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第第2页（共25页）第第2页（共25页）第第29页(共25页)(i)当APAB面积最大时，求l的方程;2(ii)求证：丨PAIIMB1=1PBIIMAI，并判断l,l,PA,PB的斜率是否可以按某种顺序构成12等比数列？等比数列？【解答】解：(1)设F(-c,0)，F(c,0)，12uuuruuuur所以PFgPF=(-c—2，-1)(c—2，-1)=4—c2+1=5—c，12由题意可得5—C2=—1，所以C2=6，由于椭圆过点(2,1)，所以—+—=1，c2=a2—b2=6，解得：b2=2，a2=8，a2b2所以椭圆的方程为：兰+22=1；82(2)(i)设过P的切线方程为：y=k(x-2)+1，与椭圆联立可得(1+4k2)x2+8k(1—2k)x+4(1-2k)2-8=0，由题意可得△=64k2(1—2k)2—4(1+4k2)[4(1—2k)2—8]=0，解得k=—-,2kOP2由题意直线l的方程，y=x+1，设A(x，y)，B(x，y),221122联立直线l与椭圆的方程，整理可得2x2+4tx+4t2—8=0，2△=16t2—4g2g4t2—8)>0，即12<4，x+x=—2t，xx=2t2—4，1212所以弦长IAB1=1+(x+x)2—4xx=「5^4—2t2,41212P到直线AB的距离为：P到直线AB的距离为：d=里=2ItI所以S=-\AB\gd斗12(4-2t2)斗—2(t2-1)2+2<2,APAB2当且仅当12=1取等号，M介于A、B之间可得t=1这时直线I的方程为y=1x+1；x=2(ii)由(i)可得］1可得M(2,2)，y=—x+1〔2,,y-1y-1(2x1+t-1)(x2-2)+(2x2+t-1)(x1-2)xx+(t-2)(x+x)-4(t-1)k+k=r+2==-^212PAPBx—2x—2(x—2)(x—2)(x—2)(x—2)121212将x+x=-2t，xx=2t2一4，代入可得k+k=0，1212PAPB所以直线PA，PB关于直线x=2对称，即PM为ZAPB的角平分线,由角平分线的性质可得—=劭，\PB\\BM\即证得：\PA\\MB\=\PB\\MA\．由(i)k+k=0，因为l，l的斜率互为相反数，直线PA，PB的斜率互为相反数,PAPB12所以存在l，l，12PA，PB的斜率的顺序1PA，l12PB的斜率成等比数列，公比为-2k，或PA，lPB，的斜率成等比数列，且公比为212k1111【解答】解：由函数y=x—1在（—^,—1）上为增函数可知，当a<b<—1时，a—1<b—-，xab故选项A错误；由函数y=x+丄在在（-8,-1）上为增函数可知，当a<b<—1时，a—1<b—1,故选项B/r

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