2019年乌鲁木齐市高三数学上期中一模试题(附答案)

552019年乌鲁木齐市高三数学上期中一模试题（附答案）一、选择题1-1-已知等比数列｛」a1=1,且aa+aa+•••+aa<k，则k的取值范1223nn+1围是（）A．「A．「1)「12)「2、B.—,+8[2JC.[2'3JD.—,+8[3丿2．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A.—尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸设｛a｝是首项为巳，公差为-1的等差数列，S为其前n项和，若S1,S2,S”成等比数TOC\o"1-5"\h\zn1n124列，则a1=（）11A.2B.-2C.D.—二22已知｛a｝为等差数列，S为其前n项和，若a+7—2a，则S—（）nn3513A.49B.91C.98D.182在VABC中，ZABC=-，AB—迈，BC—3，则sinABAC—（）4A.<10~10~B.3A.<10~10~B.3帀1056.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得ZABC=120。，则A、C两地的距离为（）a,b,c分别是角A,B,C的对边，若bsinA-\2acosB—0，且b2—aca,b,c分别是角A,B,C的对边，若bsinA-\2acosB—0，且b2—ac，8.(23)「23JC.(1,+8)(231,+8B.一匸,1D.一8，=15丿L5]15]7.若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间h,5］上有解，则a的取值范围是（）A.在AABC中,a+c则亍的值为（）A.2B.D.49.已知：A.2B.D.49.已知：x>0，y>0，且？+丄-1,xy若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是()A.范围是()A.(-4,2)B.(-8,-4]u[2,+8)C.(-2,4)D.(-8,-2］』4,+8)如果等差数列｛a｝中，a3+a+a=12，那么a+aD.(-8,-2］』4,+8)如果等差数列｛a｝中，a3+a+a=12，那么a+a2+...+a7=()n345127A.14B.21C.28D.设等差数列｛a｝的前n项和为S,已知(a—1)3+2016(a—1)=1,nn44016・(a.3—1)=一1,贝9下列结论正确的是()S=—2016，a>a20134=2016，a>a20134—2016，a<a20134<a201341若函数f(x)—x+(x>2)在x—a处取最小值，则a等于(x一2B.1+、込35(a－1)3＋22013A．B．C．D．2013=—2016,a2016S2016S=2016S=2016，a2016A．3二、填空题D．nn且前n项和分别为Sn和T，若114-已知命题p:心Rax2+xo+2-0，若命题p是假命题'则实数a的取值范围是15.已知数列｛a｝中,n11且—一+3(ngN)，则aaan+1n—10.(用数字作答)16．对一切实数x，不等式x2+aIxI+1>0恒成立，则实数a的取值范围是.17．18．2n-1,l<nW2Q，前n项和为S，则limSn—3-n,n>3nns已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c—1，AABC的面积为若数列｛专通项公式是a+b—1，则AABC面积的最大值为.4已知无穷等比数列｛a｝的各项和为4,则首项a’的取值范围是n1数列｛a｝满足a+(-1)na—2n-1，则｛a｝的前60项和为.nn+1nn三、解答题21.在VABC中,cosA—-—,133cosB——求sinC的值；设BC—5，求VABC的面积.已知数列｛a｝是公差为-2的等差数列，若a+2,aa成等比数列.n134求数列｛a｝的通项公式；n令b二2n-i-a，数列｛b｝的前n项和为s，求满足S>0成立的n的最小值.nnnnn如图，在平面四边形abcd中，AB=4迈，BC=2迈，AC=4.求cosABAC；若ZD=45°，ABAD=90。，求CD.D为VABC的边BC的中点.AB=2AC=2AD=2.求BC的长；若ZACB的平分线交AB于E,求s.VACE已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为sn，且ai=1，=J£+JS”](ngN*，且n>2)求数列｛a｝的通项公式；nTOC\o"1-5"\h\z1113证明：当n>2时，一+++L+<厅a2a3ana223n26.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单将y表示为x的函数；试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】TOC\o"1-5"\h\z(I-a_11设等比数列(ai的公比为q，则q3-4-8，解得q=，na8211:.a=n2n—1111・aa=—X-=nn+12n—12n22n—1TOC\o"1-5"\h\z・•・数列｛aa1｝是首项为1，公比为1的等比数列,nn+124-(1-丄)2124n2/11、2・aa+aa++aa==—(1-)<,1223nn+1134“31——422・•・k工3.故k的取值范围是［3,+8).选D.2．B解析：B【解析】【分析】从冬至日起各节气日影长设为｛a｝，可得｛a｝为等差数列，根据已知结合前n项和公式和nn等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为｛a｝,n9(a+a)S是其前n项和，则S=19=9a=85.5尺，TOC\o"1-5"\h\zn925所以a=9.5尺，由题知a+a+a=3a=31.5，51474所以a=10・5，所以公差d=a—a=—1，454所以a=a+7d=2.5尺。125故选:B.【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.3．D解析：D

解析】分析】把已知S2=SS用数列的首项ai和公差d表示出来后就可解得a1411【详解】1因为S,S,S成等比数列，所以S2=SS，即(2a—1)2二a(4a—6),a二—工.12421411112故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法.本题属于基础题．4．B解析：B【解析】•/a+7=2a，.:a+2d+7=2(a+4d)，即a+6d=7，.:5111S=13a=13(a+6d)=13x7=91，故选B13715．C解析：C【解析】sinsin410试题分析：由余弦定理得b2-2+9-2*'2-3-cos—-5,b=*5.由正弦定理得sinsin410II2丿所以AC=10p7km.考点：解三角形.6．D解析：D【解析】【分析】直接利用余弦定理求出A，C两地的距离即可.【详解】因为A，B两地的距离为10km,B，C两地的距离为20km，现测得ZABC=120°,则A，C两地的距离为：AC2=AB2+CB2-2ABBCcosZABC=102+202-(1)2x10x20x——二700.故选D．【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力

7．A解析：A【解析】【分析】利用分离常数法得出不等式a>--x在xel!,］上成立，根据函数f(x)二--x在xxxe11，］上的单调性，求出a的取值范围详解】关于x的不等式x2+ax-2>0在区间h,5］上有解ax>2一x2在xe］上有解即a>——x在xwh,]上成立,x设函数数f(x)二--x，xe[15]x一1<0恒成立x2.f(x)在xeh，］上是单调减函数且f且f(x)的值域为|--323,15要a>--x在xell，］上有解，则a>-黑x5即a的取值范围是故选A【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．8．A解析：A【解析】【分析】由正弦定理，化简求得sinB-J3cosB二0，解得B=才，再由余弦定理，求得4b2=(a+c)2，即可求解，得到答案.【详解】在AABC中，因为bsinA-\3acosB=0，且b2=ac,

由正弦定理得sinBsinA一、〔3sinAcosB=0,因为Ae(0,兀)，则sinA>0,所以sinB一叮3cosB=0，即tanB=J3，解得B=—,由余弦定理得b2=a2+c2一2accosB=a2+c2一ac=(a+c)2一3ac=(a+c)2一3b2,即4b2=(a+c)2，解得字=2，故选A.b【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9．A解析：A【解析】【分析】若x+2y>m2+2m恒成立，则x+2y的最小值大于m2+2m，利用均值定理及“1”的代换求得x+2y的最小值，进而求解即可.【详解】21由题，因为_+_=1,x>0,y>0,xy所以(x+2y)f2+丄12+丄+空+2>4+2再=4+4=8,当且仅当兰=空，即Ixy丿yx\yxyxx=4,y=2时等号成立,因为x+2y>m2+2m恒成立，贝ym2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得一4<m<2,故选:A【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.10.C试题分析：等差数列｛试题分析：等差数列｛a｝中，a+a+a—12n3a—12..a—4，则n345447(a+a)7x(2a)解析：C【解析】a+a+L+a=17=J=7a=28127224考点：等差数列的前n项和11.D解析：D【解析】*.*(a4—1)3+2016(a4—1)=1,(a2。仔一1)3+2016(a2。仔—1)=—1，•:(a4—1)3+2016(a4_1)+(a2013_1)3+2016(a2013_1)=0，设a4－1=m,a2013－1=n,则m3+2016m+n3+2016n=0,化为(m+n)・(m2+n2—mn+2016)=0,+3n2+2016>0,4(1)2m2+n2+3n2+2016>0,4I2丿.*.m+n=a4—1+a?。仔—1=0,:.a4+a2。仔二2，2016(a+a)2016(a.S=12016=42013201622很明显a4—1>0,a2013—1<0,.°.。4>1>。2013，本题选择D选项.12．A解析：A【解析】【分析】将函数y=f(x)的解析式配凑为f(x)=(x-2)+厶+2，再利用基本不等式求出该函x-2数的最小值，利用等号成立得出相应的x值，可得出a的值.【详解】当x>2时，x—2>0，贝yf(x)(x—2)+-^+2>2(x—2)・-^+2x—2x—2yx—2=4，1当且仅当x一2=(x>2)时，即当x=3时，等号成立，因此，a=3，故选A.x—2【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题23解析：£8

解析】分析】aa+a根据等差数列中等差中项的性质，将所求的b=才7萨，再由等差数列的求和公式，转417S化为t7，从而得到答案.7【详解】因为数列怠}、h匀为等差数列nna2aa+a=——42b7(a+a)17—27(b+b)x7+2=237+1=V【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.14．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题(1}解析：—，k2丿解析】【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果【详解】因为命题p:也因为命题p:也gR,ax2+x00+2<o是假命题,1所以VxgR,ax2+x+>0为真2Ia>0所以11-2a<0【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题

1解析：28解析】为等差数列，求得通项公式，则a10可求为等差数列，求得通项公式，则a10可求11由二一+3(ngN*)得aan+1n【详解】为以首项为1为以首项为1，公差为3的等差数列，则=+3(ngN*)则aan+1n=1+=1+3(n—1)=3n—2/.a=-a1028n1故答案为：冇28【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题16.—2+)【解析】【分析】根据题意分x=0与xHO两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②xHO时原式可变形为a三-(|x|+)由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析：［—2,+g)【解析】【分析】根据题意，分x=0与xMO两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②xMO时，原1式可变形为a三-(|x|+|X)，由基本不等式的性质，易得a的范围，综合两种情况可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为120,恒成立，贝9aWR；②xM0时，原式1可化为a|x|三-(x2+1)，即a三-(|x|+■―),x11又由|x|+~三2,贝卜(|x|+■―)<2;xx要使不等式x2+a|x|+120恒成立，需有a三-2即可；综上可得，a的取值范围是［-2,+^)；故答案为［-2,+Q.【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题.

17．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析：5518解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】Q数列｛Q数列｛a｝通项公式是ann2n-i,1<nW23-n,nn3前n项和为汀，当n>3时，数列｛a｝是等比数列,n27I181-limS-27I181-limS-limn55185518.55故答案为：而.18【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n项和公式的应用，是基础题.18．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛解析：4【解析】【分析】结合已知条件，结合余弦定理求得C二n，然后利用基本不等式求得ab的最大值，进而求得三角形ABC面积的最大值.【详解】2|212|21由于三角形面积S=absinC=①，由余弦定理得cosC=②，由42ab

①②得sinC二cosC，由于Cw(0,兀)，所以C=-.故cosC二a+加-1二'■2，化简2ab2化简得ab<2•所以三角形得\：2ab=a2+b2-1，故、；2ab=a2+b2-化简得ab<2•所以三角形面积S=absinC<1x土1面积S=2224故答案为丫.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.19．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n项和的极限属于基础题解析：(0,4)o(4,8)【解析】【分析】由无穷等比数列｛专的各项和为4得由无穷等比数列｛专的各项和为4得——1—，1-qIq\<1且q丰0,从而可得a』勺范围.详解】由题意可得,由题意可得,=4,\q\<1a1=4(1-q)0<曾8且a丰4故答案为(0,4)o(4,8)【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当,\q\<1且q丰0时前n项和的极限，属于基础题.20•1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：••••…••…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830【解析】【分析】由题意可得a-a=1,a+a=3,a-a=5,a+a=7,a-a=9,2132435465a+a=11，…，a—a=97，变形可得a+a=2,a+a=8,a+a=2,765049314275

a+a=24,a+a=2,a+a=40,a+a=2,a+a=56，…，利用数列的结8697121013151614构特征，求出｛a｝的前60项和.n【详解】解：Qa+（-l）na二2n-1,TOC\o"1-5"\h\zn+1na—a=1,a+a=3,a—a=5,a+a=7,a-a=9,a+a=11，…—a=975049a+a=2,a+a=8,a+a=2,a+a=24,a+a=2,a+a=40,14275869111210a+a=2,a+a=56,…,13111614从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以16为公差的等差数列｛a｝的前60项和为15x2+（15x8+口兰14x16）=1830,n2故答案为：1830．【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n项和，属于中档题.三、解答题16821.(1)；(2)653【解析】【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果.【详解】(1)在VABC中，A+B+C=兀，人5兀人•人12由cosA=—,<A<k，得sinA=一,13213由cosB由cosB=得sinB=5所以sinC=sin所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=1665(2)由正弦定理空b=与sinBsinA解得：AC=解得：AC=BC-sinBsinA1311Q1Q所以VABC的面积：S=--BC-AC-sinC=--5-牙-三=23653点睛】

本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现ab及b2、a2时，往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。22.(1)a=9-2n；(2)5.n【解析】【分析】(1)根据等差数列｛a｝的公差为-2，且ai+2,aa成等比数列列出关于公差d的方程,n134解方程可求得d的值，从而可得数列｛a｝的通项公式；(2)由(1)可知nb二2n-1-9+2n，根据分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.n【详解】(1)Qai+2,役，a4成等比数列,「.(a—4匕=(a+2)(a—6),解得：ai=7，a=9-2n.(2)由题可知S=(20+21+22+L+2n-1)—(7+5+3+L+9—2n)n1—21—2n1—2(8n-n2=2n+n2—8n—1，显然当n<4时，S<0，S=8>0，又因为n>5时，S单调递增，n5n故满足S>0成立的n的最小值为5.n【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式以及等比数列的求和公式，利用“分组求和法”求数列前n项和，属于中档题•利用“分组求和法”求数列前n项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.5迈23.(1)；(2)CD=58【解析】【分析】5J2(1)直接利用余弦定理求cosZBAC；(2)先求出sinZDAC=*，再利用正弦定理求8CD.【详解】(1)在厶ABC中，由余弦定理得：(1)在厶ABC中，由余弦定理得：cosZBAC=AB2+AC2—BC22AB-AC_32+16-8_5/2-2x4x4迈—8°5近(2)因为ZDAC=90°—ZBAC,所以sinZDAC=cosZBAC=5—8所以在△所以在△ACD中由正弦定理得:CD_ACsinZDACsin45°所以CD=5.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24.(1)BC_J6(2)儿10-'1520【解析】【分析】(1)由题意知AB_2,AC_AD_1.设BD_DC_m，在△ADB与VADC中，由余弦定理即可解得m的值.(2)在AACE与VBCE中，由正弦定理，角平分线的性质可得竺_竺_虽.可求BE_^6AE，AE_—1).利用余弦定理可求BEBC65cosABAC的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinABAC的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：(1)由题意知AB_2，AC_AD_1.设BD_DC_m.在VADB与VADC中，由余弦定理得：AB2_AD2+BD2-2AD•BDcosAADB，AC2_AD2+DC2一2AD•DCcosAADC.即：1+m2一2mcosAADB_4，①1+m2+2mcosAADB_1.②由①+②，得：m2_I，所以m_®，即BC_\氓.2(2)在VACE与VBCE中，由正弦定理得：AE_ECBE_ECsinAACEsinAEAC'sinABCEsinACBEBC由于AACEBC由于AACE_ABCE，且屁BACACsinACBA所以AE_AC