时域稳定性分析市公开课一等奖省赛课获奖课件

13-5线性控制系统稳定性分析自动控制系统基本性能（要求）之一：稳定性分析系统动态和稳态指标必须在系统稳定前提下进行。稳定是压倒一切。研究内容：稳定性概念(局限于线性系统）线性系统稳定充要条件代数稳定性判据及其应用时域稳定性分析第1页2

3.5.1稳定性基本概念

稳定是系统正常运行前提，是控制理论研究主要课题。

李亚普诺夫稳定性理论

假如一个线性控制系统在初始扰动作用下，其动态过程随时间推移逐步衰减并恢复到原始平衡状态，则称系统是渐进稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动作用下，系统动态过程随时间推移而发散，称系统是不稳定。时域稳定性分析第2页3

基于稳定性研究问题是扰动作用去除后系统运动情况，它与系统输入信号无关，是系统本身固有特征，因而可用系统脉冲响应函数来描述。

线性系统稳定性取决于系统固有特征（结构、参数），与系统输入信号（外部扰动量）和初始值无关。时域稳定性分析第3页4

3.5.2．稳定充要条件

设初始条件为零时，输入为一个理想单位脉冲函数，即R（S）=1。看成用时间t>0时，=0.

即输出增量收敛于原平衡工作点，则系统是稳定。时域稳定性分析第4页5设闭环系统传递函数：设为系统特征方程根，而且彼此不等。系统输出：对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下输出：上式表明，线性系统稳定充要条件是：闭环系统特征方程全部根均含有负实部；或者说，闭环传递函数极点均分布在平面左半部。时域稳定性分析第5页6不稳定系统：有一个或一个以上正实部根。临界稳定：有一个或一个以上零实部根或一对纯虚根，而其余特种根都有负实部。

工程上，临界稳定为不稳定系统。

暂时稳定现象实际上时观察不到。稳定区不稳定区临界稳定S平面时域稳定性分析第6页7

对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定。

对于二阶系统，只有都大于零，系统才稳定（负实根或实部为负）

对于三阶或以上系统，求根是很烦琐。于是就有了以下描述代数稳定性判据。充要条件说明注意：稳定性是线性定常系统一个属性，只与系统本身结构参数相关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点相关，与零点无关。时域稳定性分析第7页83.5.3.代数稳定性判据1877年，劳斯（Routh）提出了判断n次代数方程全部根都含有负实部普通方法。1895年，瑞士数学家赫尔维茨（Hurwitz）也独立提出了一样结果，只是形式不一样。一个间接判断系统特征根是否含有全部负实部方法系统特征方程：系统稳定需要满足必要条件（不然不稳定）：⑴系统特征方程次数不缺项⑵系统特征方程系数符号一致（全为正或负）时域稳定性分析第8页9（一）、赫尔维茨判据赫尔维茨判据设系统特征方程式为：则系统稳定充要条件是：，且由特征方程系数组成赫尔维茨行列式主子行列式全部为正。赫尔维茨行列式结构：主对角线上各项为特征方程第二项系数至最终一项系数，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次减小，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次增大。当下标大于n或小于0时，行列式中项取0。赫尔维茨行列式：时域稳定性分析第9页10赫尔维茨判据以4阶系统为例使用赫尔维茨判据：赫尔维茨行列式为：稳定充要条件是：时域稳定性分析第10页11赫尔维茨判据另一个形式系统稳定充要条件（Lienard-Chipard定理）：若或，则系统稳定。赫尔维茨判据另一个形式：

式中，为赫尔维茨主子行列式。即：系统特征方程式全部系数都为正，假如奇次赫尔维茨主子行列式为正，那么偶次赫尔维茨主子行列式也为正。反之亦然。采取这种形式判据可降低二分之一计算工作量。时域稳定性分析第11页12[例]：系统特征方程为：试用赫尔维茨定理判稳。[解]：系统特征方程为：列赫尔维茨行列式以下：所以，系统是稳定。注意：因为所以依据Lienard-Chipard定理，只要计算 这么能够减小二分之一计算量。时域稳定性分析第12页13将各项系数，按下面格式排成劳斯表（二）劳斯稳定判据系统闭环特征方程为时域稳定性分析第13页14假如劳斯表中第一列系数均为正值，则其特征方程式根都在S左半平面，系统是稳定。假如劳斯表中第一列系数符号有改变，系统为不稳定，其改变次数等于该特征方程式根在S右半平面上个数。首先检验：系统特征方程次数是否缺项系统特征方程系数符号是否全为正注：计算时，劳斯表第一列一旦出现零或负值，就说明该系统不稳定时域稳定性分析第14页15劳斯判据系统稳定必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号次数为特征根在s右半平面个数!特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？时域稳定性分析第15页16

已知一系统特征方程式为例3.1试用劳斯判据判别系统稳定性。解：列劳斯表该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定；且符号改变了两次(+到－，－到＋)，所以该方程中有二个根在S右半平面。时域稳定性分析第16页17已知某调速系统特征方程式为例3.2求该系统稳定K值范围。解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列系数必须全为正值。所以可得：0<K<11.9时域稳定性分析第17页18（三）劳斯判据特殊情况

（1）劳斯表某一行中第一项等于零，而该行其余各项不等于零或没有其余项。若劳斯表第一列中系数符号有改变，其改变次数就等于该方程在S右半平面上根数目，对应系统为不稳定

假如第一列上面系数与下面系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，对应系统也属不稳定以一个很小正数来代替为零这项处理方法：据此算出其余各项，完成劳斯表排列时域稳定性分析第18页19设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-82412劳斯表介绍劳斯表特点1

右移一位降两阶2

行列式第一列不动3

次对角线减主对角线4

分母总是上一行第一个元素6第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。5

一行可同乘以或同除以某正数77127

-8ε2+8εε时域稳定性分析第19页20劳斯判据系统稳定必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号次数为特征根在s右半平面个数!特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？时域稳定性分析第20页21已知系统特征方程式为试判别对应系统稳定性。例3.3因为表中第一列上面符号与其下面系数符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，对应系统为（临界）不稳定。解：列劳斯表时域稳定性分析第21页22（2）劳斯表中出现全零行

用系数全为零行上一行系数结构一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数系数来代替表中系数为全零行。完成劳斯表排列。处理方法：

这些大小相等、径向位置相反根能够经过求解这个辅助方程式得到，而且其根数目总是偶数。对应方程中含有一些大小相等符号相反实根或共轭虚根。表明特征方程含有绝对值相等而符号相反根。最少要下述几个情况之一出现，如：大小相等，符号相反一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴两对共轭复根。比如:时域稳定性分析第22页23劳斯表出现零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3怎样求对称根?②由零行上一行组成辅助方程:①

有大小相等符号相反特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根:s1,2=±j劳斯表出现零行系统一定不稳定时域稳定性分析第23页24某一个控制系统特征方程为显然这个系统处于临界(不)稳定状态。例3.4试判别对应系统稳定性。解：列劳斯表248160S0381S1662S0003S161224S0161225S1620816S时域稳定性分析第24页25（四）劳斯判据应用（2）实际系统希望S左半平面上根距离虚轴有一定距离。（1）稳定判据能回答特征方程式根在S平面上分布情况，而不能确定根详细数据。处理方法为变量特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线此法能够预计一个稳定系统各根中最靠近右侧根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定“程度”。代入原方程式中，得到以

设右侧。时域稳定性分析第25页26用劳斯判据检验以下特征方程是否有根在S右半平面上，并检验有几个根在垂线右方。例3.5解：列劳斯表第一列全为正，全部根均位于左半平面，系统稳定。时域稳定性分析第26页27式中有负号，显然有根在右方。第一列系数符号改变了一次，表示原方程有一个根在垂直直线右方。令代入特征方程列劳斯表：12114120123----ZZZZ时域稳定性分析第27页28已知一单位反馈控制系统下列图所表示，试回答例3.6时，闭环系统是否稳定？时，闭环系统稳定条件是什？

列劳斯表：第一列均为正值，S全部位于左半平面，所以系统稳定。特征方程为时，闭环系统解：20152075020155010123SSSS-时域稳定性分析第28页29系统开环传递函数为闭环特征方程为列劳斯表：时域稳定性分析第29页30小结：利用劳斯稳定判据可确定控制系统可调参数对系统稳定性影响。欲使系统稳定必须满足特征方程式系数不缺项且为正，劳斯表第一列元素必须全为正值

26.25<pK时域稳定性分析第30页31五.系统参数改变对稳定性影响

利用劳斯和赫尔维茨稳定性判据还能够讨论个别参数对稳定性影响，从而求得这些参数取值范围。若讨论参数为开环放大系数K，则使系统稳定最大K称为临界放大系数。[例3-7]已知系统结构图，试确定系统临界放大系数。[解]：闭环传递函数为：特征方程为：时域稳定性分析第31页32劳斯阵：要使系统稳定，必须①系数皆大于0，②劳斯阵第一列皆大于0所以，临界放大系数

确定系统相对稳定性（稳定裕度）

利用劳斯和赫尔维茨稳定性判据确定是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往