是动点，属F两定一动将军饮马空，根据常见的”定点定线作对称”•可作点A关于EF的对称点从根据两点之间，线段最短•连接*B,此时AT4-PB即为AP,用短•而要求AB则需要构造直角三角形，利用勾股進理解决.作点A关于EF的对称点崖过点"作A'CIBN的延长线于C•易知*VM=AU=NC=5m,BC=9n•A*C=M\=i2mf在RtAA'BC中."B=15dBUPA+PB的最小值是15m・A卜.BEy“PN上！A9C例2,如图.在等1Z1AABC中.AB=6.AD丄BC,E是AC上的一点M是AD士的一点.且AE=2＞求EM+EC的最小值解：点C关于直线AD的对称点是点P•连接BE,交AD于点则ME+MD®小.过点B作BH丄AC于点H,则EH=AH-AE=3-2：]•BH=°CH2=&2珞3不在克角ABHE申.BE-JBH2十HE2.*3\r(3))2+12.2&对应繚习題1•如国•在1•如国•在△ABC中.AC=BC=2-ZACBWCr,D是BC边的中点，E足AB边上一动点•则2在菱形ABCD中.对丹纽AC-6.BD-8,点艮F分别是边AB、的中虑•点P在AC上运动.在运动过程中•存在PE+PF在运动过程中•存在PE+PF的最小值•则这个晟小值是3•如图•点C的坐标为（3.y）当△ABC的周长最短时求y的值.A03aOQ(-BD2D0aE在止方形ABCD内•在对角线4•如亂正方形ABCD的面枳是E在止方形ABCD内•在对角线AC上有一点化则PMPEAC上有一点化则PMPE的最小值为J1型三，两动一定，无路可逃.KM31作法作冬原理A在直线11、12上分别求点M、N,使APMV的周长最小.分別作点P关于两直线时対为直?-和p",trr\与两宜践交点卽为MN.&严两点之间绽段最短.的最小值为线段P0'的长.例1:P为OOB内一址点.N分别为射线0A-0B上一点，当APMN同长瑕小时.厶恥=80・・<1)ZAOB=•V2)求证：0P平分乙MP、t#r：这又是一定两动型将军饮马何题，我们应该先将\l，N的位置找到•再来思瘠zAOB的度数，显然作点P关于0A的对称点巴关于0B的对称点厂•连接FT,其与0A交点即为松0B交点即为M如下图•易知zDPC与JOB互补，则求出厶DPC的度数即可.解岳(1)法X如国.zl+z2=100\zi=zr+z3=2zS,z2=zr#+z4=2z4•则考虑到第二小问要证明OP平分dIPX我们就连接OP•则要证Z5=£6•显然很困难，这时備考老到对称性，我们再连接0尸0严.则乙5=Z7-乙6=乙8,问題迎刃而解.解答；法2?易知0尸=0厂.z7+z8=r5+z6=80\乙P'O严二100-•由对称性知.乙9=乙11.乙10=乙12.zAOB=w9+e・10=0(T由0卩=0円，少0严=100知.z7=z8=40e.z5=z6=W>0卩平分z\(PN.

例2*如图.在五边形ABCDE中.厶BAE=136•.zJ}=ziE=90\在BC、DE上分別找一点MsN使得eAMN的周反虽小时•则十乙ANM的度敖为分析7这又是典型的一定两动型将军饮马问題必然足作A点关于BC、DE的对称点A，、.V,连接A-A\与BC.DE的交点即为从如周长最小时M、N的位宜.解答：如图，vW\E=136*,•••△TA+AA"A=4「由对称性知rZMAXZMA'A.AAT=WZJW+zANM=24YA+2z\A"A=8&对应煤习息若厶PQR周长晟小•则恳小周&是苏少？1如图.ZAOB=30-■ZAOB内有一定点P.且0P=10-在0A上有一点Q・0B上有一点R.

2如国6,当AAMBM（的点长最小值射线OA、0B上的动点・OP平分NAOB.且3•如图・NMO\TO•尸为ZMOF内一定点，A为0\1上的点・B为ON上的点.当APAB的周长取最小值时'（1）找到A、B点，保留作图痕迹；（2）求此时ZAPB等于多少度。如果NM0N=4•ZAPB又尊于多少度24点C为ZAOB内一点.（1）在0A求作点D.08上求作点i…CDE的用长虽小.诸田出图丿険V2）在（1）的条件下•若ZA0B=3Q9■OC=10，求HDE周长的廉小值和此时ZDCF的度敌四v两定两动•双双落网.

的周长最作法为原理在宜线h、的周长最作法为原理在宜线h、h上分别求点M■N使四边形P0MV的周长最小.分别作点Q、P关于直线h、h的对称点Q*和P连Qt