函数的零点与方程的根-完整版课件

3.1.1函数与方程

3.1.1函数的零点与方程的根1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1它们的含义分别如何？2.方程2x-1=0的根与函数y=2x-1的图象有什么关系？3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？提出问题

方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标.知识探究：函数的零点方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2思考：

若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

对于函数y=f(x),叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数的零点定义：等价关系使f(x)=0的实数x零点的求法代数法图像法求下列函数的零点65)(2+-=xxxf12)(-=xxf（1）（2）2和30提示：求函数零点的步骤：

(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；

(3)写出零点思考1：求函数零点的步骤是什么？

观察函数的图象①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d)_____0（＜或＞）．xy00yx0yx0yxxy0思考4：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？如果函数y=f(x)在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异,即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点.定理：考点一：求函数的零点理论迁移

[例1]

求下列函数的零点：

(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1.

[精解详析]

(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3

＝－(x＋3)(x－1)，∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1.故函数的零点是－3,1.(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.故函数的零点是－1,1.[一点通]

函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．1．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．解析：∵f(x)＝ax－b的零点是3，∴f(3)＝0，即3a－b＝0，也就是b＝3a.∴g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)．∴g(x)的零点为－1,0.答案：－1,02．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a、b的值．3．求下列函数的零点：(1)f(x)＝2x－1；

(2)f(x)＝2x2＋4x＋2；(3)f(x)＝x3－2x2－3x.解：(1)令f(x)＝0，即2x－1＝0,2x＝1.∴x＝0.∴f(x)有一个零点0.(2)令f(x)＝0，即2x2＋4x＋2＝0，x2＋2x＋1＝0.∴x＝－1.∴f(x)有一个零点－1.(3)令f(x)＝0，即x3－2x2－3x＝0，x(x2－2x－3)＝0，x(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝－1，x2＝0，x3＝3.∴f(x)有三个零点－1,0,3.[精解详析]

(1)令f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.考点二：函数零点的判断[一点通]

判断函数零点个数的主要方法(1)转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)的符号，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点问题．答案：D5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(

)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案：B答案：0[例3]

(10分)已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两根，且一根大于2，另一根小于2，试求实数a的取值范围．考点三：函数零点的应用[精解详析]

令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一零点大于2，一零点小于2.∴f(x)的图象大致如图所示：(4分)[一点通]

解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．7．若函数y＝x2＋(m－2)x－5－m有两个小于2的零点，则m的取值范围是 (

)A．(5，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，2) D．(2,5)答案：A8．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．答案：(－1,0)9．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点.由图象可知：当0<a<1时，两函数的图象只有一个交点，不符合；当a>1时，函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，当直线y＝x＋a与y轴的交点(0，a)在(0,1)的上方时一定有两个交点，所以a>1.答案：(1，＋∞)方法规律小结1．判断函数y＝f(x)零点存在性的两个条件(1)函数的图象