一元二次方程 第三讲 根的判别式及其应用(中)课件(自制)

根的判别式及其应用(中)根的判别式及其应用(中)1课标引路课标引路22．会求解字母系数方程的整数根.学习目标2．会求解字母系数方程的整数根.学习目标3知识梳理知识梳理4一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号.Δ=b2-4ac>0Δ=b2-4ac=0Δ=b2-4ac<0方程有两个不相等的实数根.方程有两个相等的实数根.方程没有实数根.反之也成立一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号.Δ=b25（3）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程ax2+bx+c=0中，要注意隐含条件a≠0．注意（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、b、c的值，计算Δ=b2-4ac．（2）如果说方程有实数根，包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号．（3）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程ax6Δ=b2-4ac≥0且a≠0b2-4ac为完全平方数一元二次方程ax2+bx+c=0有整数根需满足Δ=b2-4ac≥0且a≠0b2-4ac为完全平方数一元二次7能力提升能力提升8知识点一证明字母系数方程有实数根

【点拨】【解析】

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根.转化成完全平方式的形式

证明：（1）∵△=b2-4ac=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．=k2+4k+4

-8k=k2-4k+4知识点一证明字母系数方程有实数根

【点拨】【解析】

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【解析】（2）分两种情况：①若b=c，（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根.∵方程x2-(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=(k-2)2=0，解得k=2，∴此时方程为x2-4x+4=0，解得x1=x2=2，∴△ABC的周长为5；即b=c=2，

【解析】（2）分两种情况：①若b=c，（2）△=0⇔方程10

【解析】（2）综上①

②知：所求△ABC的周长为5．②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，∴此时方程为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∴方程另一根为2，∵1、1、2不能构成三角形，∴b≠c这种情况不成立.

【解析】（2）综上①②知：所求△ABC的周长为5．②若b11例2．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根.【解析】【点拨】Δ=b2-4ac<0.证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2.∵不论m取任何实数，(m2+2)2>0,∴

-4(m2+2)2<0,即Δ<0.∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根.

例2．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有12例3．已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.【点拨】（1）Δ=b2-4ac≥0；解法一：（1）∵

Δ=[-(m+2)]2-4×m×2∴m=1或2．【解析】（2）可用求根公式与因式分解两种方法对根为整数进行讨论.=(m-2)2，≥0∴方程总有两个实数根；（2）由求根公式得x1=1，x2=，∵x1=1为整数，∴必须x2=为整数即可，∵m取正整数例3．已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠013例3．已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.【解析】解法二：（2）∵

mx2-(m+2)x+2=0，【点拨】（1）Δ=b2-4ac≥0；（2）可用求根公式与因式分解两种方法对根为整数进行讨论.∴(x-1)(mx-2)=0，∴m=1或2．∴x1=1，x2=，∵x1=1为整数，∴必须x2=为整数即可，∵m取正整数例3．已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0141234先把方程变化为一般形式，找出a、b、c的值,计算Δ．用配方法将Δ恒等变形.判断Δ的符号.Δ=b2-4ac>0方程有两个不相等的实数根.Δ=b2-4ac=0方程有两个相等的实数根.Δ=b2-4ac<0方程没有实数根.结论.一般情况下配方后变形后为形如：a2，a2+k，(a2+k)2，-a2，-(a2+k)2的代数式，从而判定正负，非负等情况.1234先把方程变化为一般形式，找出a、b、c的值,计算Δ．15123

先把方程变化为一般形式，找出a、b、c的值,计算Δ.情况①：Δ为完全平方式：一般此一元二次方程左边可进行因式分解，若含字母的式子进行因式分解有困难，也可用求根公式进行求根.情况②：Δ为非完全平方式：根据Δ＞0或Δ≥0以及二次项系数求解字母系数的取值范围，找到相应整数解对应的字母的值.对两根进行整数值讨论→分式形式→根据要求讨论整除性→得解字母整数值.123先把方程变化为一般形式，找出a、b、c的值,计算Δ16指点迷津指点迷津17说明方程是一元二次方程【错解】【正解】【误区分析】例：关于x的方程m2x2-(2m+1)x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是

.

≥0

m2≠0.没考虑二次项系数

且m≠0．

=4m+1弄清“方程有两个实数根”与“方程有实数根”的区别

≥0=4m+1

说明方程是一元二次方程【错解】【正解】【误区分析】例：关于x18一元二次方程第三讲根的判别式及其应用(中)课件(自制)19根的判别式及其应用(中)根的判别式及其应用(中)20课标引路课标引路212．会求解字母系数方程的整数根.学习目标2．会求解字母系数方程的整数根.学习目标22知识梳理知识梳理23一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号.Δ=b2-4ac>0Δ=b2-4ac=0Δ=b2-4ac<0方程有两个不相等的实数根.方程有两个相等的实数根.方程没有实数根.反之也成立一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号.Δ=b224（3）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程ax2+bx+c=0中，要注意隐含条件a≠0．注意（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、b、c的值，计算Δ=b2-4ac．（2）如果说方程有实数根，包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号．（3）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程ax25Δ=b2-4ac≥0且a≠0b2-4ac为完全平方数一元二次方程ax2+bx+c=0有整数根需满足Δ=b2-4ac≥0且a≠0b2-4ac为完全平方数一元二次26能力提升能力提升27知识点一证明字母系数方程有实数根

【点拨】【解析】

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根.转化成完全平方式的形式

证明：（1）∵△=b2-4ac=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．=k2+4k+4

-8k=k2-4k+4知识点一证明字母系数方程有实数根

【点拨】【解析】

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【解析】（2）分两种情况：①若b=c，（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根.∵方程x2-(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=(k-2)2=0，解得k=2，∴此时方程为x2-4x+4=0，解得x1=x2=2，∴△ABC的周长为5；即b=c=2，

【解析】（2）分两种情况：①若b=c，（2）△=0⇔方程29

【解析】（2）综上①

②知：所求△ABC的周长为5．②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，∴此时方程为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∴方程另一根为2，∵1、1、2不能构成三角形，∴b≠c这种情况不成立.

【解析】（2）综上①②知：所求△ABC的周长为5．②若b30例2．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根.【解析】【点拨】Δ=b2-4ac<0.证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2.∵不论m取任何实数，(m2+2)2>0,∴

-4(m2+2)2<0,即Δ<0.∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根.

例2．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有31例3．已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.【点拨】（1）Δ=b2-4ac≥0；解法一：（1）∵

Δ=[-(m+2)]2-4×m×2∴m=1或2．【解析】（2）可用求根公式与因式分解两种方法对根为整数进行讨论.=(m-2)2，≥0∴方程总有两个实数根；（2）由求根公式得x1=1，x2=，∵x1=1为整数，∴必须x2=为整数即可，∵m取正整数例3．已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠032例3．已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.【解析】解法二：（2）∵

mx2-(m+2)x+2=0，【点拨】（1）Δ=b2-4ac≥0；（2）可用求根公式与因式分解两种方法对根为整数进行讨论.∴(x-1)(mx-2)=0，∴m=1或2．∴x1=1，x2=，∵x1=1为整数，∴必须x2=为整数即可，∵m取正整数例3．已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0331234先把方程变化为一般形式，找出a、b、c的值,计算Δ．用配方法将Δ恒等变形.判断Δ的符号.Δ=b2-4ac>0方程有两个不相等的实数根.Δ=b2-4ac=0方程有两个相等的实数根.Δ=b2-4ac<0方程没有实数根.结论.一般情况下配