2023年全国新高考Ⅰ卷数学试卷及解析

11页共28页◎2页共28页2023年全国高考Ⅰ卷数学试卷

→7.𝑃是边长为2的正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹内的一点，则𝐴𝑃

·𝐵的取值范围( )一、选择题1.设集合𝐴={𝑥|1≤𝑥≤3}，𝐵={𝑥|2<𝑥<4}，则𝐴∪𝐵=( )

A.(2,6)

B.(6,2) C.(2,4) D.(4,6)A.{𝑥|2<𝑥≤3}

B.{𝑥|2≤𝑥≤3} C.{𝑥|1≤𝑥<4} D.{𝑥|1<𝑥<4}

8.假设定义在R上的奇函数𝑓(𝑥)在(∞, 0)上单调递减，且𝑓(2)=0，则满足𝑥𝑓(𝑥 1)≥0的𝑥的取值范围是( )A.[1,1] [3,∞) B.[3, 1] ∪[0,1] C.[1,0] [1,∞) D.[1,0] ∪[1,3]2.2𝑖12𝑖A.1

=( )

B.1 C.𝑖 D.𝑖

二、多项选择题9.曲线𝐶：𝑚𝑥2 𝑛𝑦2=1.( )A.假设𝑚>𝑛>0，则𝐶是椭圆，其焦点在𝑦轴上6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )

B.假设𝑚=𝑛>0，则𝐶是圆，其半径为√𝑛0种0种 C.60种 D.30种假设𝑚𝑛<0，则𝐶是双曲线，其渐近线方程为𝑦=±√D.假设𝑚=0，𝑛>0，则𝐶是两条直线

𝑚𝑥𝑛日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球〔球心记𝑂，地球上一𝐴的纬度是𝐴与地球赤道所在平面所成角，𝐴处的水平面是指过𝐴且与𝑂𝐴垂直的平面，在点𝐴处放置一个日晷，假设晷面与赤道所在平面平行，点𝐴处的纬度为北纬40∘，则晷针与点𝐴处的水平面所成角为( )

10.如图是函数𝑦=sin(𝜔𝑥 𝜑)，则sin(𝜔𝑥 𝜑)=( )0∘

B.40∘ C.50∘ D.90∘ (𝑥

𝜋)3sin(𝜋3

2𝑥) (2𝑥

𝜋)6

D.cos(5𝜋6

2𝑥)或游泳，60%的学生宠爱足球，82%的学生宠爱游泳，则该中学既宠爱足球又宠爱游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )

11.𝑎>0，𝑏>0，且𝑎 𝑏=1，则( )2%

B.56% C.46% D.42%

A.𝑎2 𝑏2≥1 B.2𝑎𝑏 >1根本再生数𝑅0与世代间隔𝑇是冠肺炎的流行病学根本参数．根本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：𝐼(𝑡)=𝑒𝑟𝑡描述累计感染病例数𝐼(𝑡)随时间𝑡〔单位：天〕的变化规律，指数增长率𝑟与𝑅0，𝑇近似满足𝑅0=1 𝑟𝑇，有学者

C.log2

2𝑎 log2

2𝑏≥2 D.√𝑎 √𝑏≤2

=3.28，𝑇=6．据此，在冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时

12.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量𝑋全部可能的取值为1，2，⋯，𝑛，且𝑃(𝑋=𝑖)=𝑝𝑖>0( 2≈0.69)

0(𝑖=1,2,⋯,𝑛)，∑𝑛 𝑝=1，定义𝑋的信息熵𝐻(𝑋)=

𝑝log𝑝，则( )间约为ln ( )

𝑖=1𝑖

𝑖=1𝑖 2𝑖A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天

A.假设𝑛=1，则𝐻(𝑋)=0B.假设𝑛=2，则𝐻(𝑋)随着𝑝𝑖的增大而增大33页共28页◎4页共28页C.假设

=1(𝑖=1,2𝑛)，则𝐻(𝑋)随着𝑛的增大而增大𝑛

19.100天空气中的𝑃𝑀2.5和𝑆𝑂2浓度(单位：𝜇𝑔/𝑚3)，得下表：D.假设𝑛=2𝑚，随机变量𝑌全部可能的取值为1，2，⋯，𝑚，且𝑃(𝑌=𝑗)=𝑝𝑗+𝑝2𝑚+1𝑗 (𝑗=1,2,⋯,𝑚)，则𝐻(𝑋)≤𝐻(𝑌)三、填空题13.斜率为√3的直线过抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点，且与𝐶交于𝐴，𝐵两点，则|𝐴𝐵|= .14.将数列{2𝑛 1}与{3𝑛 2}的公共项从小到大排列得到数列{𝑎𝑛}，则{𝑎𝑛}的前𝑛项和为 .15. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如以下图．𝑂为圆孔及轮廓圆弧𝐴𝐵所在圆的圆心，𝐴是圆弧𝐴𝐵与直线𝐴𝐺的切点，𝐵是圆弧𝐴𝐵与直线𝐵𝐶的切点，四边形𝐷𝐸𝐹𝐺𝐵𝐶⊥𝐷𝐺，垂足为𝐶，tan∠𝑂𝐷𝐶=3𝐵𝐻//𝐷𝐺，𝐸𝐹=12𝑐𝑚，𝐷𝐸=2𝑐𝑚，𝐴到直线𝐷𝐸和𝐸𝐹的距离均为7𝑐𝑚，圆孔半径为1，则图5中阴影局部的面积为 𝑐𝑚2.

𝑃𝑀2.5浓度不超过75，且𝑆𝑂2浓度不超过150”的概率；(2)依据所给数据，完成下面的22列联表：(3)依据(2)中的列联表，推断是否有99%的把握认为该市一天空气中𝑃𝑀2.5浓度与𝑆𝑂2浓度有关？附：𝐾2=

𝑛(𝑎𝑑𝑏𝑐)2 ，𝑃(𝐾2𝑃(𝐾2≥𝑘)0.0500.0100.001𝑘3.8416.63510.82816.直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长均为2，∠𝐵𝐴𝐷=60∘，以𝐷1为球心，√5为半径的球面与侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1的交线长为 .四、解答题在①𝑎𝑐=√3，②𝑐sin𝐴=3，③𝑐=√3𝑏这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的三角形存在，求𝑐的值；假设问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△𝐴𝐵𝐶，它的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且sin𝐴=√3sin𝐵，𝐶=𝜋， ？6

20.如图，四棱锥𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷的底面为正方形，𝑃𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷．设平面𝑃𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐶的交线为𝑙．18公比大于1的等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎2𝑎4=20，𝑎3=8.(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；∈{𝑏𝑚}的前100项和𝑆100.

(1)证明：𝑙⊥平面𝑃𝐷𝐶；(2)𝑃𝐷=𝐴𝐷=1，𝑄为𝑙上的点，求𝑃𝐵与平面𝑄𝐶𝐷所成角的正弦值的最大值．21.函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥1 ln𝑥+ln𝑎.55页共28页◎6页共28页(1)当𝑎=𝑒时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1𝑓(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)假设𝑓(𝑥)≥1，求𝑎的取值范围.22.椭圆𝐶𝑥2+𝑦2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√2，且过点𝐴(2,1).𝑎2 𝑏2 2(1)求𝐶的方程；(2)点𝑀，𝑁在𝐶上，且𝐴𝑀⊥𝐴𝑁，𝐴𝐷⊥𝑀𝑁，𝐷为垂足.证明：存在定点𝑄，使得|𝐷𝑄|为定值.77页共28页◎8页共28页参考答案与试题解析2023一、选择题1.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】.【解答】解：集合𝐴={𝑥|1≤𝑥≤3}，𝐵={𝑥|2<𝑥<4}，则𝐴𝐵={𝑥|1≤𝑥<4}.应选𝐶.2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】.【解答】2𝑖12𝑖

=(2𝑖)(12𝑖)(12𝑖)(12𝑖)=24𝑖𝑖214应选𝐷.3.C

=5𝑖5

=𝑖 .空间点、线、面的位置【解析】空间点、线、面的位置【解析】𝐴处的水平面所成角.【解答】解：如以下图，𝐴𝐵为日晷晷针，∠𝐴𝑂𝐶=40∘，由题意知，∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝑂𝐴𝐵=90∘，∠𝐷𝐴𝐵 ∠𝑂𝐴𝐵=90∘，∴∠𝐷𝐴𝐵 =∠𝐴𝑂𝐶=40∘，𝐴处的水平面所成角为40∘.应选𝐵.5.【答案】C【考点】概率的应用互斥大事的概率加法公式【解析】.【解答】该中学学生宠爱游泳””为大事𝐵，则””该中学学生宠爱足球或游泳””为大事𝐴𝐵，””该中学学生既宠爱足球又宠爱游泳””为大事𝐴𝐵.由题意知，𝑃(𝐴)=60%，𝑃(𝐵)=82%，𝑃(𝐴∪𝐵)=96%，所以𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵)应选𝐶.6.𝑃(𝐴∪𝐵)=60%82% 96%=46%.【答案】B【考点】函数模型的选择与应用指数式与对数式的互化【解析】𝐼，最终求得感染病例数增加1倍所需的时间.【解析】.【解答】解：由题意可得，不同的安排方法共有𝐶1⋅𝐶2=60〔种〕.6 5应选𝐶.4.【答案】B【考点】直线与平面所成的角99页共28页◎10页共28页【解答】解：3.28=1𝑟⋅6得𝑟=0.38，𝐼(𝑡)=𝑒0.38𝑡，

先依据函数的奇偶性确定函数的大致图像，然后推断函数的单调性，最终利用分类争论思想争论不等式成立时𝑥的取值范围.【解答】𝑒0.38(𝑡+𝑥)=2⋅𝑒0.38𝑡得𝑥=ln20.38

≈1.8.

解：依据题意，函数图象大致如图：应选𝐵.7.【答案】A【考点】平面对量数量积求线性目标函数的最值【解析】𝐴𝑃先画出图形，并用坐标表示→⋅𝐴𝑃围.【解答】解：如图：设𝐴(−1√3)，𝑃(𝑥𝑦)，𝐵(−2,0)，

，然后向量问题转化为求线性目标函数的最值，最终得→⋅

的取值范

①当𝑥=0时，𝑥𝑓(𝑥1)=0成立；②当𝑥>0时，要使𝑥𝑓(𝑥1)≥0，即𝑓(𝑥1)≥0，可得0≤𝑥1≤2或𝑥1≤−2，解得1≤𝑥≤3；③当𝑥<0时，要使𝑥𝑓(𝑥1)≥0，即𝑓(𝑥1)≤0，可得𝑥1≥2或−2≤𝑥1≤0，解得−1≤𝑥<0.综上，𝑥的取值范围为[−1,0[1,3].应选𝐷.二、多项选择题9.【答案】A,C,D【考点】双曲线的渐近线𝑃=𝑥+,𝑦−√)，𝐵=,−√)，𝐴𝑃→⋅𝑥√3𝑦+2.𝐴𝑃令𝑧=−𝑥√3𝑦+2，该问题可转化为求该目标函数在可行域中的最值问题，由图可知，𝑧=−𝑥√3𝑦+2经过点𝐶时，𝑧取得最大值；经过点𝐹时，𝑧取得最小值，故最优解为𝐶(−1,−√3)和𝐹(1,√3)，

椭圆的标准方程圆的标准方程直线的一般式方程【解析】.【解答】𝑧max→⋅

=6或𝑧min

=−2，

解：𝐴，𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1，即𝑥21

1

=1.故𝐴𝑃应选𝐴.

∵𝑚 >𝑛>0，

𝑚 𝑛∴ 1<1，𝑚 𝑛𝐴𝑃【答案】𝐴𝑃D【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】

∴此时𝐶是椭圆，且其焦点在𝑦轴上，𝐴选项正确；𝐵，𝑚=𝑛>0时，𝑥2+𝑦2=1，𝑛∴𝑟 =√𝑛，𝑛1111页共28页◎12页共28页𝐵选项错误；𝐶，𝑚𝑛<0时，可推断出𝐶是双曲线，1

=−sin(2𝑥−𝜋)3)=sin(𝜋−2𝑥)，且其渐近线方程为𝑦=±√−𝑛1𝑚𝐶选项正确；

𝑥=±√−𝑚𝑥，𝑛

3故𝐵选项正确；𝐶，sin(2𝑥+2𝜋)=sin(2𝑥+𝜋+𝜋)𝐷，𝑚=0时，𝐶𝑛𝑦2=1，∴𝑦 =±√1代表两条直线，𝑛𝐷选项正确.应选𝐴𝐶𝐷.10.【答案】B,C【考点】诱导公式的局部图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】𝜔，而后利用五点对应法求得𝜑，进而求得图像的解析式.【解答】解：由函数𝑦=sin(𝜔𝑥+𝜑)的局部图像，可知，𝑇=2𝜋−𝜋=𝜋，2 3 6 2∴𝑇 =𝜋，∴𝜔 =2𝜋=2，𝜋∴𝑦 =sin(2𝑥+𝜑).将点(𝜋0)代入得，0=sin(𝜋+𝜑)，

3 6 2=cos(2𝑥+𝜋)，6故𝐶选项正确；𝐷，cos(5𝜋−2𝑥)=cos(2𝑥−5𝜋)6 6)=cos(2𝑥−𝜋−𝜋)2 3=sin)(2𝑥−=sin)3=−sin(2𝑥+2𝜋)，3故𝐷选项错误.应选𝐵𝐶.11.【答案】A,B,D【考点】不等式性质的应用根本不等式在最值问题中的应用【解析】选项𝐴左边是代数式形式，右边是数字形式，且𝑎+𝑏=1，故可考虑通过根本不等式和重要不等式建立𝑎2+𝑏2与𝑎+𝑏的关系；选项𝐵先利用指数函数的增减性将原不等式简化为二元一次不等式，然后利用不等式的性质及条件推断；6 3 选项𝐶需要利用对数的运算和对数函数的增减性将不等式转化为关于𝑎,𝑏的关系式，然后利用根本不等式建立∴ 𝜋+𝜑=(𝑘+1)𝜋(𝑘∈Z).3𝐴，当𝑥=𝜋时，sin(𝑥+𝜋)=sin𝜋=1，6 3 2不符合题意，故𝐴选项错误；𝐵，当𝑘=0时，𝜑=2𝜋，3)𝑦=sin(2𝑥+2𝜋)3=sin=sin(2𝑥−3+3+3)

与条件𝑎+𝑏的关系；选项𝐷根本不等式的变形应用.【解答】解：𝐴，∵𝑎 +𝑏=1，则𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏=1，2𝑎𝑏≤𝑎2+𝑏2，当且仅当𝑎=𝑏时取等号，∴1 =𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏≤2(𝑎2+𝑏2)，可得𝑎2+𝑏2≥1，故𝐴正确；2𝐵，∵𝑎 −𝑏=𝑎−(1−𝑎)=2𝑎−1>−1，1=sin(2𝑥−

𝜋+𝜋)

∴ 2𝑎−𝑏>2−1=

，故𝐵正确；23 𝐶，∵𝑎𝑏 ≤(𝑎+𝑏)2=1，当且仅当𝑎=𝑏时取等号，2 41313页共28页◎14页共28页∴ log2

𝑎+log2

𝑏=log2

𝑎𝑏≤log1=−2，故𝐶错误；24

𝑃(𝑌=1)=𝑝1+𝑝2𝑚；𝑃(𝑌=2)=𝑝2+𝑝2𝑚−1；𝐷，∵𝑎 +𝑏≥2√𝑎𝑏，当且仅当𝑎=𝑏时取等号，∴ (√𝑎+√𝑏)2=𝑎+𝑏+2√𝑎𝑏=12√𝑎𝑏≤2，即√𝑎+√𝑏≤√2，则√𝑎+√𝑏≤2，故𝐷正确.应选𝐴𝐵𝐷.

𝑃(𝑌=3)=𝑝3+𝑝2𝑚−2；⋯⋯𝑃(𝑌=𝑚)=𝑝𝑚+𝑝𝑚+1;2𝐻(𝑌)=−(𝑝1+𝑝2𝑚)log(𝑝1+𝑝2𝑚)222𝑝2𝑚−1)+⋯+(𝑝𝑚+𝑝𝑚+1)log22

12.

𝐻(𝑋)=−𝑝 log12212

𝑝1+𝑝2log

𝑝2𝑚22【答案】22

=−(𝑝 log121

𝑝2𝑚−1)+⋯log

)，22A,C22

∵ (𝑝 2

2)log(

)−𝑝

𝑝−𝑝

𝑝 >0，122【考点】概率的应用122

1+𝑝2𝑚⋯⋯

2𝑝1+𝑝2𝑚

log121

2𝑚log

2𝑚概率与函数的综合利用导数争论函数的单调性【解析】选项𝐴依据题目给出信息熵的定义可直接推断；选项𝐵依据题意先得到𝑝1，𝑝2的关系，然后构造关于𝑝1的函数，最终利用导数推断函数的增减性；选项𝐶依据题目给定信息化简𝐻(𝑥)后可推断；选项𝐷分别求出𝐻(𝑥)，𝐻(𝑦)，利用作差法结合对数的运算即可推断.【解答】解：𝐴，假设𝑛=1，则𝑝1=1，

22所以𝐻(𝑋)>𝐻(𝑌)，故𝐷错误．应选𝐴𝐶.22三、填空题13.【答案】163【考点】抛物线的性质

𝑝𝑚+1>0，𝐻(𝑋)=−1×log2

1=0，故𝐴正确；

【解析】𝐵，假设𝑛=2，则𝑝1𝑝2=1，

先依据题目给定信息求出直线方程，联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理和抛物线的性质转化求出弦长12则𝐻(𝑋)=−𝑝 log122

𝑝1+(1−𝑝1)log

(1−𝑝1).

|𝐴𝐵|.设𝑓(𝑝)=−𝑝log2

𝑝+(1−𝑝)log2

(1−𝑝)，

【解答】解：设

,

)，𝐵(𝑥

,𝑦)，则𝑓′(𝑝)=−log𝑝𝑝⋅1

(1−𝑝)+(1−𝑝) −1

1 1 2 22=−log 𝑝 =log

𝑝ln2 21−𝑝，

(1−𝑝)ln2

则直线方程为𝑦=√3(𝑥−1)，2

2𝑝

代入抛物线方程得3𝑥2−10𝑥+3=0，当0𝑝<1时，𝑓′(𝑝>0；2

∴ 𝑥1

+𝑥2

=10，3当1<𝑝<1时，𝑓′(𝑝<0，2∴ 𝑓(𝑝)在(0,1)上单调递增，在(11)上单调递减，

依据抛物线方程的定义可知|𝐴𝐵|=𝑥11𝑥2+1=16.3故答案为：16.32 2 3

=1时，𝐻(𝑋)取最大值，故𝐵错误；2

14.【答案】𝐶，假设

=1(𝑖=1,2，⋯，𝑛)，𝑛

3𝑛2−2𝑛【考点】𝑖=1 则𝐻(𝑋)=−∑𝑛 𝑝𝑖𝑖=1

𝑝=−𝑛⋅1log1=log𝑖𝑛 2𝑛 𝑖

𝑛，

等差数列的前n项和等差关系确实定所以𝐻(𝑥)随着𝑛的增大而增大，故𝐶正确；𝐷，假设𝑛=2𝑚，随机变量𝑌全部可能的取值为1，2，⋯，𝑚，

【解析】由𝑃(𝑌=𝑗)=

+

(𝑗=1,2，⋯，𝑚〕知：

与{3𝑛−2}公共项所组成的数列{𝑎𝑛}的公差、首项，再利用等差数列的前𝑛项和的公式得出结论.1515页共28页◎16页共28页【解答】解：数列{2𝑛1}各项为：1，3，5，7，9，⋯数列{3𝑛2}各项为：1，4，7，10，13，⋯所以数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为3𝑛22𝑛.故答案为：3𝑛2−2𝑛.15.【答案】5𝜋+42【考点】同角三角函数根本关系的运用扇形面积公式【解析】.【解答】解：由得𝐴到𝐷𝐺的距离与𝐴到𝐹𝐺的距离相等，均为5.作𝐴𝑀⊥𝐺𝐹延长线于𝑀，𝐴𝑁⊥𝐷𝐺于𝑁，

=5𝜋+4.2故答案为：5𝜋+4.216.【答案】√2𝜋2空间直角坐标系圆的标准方程两点间的距离公式【解析】𝐵𝐶𝐶1𝐵1上是以√2为半径的90∘的弧，最终依据弧长公式求解.【解答】解：以𝐶为原点，𝐶𝐵，

→𝐶所在直线分别为𝑥轴、𝑧轴建立如图1所示的空间直角坐标系𝑂𝑥𝑦𝑧，1 11

𝐶1则∠𝑁𝐺𝐴=45∘.∵𝐵𝐻//𝐷𝐺，∴∠𝐵𝐻𝐴 =45∘.∵∠𝑂𝐴𝐻 =90∘，∴∠𝐴𝑂𝐻 =45∘.设𝑂到𝐷𝐺的距离为3𝑡，由tan∠𝑂𝐷𝐶=3，可知𝑂到𝐷𝐸的距离为5𝑡，5∴ 𝑂𝐴⋅cos45∘+5𝑡=∴ 𝑂𝐴⋅sin45∘+3𝑡=5,𝑡=1,解得{𝑂𝐴=2√2.半圆之外阴影局部面积为：𝑆=2√2×2√2×1−45×𝜋×(2√2)21 2 360=4−𝜋，阴影局部面积为：

𝐶1𝐵1相互垂直的直线，即𝐷1(1√30)，(𝑥0𝑧)，依据题意可得(𝑥−1)2+3𝑧2=5，化简得(𝑥−1)2+𝑧2=2，的交线平面如图2所示，即交线长𝑙=1⋅2√2𝜋=√2𝜋.1𝑆=2[𝜋⋅(2√2)2−𝜋⋅12]+𝑆1

4 2故答案为：√2𝜋.21717页共28页◎18页共28页四、解答题17.【答案】解：选①：∵ sin𝐴=√3sin𝐵，𝐶=𝜋，𝑎𝑐=√3，6∴ sin(5𝜋−𝐵)=√3sin𝐵，6∴ 1cos𝐵+√3sin𝐵=√3sin𝐵，

正弦定理【解析】条件①先依据题意，结合正弦定理用一边去表示另外两条边，然后用余弦定理求出三角形的三边的长；条件②先用正弦定理结合求出𝑎，𝑏的长，然后用余弦定理求出𝑐的长；条件③先利用正弦定理结合用𝑏表示𝑎，𝑐，然后利用余弦定理求得∠𝐶与给定值不同，从而判定三角形不存在.【解答】解：选①：∵ sin𝐴=√3sin𝐵，𝐶=𝜋，𝑎𝑐=√3，2 2 6∴ sin(𝜋−𝐵)=0，∴ 𝐵=𝜋.

∴ sin(5𝜋−𝐵)=√3sin𝐵，6 6∵ 𝐶=𝜋，∴ 𝑏=𝑐.6由正弦定理可得：𝑎=√3𝑏，

6∴ 1cos𝐵+2

√3sin𝐵=√3sin𝐵，2又𝑎𝑏=√3，解得𝑎=√3，𝑏=1，∴ 𝑐=1，故存在△𝐴𝐵𝐶满足条件；选②：sin𝐴=√3sin𝐵，𝐶=𝜋，𝑐sin𝐴=3.6∵ 𝑐sin𝐴=3，∴ 𝑎sin𝐶=3，∴ 𝑎=6.由正弦定理可得：𝑎=√3𝑏，∴ 𝑏=2√3，∴ 𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶=36+12−24√3×√3=12，2∴ 𝑐=2√3，∴ 𝐵=𝜋，𝐴=2𝜋，6 3故存在△𝐴𝐵𝐶满足条件；

∴ sin(𝜋−𝐵)=0，∴ 𝐵=𝜋.6 6∵ 𝐶=𝜋，∴ 𝑏=𝑐.6由正弦定理可得：𝑎=√3𝑏，又𝑎𝑏=√3，解得𝑎=√3，𝑏=1，∴ 𝑐=1，故存在△𝐴𝐵𝐶满足条件；选②：sin𝐴=√3sin𝐵，𝐶=𝜋，𝑐sin𝐴=3.6∵ 𝑐sin𝐴=3，∴ 𝑎sin𝐶=3，∴ 𝑎=6.由正弦定理可得：𝑎=√3𝑏，∴ 𝑏=2√3，∴ 𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶=36+12−24√3×√3=12，2选③：𝑐=√3𝑏，sin𝐴=√3sin𝐵，𝐶=𝜋，6∴ sin(5𝜋−𝐵)=√3sin𝐵，6∴ 1cos𝐵+√3sin𝐵=√3sin𝐵，

∴ 𝑐=2√3，∴ 𝐵=𝜋，𝐴=2𝜋，6 3故存在△𝐴𝐵𝐶满足条件；选③：𝑐=√3𝑏，sin𝐴=√3sin𝐵，𝐶=𝜋，2 2 6∴ sin(𝜋−𝐵)=0，∴ 𝐵=𝜋.6 6

∴ sin(5𝜋−𝐵)=√3sin𝐵，6∵ 𝐶=𝜋，∴ 𝑏=𝑐.6又𝑐=√3𝑏，冲突.

∴ 1cos𝐵+2

√3sin𝐵=√3sin𝐵，2故不存在△𝐴𝐵𝐶满足条件．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理

∴ sin(𝜋−𝐵)=0，∴ 𝐵=𝜋.6 6∵ 𝐶=𝜋，∴ 𝑏=𝑐.61919页共28页◎20页共28页又𝑐=√3𝑏，冲突.故不存在△𝐴𝐵𝐶满足条件．18.【答案】解：(1)由题意可知

+𝑎4

=20，𝑎3

=8，(2)∵ 𝑏𝑚为{𝑎𝑛}在(0,𝑚](𝑚(2)∵ 𝑏𝑚为{𝑎𝑛}在(0,𝑚](𝑚N∗)中的项的个数，当𝑚=2𝑘时，𝑏𝑚=𝑘/r/