2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何综合测评新人教B版选择性必修第一册

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四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)圆心为C的圆经过点A(-4,1),B(-3,2),且圆心C在直线l:x-y-2=0上.(1)求圆C的标准方程;(2)过点P(3,-1)作直线m交圆C于M,N两点,且|MN|=8,求直线m的方程.18.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.(1)借助向量证明平面A1BD∥平面B1CD1;(2)借助向量证明MN⊥平面A1BD.19.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,点E,F分别在AD,BC上,且AE=1,BF=4,沿EF将四边形AEFB折成四边形A'EFB',使点B'在平面CDEF上的射影H在直线DE上.(1)求证:平面B'CD⊥平面B'HD;(2)求证:A'D∥平面B'FC;(3)求直线HC与平面A'ED所成角的正弦值.20.(12分)(2021浙江学业考试)如图,直线l与圆E:x2+(y+1)2=1相切于点P,与抛物线C:x2=4y相交于不同的两点A,B,与y轴相交于点T(0,t)(t>0).(1)若T是抛物线C的焦点,求直线l的方程;(2)若|TE|2=|PA|·|PB|,求t的值.21.(12分)(2021江苏南通模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,BC=CD=2,AB=4.M,N分别是AB,AD的中点,且PD⊥NC,平面PAD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD;(2)已知三棱锥D-PAB的体积为23,求平面PNC与平面PNM的夹角的大小22.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,1),且离心率为32,直线l(1)求椭圆C的方程;(2)若∠APB的角平分线与x轴垂直,求PM长度的最小值.

模块综合测评1.A联立kx-y∴41+2k>0且2k-11+2k<2.C由a·n=1×2+(-2)×3+1×4=0,可知a⊥n.∴l∥α或l⊂α.3.C直线l1:y=k1x+1,∴k1=y-1x(直线l2:y=k2x-1,∴k2=y+1x(x≠又k1k2+2=0,∴y-1x·整理得2x2+y2=1(x≠0),∴l1与l2的交点一定在2x2+y2=1(x≠0)上.4.A双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=22则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=|2即4(c2-a2)c2=双曲线的离心率e=c2a25.D∵圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.又C1圆心为(0,-m),半径为2,C2圆心为(m,0),半径为22,∴2<2|m|<32,即1解得-3<m<-1或1<m<3.6.C根据题意,到坐标原点的距离为1的点的轨迹方程为x2+y2=1,是圆心为(0,0),半径r=1的圆,若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则圆x2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,圆x2+(y-a)2=4,圆心为(0,a),半径R=2,则有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3,即a的取值范围为(-3,-1)∪(1,3).7.B因为双曲线的渐近线方程为y=±bax所以A(a,b)或A(a,-b),因此|AF|=c=2,即(2-a)2+b2=2,整理可得a因为a2+b2=c2=4,所以4a=4,解得a=1,所以双曲线的离心率为e=ca=28.B由题意设抛物线的方程为y2=mx,将A的坐标代入可得12=14m,可得m=所以抛物线的方程为y2=4x,可得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得反射光线过焦点(1,0),所以直线AB的方程为y-01-0=x联立y=-所以反射光线与抛物线的两个交点A14,1,B所以AB的中点为178所以AB的中点到准线的距离d=178+1=259.ABC∵AB·AP=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴即AP⊥AB,故A正确;∵AP·AD=(-1)×4+2×2+(-1)×0∴AP⊥AD,即AP⊥AD,故B由AP⊥AB,AP⊥AD,且AB∩AD=A,得出AP是平面ABCD的一个法向量,故C正确;由AP是平面ABCD的法向量,得出AP⊥BD,故D10.AD∵双曲线C:x2a2−y2a∴双曲线的渐近线与x轴的夹角为45°.∵F是双曲线C:x2a2−y2O为坐标原点,点P是双曲线上任意一点,∴0°≤∠POF<45°或135°<∠POF≤180°.∴∠POF的大小可能是30°,150°.故选AD.11.BCD由x2+y2-2x-4y+1=0,知(x-1)2+(y-2)2=4,表示圆心为M(1,2),半径为r=2的圆,对于A,x2+y2的几何意义为圆上的点与原点距离的平方和,其最大值为(|OM|+r)2=(5+2)2,即A错误;对于B,(x+2)2+(y+1)2的几何意义为圆上的点与点(-2,-1)距离的平方和,其最大值为(2+32)2=22+122,即B正确;对于C,令z=x+y,则其几何意义为直线y=-x+z在y轴上的截距,当该直线y=-x+z与圆相切时,可满足题意,此时圆心M(1,2)到直线y=-x+z的距离为d=|1+2-z|2=2,解得z=显然zmin=3-22,zmax=3+22,即C正确;对于D,令t=4x-3y,则其几何意义为直线y=43x-13t在y轴上的截距乘以当该直线y=43x-13t与圆相切时,此时圆心M(1,2)到直线y=43x-13t的距离为d=|4-3×2-t|显然tmin=-12,tmax=8,即D正确.故选BCD.12.BCD当y=0时,x4=4x2,解得x=0或2或-2,即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知-2≤x≤2,令x=±1,得y2=23-3,不是整点,∴曲线C共经过3个整点,故A错误;x2+y2=4(x2-y2)x2+y2≤4,曲线C上任取一点P(x曲线C上任取一点M关于y=x的对称点为N,设N(x,y),则M(y,x),M在曲线C上,∴(x2+y2)2=4(y2-x2),故C正确;y=kx与曲线C一定有公共点(0,0),∵y=kx与曲线C只有一个公共点,则x4(1+k2)=4x2(1-k2),∴1-k2≤0,∴k≥1或k≤-1,故D正确.13.-1227或2因为向量a=(1,2,λ),b=(2,2,-所以a·b=2+4-λ=6-λ,|a|=1+4+λ|b|=4+4+1=3.若cos<a,b>=49则a·化简得7λ2+108λ-244=0,解得λ=-1227或λ=则实数λ的值为-1227或214.38,12,18308∵OH∴(x,y,z)=38∵OA⊥OB,OA且|OA|=|OB|=|OC|=1,∴OH2=38OA+12OB+18OC2=964|OA|2+14|15.3-12如图,由(AB+AC)·BC=0,得AE⊥故|AC|=|AB|=2c.又∠ABC=30°,∴|BC|=2×2csin60°=23c.由椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2(1+3)c,故a=(3+1)c,∴离心率e=ca16.142,217.解(1)由已知直线AB的斜率kAB=1,AB中点坐标为-7所以AB垂直平分线的方程为x+y+2=0.则由x+y+2=0,x-y因此半径r=|AC|=5,所以圆C的标准方程为x2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C到直线m的距离d=52-所以当直线m斜率不存在时,其方程为x=3,即x-3=0;当直线m斜率存在时,设其方程为y+1=k(x-3),则d=|-3k+1|k2此时其方程为4x+3y-9=0.所以直线m的方程为x-3=0或4x+3y-9=0.18.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),∵DA1=(2,0,2),DB∴DA1·m=0,DB·m=0,即2x同理平面B1CD1的一个法向量为n=(-1,1,1),∴m∥n,∴平面A1BD∥平面B1CD1.(2)∵M,N分别为AB,B1C的中点,∴M(2,1,0),N(1,2,1),∴MN=(-1,1,1),∴MN∥m,∴MN⊥平面A1BD.19.(1)证明在矩形ABCD中,CD⊥DE,点B'在平面CDEF上的射影为H,则B'H⊥平面CDEF,且CD⊂平面CDEF,∴B'H⊥CD.又B'H∩DE=H,∴CD⊥平面B'HD.又CD⊂平面B'CD,∴平面B'CD⊥平面B'HD.(2)证明∵A'E∥B'F,A'E⊄平面B'FC,B'F⊂平面B'FC,∴A'E∥平面B'FC.由DE∥FC,同理可得DE∥平面B'FC.又A'E∩DE=E,∴平面A'ED∥平面B'FC,∴A'D∥平面B'FC.(3)解如图所示,过点E作ER∥DC,过点E作ES⊥平面EFCD,分别以ER,ED,ES为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.∵B'在平面CDEF上的射影H在直线DE上,∴设B'(0,y,z)(y>0,z>0).∵F(3,3,0),且B'E=10,B'F=4,∴y2+∴B'(0,2,6),∴FB'=(-3,-1,6∴EA'=14FB'=-3又ED=(0,5,0),设平面A'ED的法向量为n=(a,b,c),则有n即-解得b=0,令a=1,得平面A'ED的一个法向量为n=1,又C(3,5,0),H(0,2,0),∴CH=(-3,-3,0),∴直线HC与平面A'ED所成角的正弦值为sinθ=|cos<CH,n>|=|CH20.解(1)∵T(0,t)(t>0)是抛物线C:x2=4y的焦点,∴t=1.设直线l的方程为y=kx+1,由直线l与圆E相切,得21+k2=1,即∴直线l的方程为y=±3x+1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+t,x2=4y则x1+x2=4k,x1x2=-4t,∴|PA|·|PB|=1+k2|x1-x0|·1+k2|x2-x0|=(1+k2)[x1x2-x0(x1+x2)+x02]=(1+k2)[x02-4(kx0+t)]=(1+k2由直线l与圆E相切,得|t+1即1+k2=(t+1)2,由|TE|=t+1,|TE|2=|PA|·|PB|,得(1+k2)(x02-4y0)=(t+1)∴x02-4y0=1,又x02+(y0+1)2=1,y0解得y0=-3+22.由直线l与PE互相垂直,得k=-1kPE=-∴t=y0-kx0=y0+x021.(1)证明连接DM,则DC∥BM且DC=BM,所以四边形BCDM为平行四边形,所以DM∥BC且DM=BC,所以△AMD是等边三角形,所以MN⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以MN⊥平面PAD.因为PD⊂平面PAD,所以PD⊥MN.又因为PD⊥NC,且MN∩NC=N,MN⊂平面ABCD,NC⊂平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD.(2)解连接BD/