多元函数ppt公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第七章多元函数微积分第一节多元函数基本概念第二节二元函数极限与连续第三节多元函数微分法第四节多元函数积分法第一节多元函数基本概念一、空间点直角坐标二、平面区域三多元函数横轴纵轴竖轴原点空间直角坐标系三个坐标轴正方向符合右手系.一、空间点直角坐标1、空间点直角坐标Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ2、点与坐标空间点有序数组特殊点表示:坐标轴上点坐标面上点2、空间两点间距离空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为二、平面区域1、邻域定义1.1设与是任意两点，非负数称为点与点距离，表示为||或图1－1注：这两种邻域只是形式不一样，无本质区分。2、平面点集集合E聚点聚点4、n维空间三多元函数在自然现象以及实际问题中，经常会碰到多个变量之间依赖关系，举比如下：例1圆柱体体积和它底半径、高之间含有关系，这里，当、在集合内取定一对值时，对应值就随之确定。第二节二元函数极限与连续一、二元函数极限二、多元函数极限性质、定理三、累次极限四.多元函数连续性一、二元函数极限时极限(二重极限),记为几点注意二、多元函数极限性质、定理多元函数极限假如存在,则必唯一.应用这个性质,可将一元函数极限运算法则和性质推广到多元函数中来.又(有界量)(无穷小量)无穷小量性质因为解例1有理化(平方差公式)解例2三、累次极限累次极限是指以下极限普通说来,这两个极限不一定相等.在高等数学中,运算次序不能随便交换.定理若两个累次极限存在,但不相等：因为两个累次极限不相等,故解例3二重极限存在不一定能推出累次极限存在.但例4即算两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.请同学们课后讨论函数时两类极限.当四.多元函数连续性多元函数连续性与一元函数连续性类似,与函数极限亲密相关.一、二元函数连续性定义二、有界闭区域上连续函数性质一元连续函数在闭区间上性质,推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上性质.在空间中,闭区域不一定有界.在一维空间中,闭区间一定是有界.性质1(最大、最小值定理)设为有界闭区域.任意一个值,最少存在一点使得且在上取两个若函数值与则对于与间性质2(介质值定理)依据函数连续定义,只需证实想想,应该怎么做?解例5利用夹逼定理:故函数在点(0,0)处连续.利用极坐标第三节多元函数微分法一、多元函数偏导数二、偏导数几何意义三、全微分定义四、多元复合函数微分法

五、极大值和极小值定义六、函数最大值和最小值繁啦！烦多元函数偏导数是一元函数导数推广,其计算往往是借用一元函数计算公式和方法,但实际计算往往较繁.

在推广中有一些东西将起质改变.我们通常介绍二元函数情形,所得结果能够推广到更高元函数中,普通不会碰到标准性问题.一、多元函数偏导数函数增量点函数表示1.多元函数偏增量和全增量函数在点处全增量为:函数在点处偏增量为:对于中函数可仿此进行增量定义其中全增量例

2.元函数偏导数定义多元函数偏导数计算方法,没有任何技术性新东西.求偏导数时,只要将n个自变量中某一个看成变量,其余n－1个自变量均视为常数,然后按一元函数求导方法进行计算即可.解例2由定义,此例也可用以下方式求解但最好采取前一个方法.将y看成常数将x看成常数解例3xyzO..二.偏导数几何意义二元函数偏导数存在,只是表明函数沿x轴和y轴方向是连续,而二元函数在一点处连续必须是沿空间任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数几何意义说明了一个问题:三、全微分定义时,若函数在点X0

处全增量可则称函数在点X0

处可微,设函数在点某一邻域称为函数在点X0处全微分,其中,a,b是与DX内有定义,当取得增量且表示为

0相关常数.无关,仅与X全微分概念极限形式其中可微：定理可微必要条件定理二元函数可微充分条件解例5回头看全微分公式这与物理中叠加原理相符.一.全导数多元函数经复合运算后,普通仍是多元函数,但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数讨论方法,复合函数求导法则研究可从复合后成为一元函数情况开始.这就是全导数问题.四、多元复合函数微分法定理(全导数公式)设以下函数满足定理条件,写出二元和三元函数全导数公式:请同学自己写开始对答案你做对了吗?普通多元复合函数求导法则假设全部出现函数求导运算均成立,

试想一下怎样求下面导数：将y看成常数将x看成常数分别将x,y看成常数,按全导数公式求导,而在详细运算时,实质上又是求多元函数偏导数.

从上面作法能够看出,将复合多元函求函数偏导数.全导数公式求导,在详细求导过程中实质上是数中其余变量看成常数,对某一个变量利用你能由此得出多元复合函数求导法则吗?设满足定理条件,则有例7设求解例8五、极大值和极小值定义设在内有定义.若总有则称为函数极大值(极小值).称为函数极大点(极小点).函数极大值和极小值统称为函数极值.若是函数极值点,则是一元函数极值点;是一元函数极值点,能存在,也可能不存在,故可得到结论:但函数在极值点处偏导数可假如偏导数存在,则极值点处偏导数必为零.使偏导数不存在点,也可能是函数极值点.先以二元函数为例定理(二元可导函数取极值必要条件)证若在点含有偏导数,且在处取极值,则必有故由一元函数取极值必要条件,得即即一元函数定理(可微二元函数极值判别法)记设求极值.解联立方程组,求驻点:解之得驻点又此例也可用下面方式写出:例9六、函数最大值和最小值上最大值和最小值.求函数最大值和最小值基本标准工程中碰到函数大部分是连续,或者能确保在所讨论区域内,取到它最大值或最小值.假如知道可微函数最大值或最小值一定在区域内到达,函数在区域内又仅有一个驻点,则该驻点一定是最大值点或最小值点.假如为有界闭区域,则函必在上取到它最大值和最小值.数距离之平方和为最大及最小点.解·所求距离之平方和为例10区域：目标函数：最值问题：所讨论问题归结为下面优化问题:区域:目标函数:最值问题:求函数在有界闭区域上最大、最小值普通步骤为：※※先求函数在开区域上极大、极小值点;再求函数在边界上极大、极小值点;※将所求出极值(及边界上特殊点函数值)进行比较,即可得出函数最大、最小值.区域:目标函数:最值问题:※由方程组得到驻点且区域:目标函数