高代课件潍坊学院

把矩阵

A

Cnn

的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式

的乘积，所有这些一次因式的

（相同的必须按出现的次数计算）称为A的初等因子.一、初等因子的定义第八章λ－矩阵§5

初例1、若12级复矩阵A的不变因子是:第八章λ－矩阵§5

初1,1,

,1,

(

1),2

(

1)2

(

1),

(

1)2

(

1)(

2

1)29个则A的初等因子有7个，它们是(

1)2

, (

1)2

, (

1)2

, (

1), (

1),(

i)

,,n)分解成互不相同的一次因式二、初等因子与不变因子的关系将di

(x)(i

1,2,的

的乘积:rd

(

x)

(

)k11

(

)k121

1

2(

)k1r

,rd

(

x)

(

)k21

(

)k222

1

2(

)k2

r

,rd

(

x)

(

)kn1

(

)kn

2n

1

2(

)knr

.分析:①设n级矩阵A的不变因子为已知：d1

(

x),

d2

(

x), ,

dn

(

x)第八章λ－矩阵§5

初第八章

λ－矩阵

§5

初:则其中对应于ki

j

1

的那些ki

j

(

j)(ki

j

1)就是A的全部初等因子.②

注意到不变因子

d1

(

x),

d2

(

x),di

(

x)

|

di1

(

x),

i

1,

2,,dn

(x)满足,

n

1从而有ki

j

ki

1,

j(

j) |

(

j)

,因此有,j

1,

2, ,

r,

rk1

j

k2

j

i

1,

2,

knj,,

n

1,j

1,

2,第八章λ－矩阵§5

初即同一个一次因式的

作成的初等因子中，方次最高的必出现在dn

(

)的分解式中，次高的必出现在dn1

(

)的分解式中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.③设n

级矩阵A

的全部初等因子为已知.在全部初等因子中，将同一个一次因式(

j

),

j

1,

2, ,

r的 的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数的1，使其凑成n个，设所得排列为kn

j

kn1,

j(

j) ,

(

j

)

,k1

j,

(

j

)

,j

1,

2, ,

r.第八章

λ－矩阵

§5

初于是令rd

(

x)

(

)ki

1

(

)ki

2i

1

2(

)kir

,i

1,

2, ,

n则d1

(

x),

d2

(

x),

,

dn

(

x)就是A的不变因子.第八章λ－矩阵§5

初例1、已知3级矩阵A的初等因子为：(

1)

,第八章λ－矩阵§5

初求A的不变因子.解：作排列(

1)2

,

1,

1

2,

1,

1得A的不变因子为：d3

(

x)

(

1) (

2),2d2

(

x)

d1

(

x)

1.结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子.结论2、两个同级数字矩阵相似

它们有相同的初等因子.可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.第八章λ－矩阵§5

初三、初等因子的求法1、(引理1)若多项式

f1

(

),

f2

(

)都与

g1

(

),

g2

(

)互素，则

f1

(

)g1

(

),

f2

(

)g2

(

)

f1

(

),

f2

(

)

g1

(

),

g2

(

)证：令

f1

(

)g1

(

),

f2

(

)g2

(

)

d

(

),

f1

(

),

f2

(

)

d1

(

),

g1

(

),

g2

(

)

d2

(

),显然，d1

(

)

d

(

),d2

(

)

d(

).第八章λ－矩阵§5

初由于故d1

(

),

d2

(

)

1.因而

f1

(

),

g1

(

)

1

,d1

(

)d2

(

)

d

(

)另一方面，由于d

(

)

f1

(

)g1

(

),可令其中d

(

)

f

(

)g(

),f

(

)

|

f1

(

),

g(

)

|

g1

(

)又由第八章λ－矩阵§5

初f

(

)

|

f2

(

)g2

(

),又得

f1

(

),

g2

(

)

1,

f

(

),

g2

(

)

1.f

(

)

|

f2

(

).同理可得第八章λ－矩阵§5

初g(

)

|

d2

(

).即

f

(

)

|

d1

(

).故

f

(

)g(

)

|

d1(

)d2

(

),d

(

)

|

d1

(

)d2

(

)d

(

)

|

d1

(

)d2

(

)1

1第八章λ－矩阵§5

初2

200

f

(

)g

(

)A(

)

f

(

)g

(

)

2

11

200

f

(

)g

(

)B(

)

f

(

)g

(

)

如果多项式f1

(

),

f2

(

)都与g1

(

),g2

(

)互素，2、(引理2)设则A(

)与B(

)等价.证：首先，

A(

)

第八章λ－矩阵§5

初从而A(

),B(

)二阶行列式因子相同.其次，由引理1，有

f1

(

)g1

(

),

f2

(

)g2

(

)

f2

(

)g1

(

),

f1

(

)g2

(

)

f1

(

),

f2

(

)

g1

(

),

g2

(

)从而A(

),B(

)的一阶行列式因子相同.所以，A(

)与B(

)等价.3、(定理9)

设

A

Cnn

,

将特征矩阵

E

A

进行初等变换化成对角形h2

(

)

h1

(

)D(

)

h

(

)

n

然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的

的乘积，则所有这些一次因式的

（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.第八章λ－矩阵§5

初证：设

E

A

经过初等变换化成对角形h2

(

)

h1

(

)D(

)

h

(

)

n

其中hi

(

)皆为首1多项式，i

1,

2, ,

n的乘积:将hi

(

)分解成互不相同的一次因式的h

(

)

(

)ki1

(

)ki

2

(

)kir

,i

1

2

ri

1,

2, ,

n第八章λ－矩阵§5

初下证，对于每个相同的一次因式的k1

j

k2

j(

j

) ,

(

j

)

,kn

j,

(

j

)j

1,

2, ,

r在D(

)的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角矩阵

D(

)与

D(

)等价.

此时

D(

)

就是

E

A

的就是A的全部初等因子.第八章

λ－矩阵

§5

初ki

j

标准形，且所有不为1的(

j

)为了方便起见，先对

1

的于是h

(

)

(

)ki

1

g

(

),i

1

ii

1,

2, ,

n1且每一个(

)ki

1,n)互素.都与

g

j

(

) (

j

1,

2,如果相邻的一对指数ki1

ki1,1

,则在

中将对调位置，D(

)1i

1k(

)1ki

1,1与(

)进行

.(

r

)

in

,k令gi

(

x)

(

2

)

i

2

(

)

i

3k

k3i

1,

2, ,

n而其余因式保持不动，由引理2第八章λ－矩阵§5

初1第八章λ－矩阵§5

初001

ii

1

(

)ki

1

g

(

x)(

)ki

1,1

g(

x)

与1001

ii

1

(

)ki

1,1

g

(

x)(

)ki

1

g(

x)

等价.1

111

ni1

(

)k11

g

(

x)(

)ki1,1

g

(

x)1

i(

)ki

1

g

(

x)(

)kn1

g

(

x)等价.然后对

D1

(

)

重复上述

.D1

(

)

从而D(

)与对角矩阵第八章λ－矩阵§5

初如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含

1的是按逆升幂次排列为止.再依次对

作同样处理.

2

, ,

r最后便得到与

D(

)等价的对角阵D(

).D(

)的主对角线上所含每个相同的一次因式的

都是按升幂排列的，D(

)即为

E

A

的标准形.第八章λ－矩阵§5

初例2、求矩阵A的初等因子第八章λ－矩阵§5

初

1