2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算课件新人教A版选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算第一章课标要求1.了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.4.掌握共线向量和共面向量的定义,会证明空间三点共线、四点共面.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

空间向量的定义及相关概念1.定义在空间,我们把具有

和

的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的

.

2.空间向量及其模的表示方法空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作

,其模记为|a|或||.

大小

方向长度或模3.空间向量的相关概念

名称概念记法零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量—相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量-a相等向量方向相同且模相等的向量—对于任意向量a,均有0∥a向量可以在空间中平移

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量.(

)(2)若a是单位向量,则|a|=1.(

)(3)若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p.(

)×√√2.涉及空间两个向量的问题,平面向量中的有关结论是否仍然适用?提示

适用.知识点2

空间向量的线性运算

空间向量的加法、减法类似平面向量,定义空间向量的加法、减法运算(如图).a+ba-b空间向量的数乘运算律①交换律:a+b=b+a;②结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=

;

③分配律:(λ+μ)a=

,λ(a+b)=

.(其中λ,μ∈R)

0(λμ)aλa+μaλa+λb过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在空间中,任意两个向量都可以进行加减运算.(

)(2)空间两非零向量相加时,一定可以用平行四边形法则运算.(

)(3)向量的数乘运算不是线性运算.(

)(4)三角形法则适用于空间任意两个向量减法运算.(

)√××√2.空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别?

提示

没有区别.知识点3

共线向量与共面向量1.类型共线(平行)向量共面向量定义如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线

,那么这些向量叫做共线向量或平行向量

共线向量也叫平行向量,注意与两直线重合和平行的区别平行于

的向量叫做共面向量

互相平行或重合

同一个平面

类型共线(平行)向量共面向量充要条件对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使

如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使

a=λbp=xa+yb类型共线(平行)向量共面向量推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线,那么对于空间任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使

=+ta①,如图所示.若在l上取

=a,则①式可化为

=+t如图,空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使

=x+y或对空间任意一点O来说,有

y2.如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得

=λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的

.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.

方向向量

名师点睛共线向量的特点及三点共线的充要条件(1)共线向量不具有传递性因为零向量0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若a∥b,b∥c,则a∥c不一定成立.因为当b=0时,a∥0,0∥c,但a与c不一定共线.(2)空间三点共线的充要条件过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是共面向量.(

)(2)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(

)√×2.空间中的任意两个向量是否共面?为什么?3.空间任意两个向量是共面向量,则空间任意三个向量是否共面?提示

共面,任意两个向量都可以平移到同一个平面内成为同一个平面内的两个向量.提示

不一定,如图所示,空间中的三个向量不共面.重难探究•能力素养全提升探究点一空间向量及相关概念的理解答案

②③

解析

①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;规律方法

空间向量概念的辨析

1向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可2单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为13两个向量的模相等,即它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件4由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的变式训练1下列说法正确的是(

)A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同D.若|a|>|b|,|b|>|c|,则a>c答案

B

解析

两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故选项B正确.探究点二空间向量的线性运算思路分析根据数乘向量及三角形法则、平行四边形法则求解.规律方法

空间向量线性运算的技巧和思路(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.(2)化简空间向量的常用思路①分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).变式探究本例条件不变,试用a,b,c表示向量

.探究点三空间共线向量定理及其应用思路分析可通过证明

共线来证明E,F,B三点共线.规律方法

利用空间共线向量定理可解决的主要问题(1)判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.(2)求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(λ∈R)”.(3)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线:变式训练3如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断

是否共线.解

共线.证明如下:∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,探究点四空间共面向量定理及其应用(2)由(1)知向量

共面,三个向量又有公共点M,故M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内.规律方法

证明空间三向量共面或四点共面的方法

方法一向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面方法二若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O,有

,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面变式训练4已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系:试判断点P是否与点A,B,C共面.本节要点归纳1.知识清单:(1)向量的相关概念;(2)向量的线性运算及运算律;(3)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量;(4)空间向量共面的充要条件,三点共线、四点共面的证明方法.2.方法归纳:类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合和转化思想.3.常见误区:(1)容易忽视向量的“大小”和“方向”两个要素,要注意向量不是一个数;(2)容易混淆向量共线与线段共线、点共线之间的关系.学以致用•随堂检测全达标1.(多选题)下列说法中,正确的有(

)A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等答案

ABC

解析

D项中,共线的单位向量是相等向量或相反向量.2.在平行六面体