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文档简介

2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是().A. B. C. D.2.在中,“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多4.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}5.已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是()A. B. C. D.6.设,,是非零向量.若,则()A. B. C. D.7.已知复数z满足i•z=2+i,则z的共轭复数是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i8.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取得最大值时,点恰好在以为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.9.已知复数,则对应的点在复平面内位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10.已知二次函数的部分图象如图所示,则函数的零点所在区间为()A. B. C. D.11.设是等差数列,且公差不为零,其前项和为.则“,”是“为递增数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针,则针落地后与直线相交的概率约为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中所有项的系数和为______,常数项为______.14.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为_______.15.若关于的不等式在上恒成立,则的最大值为__________.16.已知,则的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列,其前项和为,若对于任意,,且,都有.(1)求证:数列是等差数列(2)若数列满足,且等差数列的公差为,存在正整数,使得,求的最小值.18.(12分)设椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,点D在椭圆C上,的周长为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过圆上任意一点P作圆E的切线l,若l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,求证:为定值.19.(12分)已知动点到定点的距离比到轴的距离多.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设,是轨迹在上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当,变化且时,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.20.(12分)已知数列的前项和为,且满足,各项均为正数的等比数列满足(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4sin.(1)求曲线C的普通方程;(2)求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)若,且,求证:.

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】

作出其直观图,然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【题目详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图,如图所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴这个四棱锥中最长棱的长度是.故选.【答案点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算,正确还原直观图是解题关键,属于基础题.2、D【答案解析】

通过列举法可求解,如两角分别为时【题目详解】当时,,但,故充分条件推不出;当时,,但,故必要条件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.【答案点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断,三角函数在解三角形中的具体应用,属于基础题3、D【答案解析】

根据两个图形的数据进行观察比较,即可判断各选项的真假.【题目详解】在A中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,所以是正确的;在B中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图得到:,互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的,所以是正确的;在C中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图,90后从事互联网行业岗位分别条形图得到:,互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多,所以是正确的;在D中,互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为,所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多.故选:D.【答案点睛】本题主要考查了命题的真假判定,以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4、C【答案解析】

根据集合的并集、补集的概念,可得结果.【题目详解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故选:C.【答案点睛】本题考查的是集合并集,补集的概念,属基础题.5、D【答案解析】

由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,,由此即可得到本题答案.【题目详解】由题,得,因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,,所以是函数的一条对称轴,故选:D【答案点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.6、D【答案解析】试题分析:由题意得:若,则;若,则由可知,,故也成立,故选D.考点:平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.7、D【答案解析】

两边同乘-i,化简即可得出答案.【题目详解】i•z=2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i,选D.【答案点睛】的共轭复数为8、B【答案解析】

设,利用两点间的距离公式求出的表达式,结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标,结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【题目详解】设,因为是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,所以,则,当时,,当时,,当且仅当时取等号,此时,,点在以为焦点的椭圆上,,由椭圆的定义得,所以椭圆的离心率,故选B.【答案点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.9、A【答案解析】

利用复数除法运算化简,由此求得对应点所在象限.【题目详解】依题意,对应点为,在第一象限.故选A.【答案点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点的坐标所在象限,属于基础题.10、B【答案解析】由函数f(x)的图象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根据函数的零点存在性定理可知,函数g(x)的零点所在的区间是(0,1),故选B.11、A【答案解析】

根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【题目详解】是等差数列,且公差不为零,其前项和为,充分性:,则对任意的恒成立,则,,若,则数列为单调递减数列,则必存在,使得当时,,则,不合乎题意;若,由且数列为单调递增数列,则对任意的,,合乎题意.所以,“,”“为递增数列”;必要性:设,当时,,此时,,但数列是递增数列.所以,“,”“为递增数列”.因此,“,”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选:A.【答案点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键,属于中等题.12、D【答案解析】

根据统计数据,求出频率,用以估计概率.【题目详解】.故选:D.【答案点睛】本题以数学文化为背景,考查利用频率估计概率,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3-260【答案解析】

(1)令求得所有项的系数和;(2)先求出展开式中的常数项与含的系数,再求展开式中的常数项.【题目详解】将代入,得所有项的系数和为3.因为的展开式中含的项为,的展开式中含常数项,所以的展开式中的常数项为.故答案为:3;-260【答案点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题,属于基础题.14、【答案解析】

根据题意,由双曲线的渐近线方程可得,即a=2b,进而由双曲线的几何性质可得cb,由双曲线的离心率公式计算可得答案.【题目详解】根据题意,双曲线的渐近线方程为y=±x,又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,即yx,则有,即a=2b,则cb,则该双曲线的离心率e;故答案为:.【答案点睛】本题考查双曲线的几何性质,关键是分析a、b之间的关系,属于基础题.15、【答案解析】

分类讨论,时不合题意;时求导,求出函数的单调区间,得到在上的最小值,利用不等式恒成立转化为函数最小值,化简得,构造放缩函数对自变量再研究,可解,【题目详解】令;当时,,不合题意;当时,,令,得或,所以在区间和上单调递减.因为,且在区间上单调递增,所以在处取极小值,即最小值为.若,,则,即.当时,,当时,则.设,则.当时,;当时,,所以在上单调递增;在上单调递减,所以,即,所以的最大值为.故答案为:【答案点睛】本题考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的求解思路:已知不等式(为实参数)对任意的恒成立,求参数的取值范围.利用导数解决此类问题可以运用分离参数法;如果无法分离参数,可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解,如果是二次不等式恒成立的问题,可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或,)求解.16、【答案解析】

先求,再根据的范围求出即可.【题目详解】由题可知,故.故答案为:.【答案点睛】本题考查分段函数函数值的求解,涉及对数的运算,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【答案解析】

(1)用数学归纳法证明即可;(2)根据条件可得,然后将用,,表示出来,根据是一个整数,可得结果.【题目详解】解:(1)令,,则即∴,∴成等差数列,下面用数学归纳法证明数列是等差数列,假设成等差数列,其中,公差为,令,,∴,∴,即,∴成等差数列,∴数列是等差数列;(2),,若存在正整数,使得是整数,则,设,,∴是一个整数,∴,从而又当时,有,综上,的最小值为.【答案点睛】本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质,关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列,属于难题.18、(1)(2)见解析【答案解析】

(1)由,周长,解得,即可求得标准方程.(2)通过特殊情况的斜率不存在时,求得,再证明的斜率存在时,即可证得为定值.通过设直线的方程为与椭圆方程联立,借助韦达定理求得,利用直线与圆相切,即,求得的关系代入,化简即可证得即可证得结论.【题目详解】(1)由题意得,周长,且.联立解得,,所以椭圆C的标准方程为.(2)①当直线l的斜率不存在时,不妨设其方程为,则,所以,即.②当直线l的斜率存在时,设其方程为,并设,由,,,由直线l与圆E相切,得.所以.从而,即.综合上述,得为定值.【答案点睛】本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.19、(1)或;(2)证明见解析,定点【答案解析】

(1)设,由题意可知,对的正负分情况讨论,从而求得动点的轨迹的方程;(2)设其方程为,与抛物线方程联立,利用韦达定理得到,所以,所以直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点.【题目详解】(1)设,动点到定点的距离比到轴的距离多,,时,解得,时,解得.动点的轨迹的方程为或(2)证明:如图,设,,由题意得(否则)且,所以直线的斜率存在,设其方程为,将与联立消去,得,由韦达定理知,,①显然,,,,将①式代入上式整理化简可得:,所以,此时,直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点.【答案点睛】本题主要考查了动点轨迹,考查了直线与抛物线的综合,是中档题.20、(1);(2)【答案解析】

(1)由化为,利用数列的通项公式和前n项和的关系,得到是首项为,公差为的等差数列求解.(2)由(1)得到,再利用错位相减法求解.【题目详解】(1)可以化为,,,,/r/

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