2022年秋高中数学第五章一元函数的导数及其应用培优课恒成立能成立问题课件新人教A版选择性必修第二册

培优课——恒成立、能成立问题第五章内容索引01重难探究·能力素养全提升02学以致用·随堂检测全达标课标要求1.了解利用导数研究存在性问题和恒成立问题的方法.2.初步运用导数解决存在性问题和恒成立问题.重难探究·能力素养全提升探究点一由不等式恒成立求参数的值(取值范围)当x∈(0,x0)时,φ'(x)>0,故φ(x)在区间(0,x0)上单调递增,且φ(0)=0,从而φ(x)在区间(0,x0)上大于零,这与sin

x-ax<0恒成立相矛盾.当a≤0时,在区间(0,)上φ'(x)>0,即函数φ(x)单调递增,又φ(0)=0,故sin

x-ax>0恒成立,这与sin

x-ax<0恒成立相矛盾.故实数a的最小值为1.规律方法

1.对不等式恒成立问题,常需对参数进行分类讨论,求出参数的取值范围.2.利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数范围.探究点二不等式能成立求参数的值(取值【例2】

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a∈R).(1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)函数g(x)=(1-a)x,若∃x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.解

(1)f'(x)=,当导函数f'(x)的零点x=a落在区间(1,2)内时,函数f(x)在区间[1,2]上不是单调函数,即a∉(1,2),所以实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).(2)由题意知,不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x2-2x+a(ln

x-x)≥0在区间[1,e]上有解.因为当x∈[1,e]时,ln

x≤1≤x(不同时取等号),x-ln

x>0,规律方法

1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min;a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max.2.含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max;(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.

本节要点归纳1.知识清单:(1)函数中的存在性问题.(2)函数中的恒成立问题.(3)函数的最值或范围问题.2.方法归纳:转化法、分离参数法、分类讨论.3.常见误区:分离参数后检验等号是否能成立.学以致用·随堂检测全达标答案

D解析

由题意知,不等式x3-2x-a<0在[1,2]上恒成立,即a>x3-2x,令g(x)=x3-2x,则g'(x)=3x2-2>0在[1,2]上恒成立,即g(x)在[1,2]上单调递增,因此g(x)max=g(2)=4,故a>4.2.已知函数f(x)=x2-2lnx,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是(

)A.(-∞,e2-2) B.(-∞,e2-2]C.(-∞,1] D.(-∞,1)答案

B解析

由题意可知,存在x∈[1,e],使得m≤f(x),则m≤f(x)max.∵f(x)=x2-2ln

x,当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,∴函数f(x)在区间[1,e]上是增函数,则f(x)max=f(e)=e2-2,∴m≤e2-2,∴实数m的取值范围是(-∞,e2-2].3.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为

.

答案

-4

解析

f'(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4.经检验,此时x=2是f(x)的极值点.f'(x)=-3x2+6x,由此可得f(x)在[-1,0)上是减函数,在[0,1]上是增函数,∴当m∈[-1,1]