历年真题2014年安徽省高考数学试卷(理科)

2014年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.TOC\o"1-5"\h\z（5分）设i是虚数单位三表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则手+i・2（）iA.-2B.-2iC.2D.2i（5分）"xVO”是“In（x+1）V0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5分）如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.34B.55C.78D.89（5分）以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I的参数方程是（厂计1（t为参数），Ly=t-3圆C的极坐标方程是p=4cos0,则直线I被圆C截得的弦长为（）A.B.2应C.一迈D.22（5分）x、y满足约束条件!-27-2<0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯、2x-y+2^0一,则实数a的值为（）A.丄或-1B.2或C.2或1D.2或-12（5分）设函数f（x）（xGR）满足f（x+n）=f（x）+sinx.当OWxVn时,f（x）

=0,则f（卑4=（）A.，B.•C.0D.-丄222（5分）一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为（）A.21+'.远A.21+'.远B.18+丙C.21D.18（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有（）A.24对B.30对C.48对D.60对（5分）若函数f（x）=|x+l|+|2x+a丨的最小值为3,则实数a的值为（）A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或810.（5分）在平面直角坐标系xOy中.已知向量方、b,I=Ib|=1,"b=0,点Q满足乔■一迈（石亍），曲线C={p|丽=2ose+!iine,0<e<2n},区域Q={P|0VrW而WRjVR}.若CGQ为两段分离的曲线，则（）A.1VrVRV3B.1VrV3WRC.rW1VRV3D.1VrV3VR二、填空题:本大题共5小题海小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置.（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移彷个单位，所得图象关4于y轴对称，则彷的最小正值是.（5分）数列｛an｝是等差数列，若ax+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列，则

q=-13.（5分）设aHO,n是大于1的自然数,（1+三）的展开式为aQ+a1x+a2x2+_+anxn.若点Aj（i,ai）（i=0,1,2）的位置如图所示，则a=3131u合2o114.（5分）设F],F2分别是椭圆E：X2+=1（OVbVl）的左、右焦点，过点F1的b直线交椭圆E于A、B两点，若lAFjnSlFFl'AF?丄x轴,则椭圆E的方程为.15.（5分）已知两个不相等的非零向量^b,两组向量云，石，石，石，耳和卩1，匕，叫，Vq，坯均由2个◎和3个b排列而成，记s=7]•亓+込叽+石•右+对•爲+坯•玩,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）.S有5个不同的值；若G丄L则smin与雳无关;若f则smin与虽无关;若|b|>4|T，则Smin>0;若|b|=2|；a|,S=8ha|2，则；3与b的夹角为芈.iminyi三、解答题:本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16（12分）设厶ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B.（I）求a的值；（口）求sin（A+）的值.417.（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为z,乙3获胜的概率为丄，各局比赛结果相互独立.3（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（口）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x-x2-x3，其中a>0.（I）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（口）当xG［0,1］时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值.（13分）如图，已知两条抛物线E］：y2=2P］X（px>0）和E2：y2=2p2x（p2>0）,过原点O的两条直线I］和12,1］与E］,E2分别交于A］、A2两点,l2与E］、E2分别交于B1、B2两点．（I）证明:A1B1〃A2B2；（口）过O作直线I（异于IJ2）与E］、E2分别交于q、C2两点.记△A1B1C1与△a2b2c2的面积分别为s1与s2,求的值.A1A120.（13分）如图,四棱柱ABCD-AF&D］中,A1A丄底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD〃BC，且AD=2BC,过A1>C、D三点的平面记为a,BB1与a的交点为Q.（I）证明:Q为BB1的中点；（口）求此四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积之比；（皿）若AA1=4,CD=2，梯形ABCD的面积为6,求平面a与底面ABCD所成二面角的大小．

21.(13分)设实数c>0,整数p〉1,nGN*.(I)证明:当x>-1且xHO时，(1+x)p>1+px；II(口)数列｛an｝满足ax^P,an1=an+ani-p.证明:an>a^x>cP.2014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位二表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则旦+i・2i（）A.-2B.-2iC.2D.2i【分析】把z及2代入三+i・7然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.i【解答】解:H+i,g二］-i,•••于+i•沪^故选:C.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题．（5分）（2014・安徽）"xV0”是"In（x+1）V0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解:•・・xV0,.・・x+1V1,当x+1>0时,ln（x+1）V0；Vln（x+1）V0,.・.0Vx+1V1,・・・-1VxV0,.・.xV0,・・・"xV0”是In（x+1）V0的必要不充分条件.故选:B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础3.（5分）（2014・安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34B．55C．78D．89【分析】写出前几次循环的结果,不满足判断框中的条件,退出循环,输出z的值.【解答】解:第一次循环得z=2,x=1,y=2；第二次循环得z=3,x=2,y=3；第三次循环得z=5,x=3,y=5；第四次循环得z=8,x=5,y=8；第五次循环得z=13,x=8,y=13；第六次循环得z=21,x=13,y=21；第七次循环得z=34,x=21,y=34；第八次循环得z=55,x=34,y=55；退出循环，输出55,故选B【点评】本题考查程序框图中的循环结构,常用的方法是写出前几次循环的结果找规律,属于一道基础题.4.（5分）（2014・安徽）以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是’+1lv=t-3（t为参数），圆C的极坐标方程是p=4cos0，则直线l被圆C截得的弦长为（）A.刁B.2应C.一迈D.22【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程,求出半径和弦心距,再利用弦长公式求得弦长.

【解答】解:直线丨的参数方程是■-（t为参数），化为普通方程为x-y-4=0；[y=t-3圆C的极坐标方程是p=4cos0，即p2=4pcos8，化为直角坐标方程为x2+y2=4x,吃-罗|=迈<r,.・.弦长为2十一护2「^1=2'_迈,即（x-2）吃-罗|=迈<r,.・.弦长为2十一护2「^1=2'_迈,弦心距d二故选:D.【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于中档题.5.（5分）（2014・安徽）x、y满足约束条件x-2y-2<0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为（）A.丄或-1B.2或C.2或1D.2或-122【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化,从而求出a的取值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）.由z=y-ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a>0,目标函数y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行,此时a=2,若aV0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线x+y-2=0,平行,此时a=-1,综上a=-1或a=2,故选:D

点评】本题主要考查线性规划的应用,点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合/,JJ的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义．6.(5分)(2014・安徽)设函数f(x)(xGR)满足f(x+n)=f(x)+sinx.当0WxVn时,f(x)=0侧f(■)=()6A.B.C.0D.-l222【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可.【解答】解:•・•函数f(x)(xGR)满足f(x+n)=f(x)+sinx.当OWxVn时,f(x)=0,=f=f=f=0,=f=f=f故选:A.点评】本题考查抽象函数的应用,函数值的求法,考查计算能力．7.（5分）（2014・安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为）正（主）视囹侧（左）视图11）正（主）视囹侧（左）视图11俯视图A.21+.「左B.18+.「亏C.21D.18【分析】判断几何体的形状,结合三视图的数据,求出几何体的表面积.【解答】解:由三视图可知,几何体是正方体的棱长为2,截去两个正三棱锥,侧棱互相垂直,侧棱长为1,棱锥侧+2S棱锥底几何体的表面积为：S正—方体「2S二&沈2沈2—沈1工辺x-|=棱锥侧+2S棱锥底点评】本题考查三视图求解几何体的表面积点评】本题考查三视图求解几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状.&（5分）（2014・安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对【分析】利用正方体的面对角线形成的对数,减去不满足题意的对数即可得到结果．【解答】解:正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有瑞2=66条，同一面上的对角线不满足题意,对面的面对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数,不满足题意的共有:3X6=18.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有:66-18=48.故选:C.【点评】本题考查排列组合的综合应用,逆向思维是解题本题的关键．9.(5分)(2014・安徽)若函数f(x)=|x+l|+|2x+a丨的最小值为3,则实数a的值为()A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8【分析】分类讨论，利用f(x)=|x+l|+|2x+a|的最小值为3,建立方程，即可求出实数a的值.【解答】解V-1时,xV-皂,f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1>皀-1；222-—<x<-1,f(x)=-x-1+2x+a=x+a-1^—-1；22x>-1,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>a-2,.•・号-1=3或a-2=3,・：a=8或a=5,a=5时且-1Va-2,故舍去;三-1时,xV-1,f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1>2-a；2-1WxW-皀,f(x)=x+1-2x-a=-x-a+1三-旦+1；22x>-皂,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>-亘+1,22・・・2-a=3或-2+1=3,2・・a=-1或a=-4,a=-1时，-+1V2-a,故舍去；2综上,a=-4或8故选:D.【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想,属于中档题.10.(5分)(2014・安徽)在平面直角坐标系xOy中.已知向量G、b,|目|=|b|=1,b=0,点Q满足0Q=2(方+b)，曲线C={P|CiP=xosB+bsin0,0^0<2n},区域Q={P|0VrW|瓦|WR,rVR}.若CAQ为两段分离的曲线，则()A.1VrVRV3B.1VrV3WRC.rW1VRV3D.1VrV3VR【分析】不妨令鼻(1,0)，&(0,1)，则P点的轨迹为单位圆Q={P|(0VrW|阮|WR,rVR}表示的平面区域为:以Q点为圆心,内径为r,外径为R的圆环，若CAQ为两段分离的曲线,则单位圆与圆环的内外圆均相交,进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．【解答】解:°・°平面直角坐标系xOy中•已知向量◎、bI◎I=Ib|=1,目・b=0,不妨令于(1,0),b=(0,1),则页迈(―)=(込迅),0P=xosB+bsin0=(cos0,sinB),故P点的轨迹为单位圆，Q={P|(0VrW|直|WR,rVR}表示的平面区域为：以Q点为圆心,内径为r,外径为R的圆环，若CAQ为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交,故|OQ|-1VrVRV|OQ|+1,•・・|oq|=2,故1VrVRV3,故选:A【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,其中根据已知分析出P的轨迹及Q=｛P|（OVrW|瓦|WR,rVR｝表示的平面区域，是解答的关键.二、填空题:本大题共5小题海小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置.（5分）（2014・安徽）若将函数f（x）=sin（2x+*）的图象向右平移彷个单位,所得图象关于y轴对称，则彷的最小正值是-.—g—【分析】根据函数y=Asin（⑴x+彷）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+-2^）,再根据所得图象关于y轴对称可彳壽L-2^=kn+,k442Gz，由此求得彷的最小正值.【解答】解:将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移彷个单位，4所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x-彷）+2L]=sin（2x+，-2彷）关于y44轴对称,则—-2^=kn+,kGz，即忙一一工,故彷的最小正值为色二42233故答案为:*.【点评】本题主要考查函数y=Asin（⑴x+彷）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性,属于中档题．（5分）（2014・安徽）数列｛an｝是等差数列，若ax+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列，则q=1.【分析】设出等差数列的公差，由ax+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案.■ZLi+1【解答】解:设等差数列｛an｝的公差为d,由a1+1,a3+3,a5+5构成等比数列,

得:冷孑+对（%+5），整理得:且『+6七+4二a.［%+5且［+35，即（ai+2d）2+6（a1-F2d）-F4=a1（且］+4d）+5ai+ai+4d.化简得：（d+1）2=0,即d=-1..日3斗3已］斗2半3日］+2江（_1）+3日］+14且］+13］十1a|+1a|+11故答案为:1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题．n13.（5分）（2014・安徽）设aHO,n是大于1的自然数，（1+三）n的展开式为n13.（5分）（2014・安徽）设aHO,n是大于1的自然数，（1+三）n的展开式为aa0+a1x+a2x2+_+anxn.若点Ai（i,ai）（i=0,1,2）的位置如图所示，贝Ua=3.合2弓i>o1【分析】求出（1+）的展开式的通项为T【解答】解:（1+壬）n的展开式的通项为Ta由图知,a0=1,a］=3,a2=4,a2-3a=0,解得a=3,故答案为:3点评】本题考查解决二项式的特定项问题,关键是求出展开式的通项,属于一道中档题．214.（5分）（2014*安徽）设F1,F2分别是椭圆E：X2+=1（OVbVI）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若IafJ^EbLaF?丄x轴,则椭圆E的方程为X2+*2_.【分析】求出B（-呈C,-•b2），代入椭圆方程，结合1=b2+C2，即可求出椭圆的方程.3【解答】解:由题意,F1（-c,O）,F2（c,O）,AF2丄x轴,・・・|AF2l=b2,•'•A点坐标为（c,b2）,设B(x,y),则v|AF1|=3|F1B|,・(-c-c,-b2)=3(x+c,y)B(-学'-寺b2),1=b2+C2,代入椭圆方程可得（戈c故答案为:x2+=1-【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力,属于中档题.15.（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量菲两组向量石，石，込，石，云和T]'亦’亦’亦’玩均由2个G和3个痕排列而成’记S=x]+./y?+工?+工『孑^+曲^y5，smin表示s所有可能取值中的最小值•贝U下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）.S有5个不同的值;若打丄B则Smin与吊无关;若则Smin与币无关；若|d＞4雳，则Smin＞0；若圧|=2扁|,Smin=8|2,则与佛勺夹角为2L.【分析】依题意，可求得S有3种结”q—►■—►■—►—►■—►q果:S]=++++,S2=+•+•++,S3=•+•+•+•+，可判断①错误；进一步分析有S1-S2=S2-S3=且^b2_2少亍^a2%2-2ha|^^|=(|a|-|b|)2三0,即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案.【解答】解:・・'川(1=123,4,5)均由2个；和3个石排列而成，AS=x|yi可能情况有三种:①S=2『+3『：②Sp2+^^+^2:③S=^^S有3种结果:珏觴f+b2,仃ffFfS2=+Mb+0・b++,S3=b+目•b+&•b+耳•b+b故①错误；VS1-S2=S2-S3=且W-三孑+肚-2|j・用=(Gl-lb1)00，.•.S中最小为S3；若3丄b则Smin=S3=b3与|目|无关，故②正确；若3〃b,则Smin=S3=4；3・b+b，，与Ib|有关，故③错误；若帀＞4|；|,则Sm|n=S3=4|；|•帀cose+b，＞-4|l,|•帀+『＞-|bI’+b2=0,故④正确；若|bI=2|◎|,Smin=S3=8|◎12cos8+4*「=8*「，・：2cos0=1,・：e=；,即3与云的夹角为今.综上所述,命题正确的是②④，故答案为:②④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的数量积的综合应用,考查推理、分析与运算的综合应用,属于难题．三、解答题:本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16.（12分）（2014・安徽）设AABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B.（I）求a的值；（口）求sin（A+）的值.4【分析（I）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理,即可求a的值;（口）求出sinA,cosA，即可求sin（A+）的值.4【解答】解：（I）TA=2B,,b=3,sinAsinB・*.a=6cosB,（n）Va=6cosB,・・sinB=¥^,・・sinA=sin2B=,cosA=cos2B=2cos2B-1=-£TOC\o"1-5"\h\z33・・sin（A+）=—^-（sinA+cosA）.26【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力,属于中档题．17.（12分）（2014・安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为Z,乙获胜的概率为丄，各局比赛结果相互独立.33（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率;（口）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.分析（1）根据概率的乘法公式,求出对应的概率,即可得到结论．2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求X的分布列；以及均值【解答】解:用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件,Ak表示第k局甲获胜,Bk表示第k局乙获胜，则P(Ak)=£,P(Bk)=£k=1,2,3,4,5TOC\o"1-5"\h\z33(I)P(A)=P(A_,A2)+P(B_,A2A3)+P(A_,B2A3A4)=(Z)2+'X(Z)2+X1212312343333，X(Z)2=3381（口）X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(AqA2)+P(BqB2)=212129P(X=3)=P(b“a2a3)+p(a“b2b3)=2,123123gP(X=4)=P(AqB2A3A4)+P(BqA2B3B4)=匹,丄234丄234呂］P(X=5)=P(A1B2A3B4A5)+P(B丄A2B3A4B5)+P(B丄A2B3A4A5)+P(A丄B2A3B4B5)=^-=一12345123451234512345呂］或者P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=2,Hl故分布列为:45TOC\o"1-5"\h\z1088?81E(X)=2x5+3xZ+4X.+5X=聖1.99818181点评】本题主要考查概率的计算,以及离散型分布列的计算,以及利用期望的计算,考查学生的计算能力.18.（12分）（2014・安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x-x2-x3，其中a>0.（I）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（口）当xG[0,1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值.【分析】(I)利用导数判断函数的单调性即可；(口)利用(I)的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在［0,1］时的单调性,得出取最值时的x的取值．【解答】解：(I)f(x)的定义域为(-鬥+x)f(x)=1+a-2x-3x2,由f'(x)=0,得X］=,x2=,x1<x2,TOC\o"1-5"\h\z132212・••由f'(x)<0得x<,x>33由f'(x)>0得Vx<土33故f(x)在(-沽)和(，+s)单调递减，33在(,)上单调递增；33(n)Va>0,Ax1V0,x2>0,Vxe［0,1］,当时，即a±43当a±4时,x2±1，由(I)知,f(x)在［0,1］上单调递增，•：f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．当0<a<4时,x2<1，由(I)知,f(x)在［0,x2］单调递增，在［x2,1］上单调递减,因此f(x)在x=x2=处取得最大值，又f(0)=1,f(1)=a,・••当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值；当a=1时,f(x)在x=0和x=1处取得最小值；当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识,考查学生分类讨论思想的运用能力,属中档题.19.(13分)(2014・安徽)如图，已知两条抛物线E］：y2=2P］X(px>0)和E2：y2