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文档简介

（2022•六合区二模）【重温旧知】圆内接四边形的内角具有特殊的性质．如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若AB＝BD，∠ABD＝50°，则∠BCD＝115°．【提出问题】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？如图2，某数学兴趣小组进行深入研究发现：AB•CD+BC•DA＝AC•BD，请按他们的思路继续完成证明．证明：如图3，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．∵∠BAE＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴＝即AB•CD＝AC•BE【应用迁移】如图4，已知等边△ABC外接圆⊙O，点P为上一点，且PB＝，PC＝1，求PA的长．【解决问题】如图5，已知△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现要在△ABC内找一点P，使点P到A、B、C的距离之和最小，请在图中作出点P．（尺规作图，保留作图痕迹）【考点】MR：圆的综合题．【专题】15：综合题；559：圆的有关概念及性质．【分析】【重温旧知】根据等腰三角形的性质，以及圆内接四边形对角互补求出所求即可；【提出问题】所得等式两边加上AD•BC，右边变形后即可得证；【应用迁移】由上题的结论，根据三角形ABC为等边三角形，可得AB＝AC＝BC，代入化简即可求出PA的长；【解决问题】如图，以BC为边长在△ABC的外部，作出△BCD的外接圆，连接AD，交圆于点P，点P即为所求【解答】解：【重温旧知】（1）∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD，∵∠ABD＝50°．∴∠BAD＝（180°﹣∠ABD）＝65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∵∠BAD+∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝115°；故答案为：115；【提出问题】（2）证明：如图3，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠ACB＝∠ADB，∴△ABC∽△AED，∴＝，即AD•BC＝AC•DE，∴AB•CD+AD•BC＝AC•BE+AC•DE，∴AB•CD+BC•DA＝AC•BD；【应用迁移】由上题可知PB•AC+PC•AB＝PA•BC，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴（PB+PC）•BC＝PA•BC，∴PB+PC＝PA，则PA＝+1；【解决问题】如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，作出△BCD的外接圆，连接AD，交圆于点P，点P即为所求．理由：连接PB，PC，则由上述可知PB+PC＝PD，PA+PB+PC＝PA+PD≥AD，当A，P，D三点共线时，有最短值．【点评】此题属于圆的综合题，涉及的

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