2002年高考.全国新课程卷.理科数学试题及答案

2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）数学（理工农医类）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是2．复数3．已知的值是为异面直线，，，，则4．不等式的解集是（）5．在内，使成立的取值范围为（）6．设集合，则（）7．正六棱柱底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线与所成的角是（）8．函数9．已知是单调函数的充要条件是（），则有（）10．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，则点的轨迹方程为()，其中有且11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”如果“十·五”期间(2001年—2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为()亿元亿元亿元亿元二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数14．椭圆图象与其反函数图象的交点坐标为▁▁▁▁▁的一个焦点是，那么▁▁▁▁▁▁15．直线与曲线，那么所围成的图形绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积等于▁▁▁▁▁▁16．已知函数▁▁▁▁▁▁三．解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本题满分12分）已知求的值18．注意：考生在以下（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（甲）计分（甲）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为的坐标；（1）建立适当的坐标系，并写出点（2）求与侧面所成的角（乙）如图，正方形的边长都是1，而且平面互相垂直点在上移动，点在上移动，若（1）求的长；（2）当为何值时，（3）当的长最小；长最小时，求面与面所成的二面角的大小19．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），（1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？20．（本题满分12分）已知，函数设，记曲线在点处的切线为（1）求的方程；（2）设与轴交点为证明：则（ⅰ）；（ⅱ）若21、（本题满分12分）已知两点，且点使，，成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为，记为与的夹角，求22、（本题满分14分）已知是由非负整数组成的数列，满足，，(1)求；(2)证明(3)求；的通项公式及其前项和2002年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学试题答案（理工农医类）参考答案一、1、D2、C3、B4、D5、C6、B7、B8、A9、D10、D11、B12、C二、填空题13、（0,0），（1,1）；14、－1；15、；16、；三、解答题17、从而，18、（甲）（1）如图，以点为坐标原点，以所成直线为轴，以所在直线为轴，以经过原点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系由已知得，，，（2）坐标系如上，取的中点，于是有，连，有，且，，由，，所以，面，∴与所成的角就是与侧面所成的角∵∴，，，，，∴，所以，与所成的角，即与侧面所成的角为（乙）（1）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得∥，且，即是平行四边形∴由已知，∴又，，即∴（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当时，即、分别移动到、的中点时，的长最小，最小值为（Ⅲ）取的中点，连结、，∵，，为的中点∴⊥，⊥，∠即为二面角的平面角又，所以，由余弦定理有故所求二面角19．（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即（2）至少4人同时上网的概率为，至少5人同时上网的概率为，因此，至少5人同时上网的概率小于20．（1）的导数，由此得切线的方程，（2）依题得，切线方程中令，得，其中，有，（ⅰ）由，，及，∴，当且仅当时，（ⅱ）当时，，因此，，且由（ⅰ），，所以21.（1）记，由，得，，，∴，，，因，，是公差小于零的等差数列，即（），所以，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆，（2）点的坐标为，则，∵，∴，∵，∴，，，22．（1）由题设得，且、均为非负整数，所以的可能的值为1，2，5，10若若，则，则，，与题设矛盾，，与题设矛盾，，若，则，，，与题设矛盾，所以（2）用数学归纳法证明（i）当