2022年秋高中数学第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标课件新人教A版选择性必修第一册

2.3.1两条直线的交点坐标第二章课标要求1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点

两条直线的交点1.已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组

的解.2.方程组

的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数1无数0直线l1和l2的位置关系

名师点睛如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两条直线的方程所组成的方程组的解.相交

重合平行过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.(

)(2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(

)(3)无论m为何值,x-y+1=0与x-2my+3=0必相交.(

)√××2.观察下面的图象,发现直线都经过点M(4,1),怎么表示出经过M点的直线方程?提示

当斜率存在时,y-1=k(x-4)(k∈R);当斜率不存在时,x=4.重难探究•能力素养全提升探究点一求相交直线的交点坐标【例1】

(1)求经过点(2,3)且经过直线l1:x+3y-4=0与l2:5x+2y+6=0的交点的直线方程;(2)求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程.规律方法

求两相交直线的交点坐标,关键是解方程组,解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.代入消元法若一条直线的方程是斜截式,常常应用代入消元法解方程组加减消元法若直线的方程都是一般式,常常应用加减消元法解方程组变式训练1已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是(

)答案

B探究点二过两直线交点的直线系方程【例2】

(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程.(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.解

(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点P(1,0)在直线上,∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=.∴所求方程为x+2y-2+

(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0.(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.解方程组规律方法

1.过两条直线交点的直线的方程的求法(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法):先设出过两直线交点的直线方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.2.含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.(2)方法二:若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的直线必过定点(x0,y0).变式训练2已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(

)A.2x+y=0 B.2x-y=0C.x+2y=0 D.x-2y=0答案

B(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.探究点三对称问题【例3】

光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.

解

设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),解得A'(-4,-3).由于反射光线经过点A'(-4,-3)和B(1,1),规律方法

点关于直线的对称点的求法点P(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系解方程组可得点P0的坐标.变式训练3直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.解

把A,B两点坐标代入y=2x知,A,B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A'(a,b),则直线AA'的斜率∴A'(4,-2),∵y=2x是角C平分线所在直线的方程,∴A'在直线BC上,本节要点归纳1.知识清单:(1)两条直线的交点;(2)直线系过定点问题.2.方法归纳:消元法、直线系法.3.常见误区:(1)对两直线相交条件理解不清;(2)容易混淆直线交点与对应方程组解的关系.学以致用•随堂检测全达标1.经过直线2x+y-2=0和x-y-1=0的交点,且与直线3x+2y-2=0垂直的直线方程是(

)A.3x-2y-1=0 B.2x-3y-1=0C.2x-3y-2=0 D.3x-2y-2=0答案C

设与直线3x+2y-2=0垂直的直线方程是2x-3y+m=0,把点(1,0)的坐标代入可得2-0+m=0,解得m=-2.所以所求的直线方程为2x-3y-2=0.故选C.2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(

)A.-24 B.24 C.6 D.±6答案A

解析

∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为

3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为

.

答案

(3,3)解析

∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,∴点P的坐标为(3,3).4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k=