2022年秋高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.2排列与排列数课件新人教B版选择性必修第二册

3.1.2排列与排列数第三章内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标课标要求1.正确理解排列的意义,掌握写出简单排列的方法,加深对分类讨论方法的理解,发展学生的抽象能力和逻辑思维能力.2.掌握有关排列综合题的基本解法,提高分析问题和解决问题的能力,学会用分类讨论思想解决问题.基础落实•必备知识全过关知识点一排列的定义一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列.名师点睛

理解排列的定义应注意的问题(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.(2)只有当对象完全相同,并且对象的排列顺序也完全相同时,两个排列才是同一个排列.(3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.(4)判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同对象中取出m个对象后,在安排这m个对象时是有序还是无序,有序就是排列问题,无序就不是排列问题.(5)写出一个问题中的所有排列的基本方法有:字典排序法、树形图法、框图法.过关自诊下列问题是排列问题的是

.

(1)从1到10十个自然数中任取两个不同数组成平面直角坐标系内的点的坐标;(2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会;(3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式.答案

(1)(3)

解析

(1)由于取出的两个数组成的点的坐标,与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题.(2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题.(3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题.知识点二排列数的定义从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号

表示.名师点睛

“排列”和“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从n个不同对象中,任取m个对象,按照一定顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);排列数是指“从n个不同的对象中取出m个对象的所有排列的个数”,是一个数.过关自诊写出从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数的所有排列数为

.

答案

12

解析

所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数.知识点三排列数公式1.排列数公式名师点睛

(1)这个公式只有在m,n∈N+,m≤n的情况下才成立.(2)公式右边是m个数的连乘积,它的第一个因数是n,后面的每一个因数都比它前面的因数少1,最后一个因数为(n-m+1).过关自诊

答案

1重难探究•能力素养全提升探究点一排列数公式的应用【例1】

(1)给出下列四个关系式:其中正确的个数为(

)

A.1 B.2 C.3 D.4个(2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+,且n<55).规律方法

排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行.应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的数是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.探究点二无限制条件的排列问题【例2】(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?(2)有5种不同的书(每种不少于3本),要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?解

(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是

=5×4×3=60,所以共有60种不同的送法.(2)由于有5种不同的书,送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125,所以共有125种不同的送法.规律方法

无限制条件的排列问题的求解策略没有限制条件的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可.变式训练2将3张电影票分给10人中的3人,每人1张,共有

种不同的分法.

答案

720解析

问题相当于从10人中选出3人,然后进行全排列,这是一个排列问题.故不同分法的种数为

=10×9×8=720.探究点三有限制条件的排列问题【例3】有3名男生、4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法种数.(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边;(2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边;(3)全体排成一行,其中男生必须排在一起;(4)全体排成一行,男、女各不相邻;(5)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变;(6)排成前后两排,前排3人,后排4人.规律方法

1.

排列问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置,可采用位置分析法或元素分析法进行排列.应记住相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法.2.元素相邻和不相邻问题的解题策略限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素的排列元素不相邻通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中变式训练

3用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(

)A.144个 B.120个 C.96个

D.72个

例4用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数?(2)个位数字不是5的六位数?(3)不大于4310的四位偶数?规律方法数字排列排数字问题常见的解题方法(1)两优先排法:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排首位.(2)分类讨论法:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行计算.要注意两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.(3)排除法:全排列数减去不符合条件的排列数.(4)位置分析法:按位置逐步讨论.变式探究

本例条件不变,可以组成多少个能被5整除的五位数?

素养培优分类讨论思想在排列中的应用分类的要求:(1)类与类之间要互斥(保证不重复);(2)总数要完备(保证不遗漏).【典例】从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有几个?方法点睛

该题的限制条件较隐蔽,需仔细分析.一元二次方程中a≠0需要考虑到,而对于有实根的一元二次方程,需要考虑两点:一是a不为0;二是b2-4ac≥0.解决排列问题时,既要搞清哪些是特殊元素、特殊位置,又要根据问题进行合理地分类、分步,选择合适的解法.学以致用•随堂检测全达标1.4×5×6×…×(n-1)×n等于(

)答案

D解析

原式可写成n×(n-1)×…×6×5×4,故选D.2.已知下列问题:①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母;④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个答案

B解析

①是排列问题,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关;②不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关;③不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关;④是排列问题,因为取出的两个数字还需要按顺序排列.3.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(

)A.8 B.24 C.48 D.120答案

C解析

从2,4中取一个数作为个位数字,有2种取法;再从其余四个数中