2022年秋高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1基本计数原理课件新人教B版选择性必修第二册

3.1.1基本计数原理第三章内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标课标要求1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能准确应用两个计数原理解决一些简单的实际问题.基础落实•必备知识全过关知识点一分类加法计数原理原理内容完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.名师点睛

利用分类加法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法.(2)完成这件事有n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“完成这件事的办法”进行分类,要求每一种方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法不同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类办法,则A∩B=⌀,A∪B=I(I表示全集).过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(

)(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出26+10=36种不同的号码.(

)(3)在分类加法计数原理中的每一种方案都可以完成这件事.(

)×在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法是不同的,若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法.√因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36(种)不同的号码.√在分类加法计数原理中的每一种方案都是独立的,可单独完成这件事.2.一件工作可以用两种方法完成,有5人只会用第一种方法完成,另有4人只会用第二种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,则不同的选法种数为(

)

A.9 B.10 C.20 D.40答案

A解析

利用第一种方法去完成有5种选法,利用第二种方法去完成有4种选法.故不同的选法种数为5+4=9.故选A.知识点二

分步乘法计数原理原理内容完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.名师点睛

利用分步乘法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事需要几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,无论缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐一去做,才能完成这件事,各步之间既不能重复也不能遗漏.(4)对于同一个题目,标准不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步;二是不同步骤的方法不能互相替代.过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(

)√×2.一个袋子里装有7张不同的A类手机卡,另一个袋子里装有8张不同的B类手机卡,某人想得到一张A类手机卡和一张B类手机卡,供自己今后使用,则不同的取法种数为(

)

A.78 B.15 C.87 D.56答案

D解析

由分步乘法计数原理知,有7×8=56(种)不同的取法.知识点三两个原理的联系与区别1.联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.2.区别区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复名师点睛(1)两个原理的区别在于“分类”与“分步”.若完成一件事需分类思考,且这n类办法是相互独立的,无论用哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,则用分类加法计数原理.若完成这件事需分为n个步骤,且这n个步骤相互依存,具有连续性,当且仅当这n个步骤依次完成后,这件事才完成,则用分步乘法计数原理.(2)处理具体问题时要注意两点:一是合理分类,准确分步.分类时,要不重不漏;分步时,要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步.二是特殊优先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置.过关自诊1.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(

)

A.324 B.328 C.360

D.648答案B解析若个位数字为0,前两位的排法种数为9×8=72;若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确定十位数字有8种方法,所以排法种数为4×8×8=256.所以256+72=328,所以可以组成328个没有重复数字的三位偶数.故选B.2.现有5种不同的颜色,给四棱锥P-ABCD的五个顶点涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,一共有(

)种方法.A.240 B.360

C.420

D.480答案C解析当顶点A,C同色时,顶点P有5种颜色可供选择,点A有4种颜色可供选择,点B有3种颜色可供选择,此时C只能与A同色,即有1种颜色可选,点D就有3种颜色可选,共有5×4×3×1×3=180(种);当顶点A,C不同色时,顶点P有5种颜色可供选择,点A有4种颜色可供选择,点B有3种颜色可供选择,此时C与A不同色,即有2种颜色可选,点D就有2种颜色可选,共有5×4×3×2×2=240(种).综上可得共有180+240=420(种),故选C.重难探究•能力素养全提升探究点一利用分类加法计数原理解题【例1】在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少个?解

(方法一)分析个位数,可分以下几类:个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故有8个;个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故有7个;同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个……个位是2的只有1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36个.(方法二)按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.(方法三)将个位比十位数字大的两位数一一写出:12,13,14,15,16,17,18,19,23,24,25,26,27,28,29,34,35,36,37,38,39,45,46,47,48,49,56,57,58,59,67,68,69,78,79,89.共有36个符合题意的两位数.规律方法

利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.变式探究

本例中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数.解

当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个.当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个.当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个.同理可知,当个位数字是2时,共7个.当个位数字是0时,共9个.由分类加法计数原理知,符合条件的数共有1+3+5+7+9=25个.探究点二利用分步乘法计数原理解题【例2】已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示多少个不同的圆?解

完成表示不同的圆这件事,可以分为三步:第一步:确定a有3种不同的选取方法;第二步:确定b有4种不同的选取方法;第三步:确定r有2种不同的选取方法;由分步乘法计数原理知,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有3×4×2=24个.规律方法

利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步:将完成这件事的过程分成若干步;(2)计数:求出每一步中的方法数;(3)结论:将每一步中的方法数相乘得最终结果.变式训练14张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成

个不同的三位数.

答案

168解析

分三个步骤:第一步:百位可放8-1=7个数;第二步:十位可放6个数;第三步:个位可放4个数.根据分步乘法计数原理,可以组成N=7×6×4=168个不同的三位数.探究点三两个原理的综合应用【例3】

有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(

)

A.21种

B.315种

C.153种 D.143种答案

D

解析

由题意,选一本语文书一本数学书有9×7=63(种),选一本数学书一本英语书有5×7=35(种),选一本语文书一本英语书有9×5=45(种),所以共有63+45+35=143种选法.故选D.规律方法

应用两个计数原理解题的策略对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步.分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰,也可以根据题意合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题.变式训练2用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,则共有多少种不同的涂色方法?1234解

第一类,1号区域与4号区域同色,此时可分三步来完成:第一步,涂1号区域和4号区域,有5种涂法;第二步,涂2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂3号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此也有4种涂法.由分步乘法计数原理知,有5×4×4=80种涂法.第二类,1号区域与4号区域不同色,此时可分四步来完成:第一步,涂1号区域,有5种涂法;第二步,涂4号区域,只要不与1号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有3种涂法;第四步,涂3号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此也有3种涂法.由分步乘法计数原理知,有5×4×3×3=180种涂法.依据分类加法计数原理知,不同涂色的方法种数为80+180=260.

素养培优模型法模型法就是通过构造图形,利用形象、直观的图形帮助分析解决问题的方法.解

由于首位数字不能为0,偶数的末位数字必须是偶数数字,且当首位取某个偶数数字(如2)时,末位数字不能取该偶数数字,因此可先分类,再分步.(1)当首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个)时,末位数字可取0,2,4,6中任一个,而百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字则不能取与这三个数字重复的数字,故共有3×4×5×4=240种取法.(2)当首位取2,4,6中的某个偶数数字时,末位数字可取3个偶数数字中任一个,百位数字不能取与上述重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字,故共有3×3×5×4=180种取法.故可以组成240+180=420个无重复数字的四位偶数.【典例】由0,1,2,3,4,5,6这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数?规律方法在解决与数字排列有关的问题时,应特别注意其限制条件.排列时,要遵循特殊位置、特殊元素优先安排的原则.学以致用•随堂检测全达标1.由0,1,2三个数字组成的三位数(允许数字重复)的个数为(

)A.27 B.18 C.12 D.6答案

B解析

分三步,依次取个位、十位、百位上的数字,分别有3种、3种、2种取法,故共可得3×3×2=18个不同的三位数.2.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有(

)A.4种 B.5种

C.6种 D.12种答案

C解析

若甲先传给乙,则有甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式;同理,甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式.3.已知集合