映射及映射法

最新资料推荐 第二讲映射及映射法第二讲映射及映射法知识、方法、技能1.映射的定义设A,B是两个集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作 （1）映射是特,:BAf殊的对应，映射中的集合A,B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A和集合B,以及集合A到B的对应法则f,三者缺一不可.（4）对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有惟一的，但B中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2.一一映射一般地，设A、B是两个集合，是集合A到集合B的映射，,:BAf如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A到B上的一一映射.3.逆映射如果f是A与B之间的一一对应，那么可得B到A的一个映射g：任给，规定abg）（，其中a是b在f下的原象，称这个映射g是f的逆映射，并将g记为fl.显然有（f如果f是A与B之间的一一对应，则f是f.事实上，f同，所以bl和b2在fl）1=f,即1是B与A之间的——对应，并且fl

的逆映射1是B到A的映射，对于B中的不同元素bl和b2,由于它们在f下的原象不1下的像不同，所以fl是1—1的.任给bafAa）（,设，则abf）（1.这说明A中每个元素a在f1都有原象.因此，f1是映射上的.这样即得f1是B到A上的1—1映射，即f1是B与A之间一一对应.从而f1有逆映射1由于任给bahAa）（,设，其中b是a在f1下的原象，即f1（b）=a，所以，f（a）=b，从而।一 得），（）（，这即fhafbah是f1的逆映射是f.赛题精讲I映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1:设集合110|{xxM},,,,I）d,,MdcbacbaFx集合Z映射f：FZ.使得vuyxvxyuyxvucdabdcbafff,,,,66）,,,（,39）,,,（.已知），，，（求的值.【思路分析】应从cdabdcbaf K手，列方程组来解之.【略解】由f的定义和已知数据，得）.,,,（66,39Myxvuxvuyxyuv将两式相加，相减并分别分解因式，得.27））（（,1。5））（（ xuvyxuvy显然，},110|{,,,,0,0Z xxxvuyxvyxu在的条件下，,110vu,21）（,15）（,105|）v（,2210,221]11105:21可见但即对应可知.5）（,7）（21xuxu V同yyv理， 由.9）（,于是有以下两3）（223,221]1127[,11021 xuxuxux于是有以下两xvyvyuvy又有知对应地，.3）（,9）（21y

xvyvy 最新资料推荐 种可能:(I);3,9,715vyxuxuy(II) 由,3,9,5,21vyxuxuv(I)解出x=1,y=9,u=8,v=6；由(II)解出y=12,它已超出集合M中元素的范围.因此，(I)无解.【评述】在解此类问题时，估计 取值范围的讨论十分重要的可能值是关键，其中丫对它们的例2： •xuv，已知集合}.0|)y,{(}333|)y,{( xyxxyxA和集合求一个A与B的 对应f,并写出其逆映射. 图I—1-2-1【略解】从已知集合A,B看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合(如图I-1-2-1).集合A为直线 和所夹角内点的集合，集合B则是第一、三xyxy333象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A区域拓展成B区域，RA },36,,).20 5,RBf在RA },36,,).20 5,RBf在辐角之间是一次函数0| )sin,cos{(0| )sin,cos{(令).6(3),sin,cos()sin,cos(这个映射下，极径没有改变，23,因而 和之间是一一对应，其中),3,6().2,0(所以，映射f23,因而 和之间是一一对应，其中),3,6().2,0(所以，映射f是A与B的对应.逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.II映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1,2,,100）,对X的任一非空子集M,M中的最大数与最小数的和称为M的特征，记为）.（Mm求X的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}1101:,XAaaAAAfXA 令于是 是AAf:X的非空子集的全体（子集组成的集），Y到X自身的满射，记X的非空子集为A1,A2,,An（其中n=2100—1）,则特征的平均数为,））i（）（（21）（111iininiAmAmnAmn由于A中的最大数与A中的最小数的和为101,A中最小数与A中的最大数的和也为101,故，202）0（iiAmAm从而特征平均数为.1012022cardl素个数分别记为说，如果A,B为.1012022cardl素个数分别记为说，如果f是单射，则有card果f是双射，则有）（人0@那）,（），（8。@1代@^人对于映射（ABAf 来）（）（Bcard）.这在B:计算集合A的元素的个数时，有着重要的应用.即a（；如果f是满射，则有）（）馍久们就找另一个集合B,就有）（）是满射，则有）（）馍久们就找另一个集合B,就有）（）(BcardAcard；如 当）（Acard比较难求时，我Beard建立一一对应 ，把B的个数数清，BAf:这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC的各边n等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这最新资料推荐些平等四边形的个数.【略解】如图I—1—2—2所示，我们由对称性， 先考虑边不行于BC的小平行四边形.把AB边和AC边各延长一等分，分别到B,C,连接BC.将AB的n条平行线分别延长，与BC相交，连同B,C共有n+2个分点，从B至C依次记为1,2,,n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交BC于i,j,k,l,记 A=｛边不平行于BC的小平行四边形｝, ｝.21|）1,,,｛（ nlkjikjiB把小平行四边形的四条边延长且交 边于四点的过程定义为一个映射:CB下面我们证明f是A与B的一一对应，事实上，不BAf同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于 的四点亦CB不全同.所以，四点组），，，（lkji亦不相同，从而f是A到B的1—1的映射.任给一个四点组21）j,,（ nlkjikji过i,j点作AB的平行线，过k,l作AC的平行线，必交出一个边不平行于BC的小平行四边形，所以，映射f是A到B的满射.总之f是A与B的——对应，于是有.）（）（4n2CBcardAcard加上边不平行于AB和AC的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是 例5：・34n2C在一个66的棋盘上，已经摆好了一些12的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图I—1—2—3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到 骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面56个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314）（Xcard，另一方面全部的骨牌数为11，即.11）（Ycard所以必有），（）（YcardXcard事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1,2,3,},论证是否存一个函数 使得2）1NNf:（f'nnfnff ）（））（（对一切n口成立‘）］（）（^nf格，即最新资料推荐除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决； （ii）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖；（iii）骨牌是竖放的. 现在假设仅发生（2）中的（ii）和（iii）时，我们记X为下面56个方格中的空格集合，Y为上面56个方格中的骨牌集合，作映射，由于每个空格（XYX:中的）上方都有骨牌（Y中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有）（）（YcardXcard，对一切Nn成立.【解法1】存在，首先有一条链.123581321 ①链上每一个数n的后继是）（nf，f满足nnfnff）（））（（ ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f链.对于①中的数mn，由①递增易知有 nmnfmf）（）（③我们证明自然数集N可以分析为若干条f链，并且对任意自然数mn，③成立（从而）（）1（旺旺），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单士尊著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1）（）1（kfkf④这链中其余的数由②逐一确定.对于mn，如果m、n同属于新链，③显然成立，设m、n中恰有一个属于新链.若m属于新链，在m=k+1时，，1)(1)()()(nmnknfkfnfnrf 设对于m，③成立，则nmfmnmnfmmfnfmff )()()()())(([由②易知)(2nrfm]. 即对新链上一切m,③成立.若n属于新链，在n=k+1时，,11)()()()(nmkmkfmfnfmf设对于n,③成立，在mn时，m不为原有链的链首。记)・()())(())(()(，)()，(nsnfimnfmsnffnrfnfmxfni时则在而在)(，o)()(,nfrnsnsfnfns 与矛盾，所以)())(()ns,即对新链上一切，③成立・因而添入一条新链后，③仍成立.这样继续添加，直到所有自然数均在链中出现，所得函数即为所求.【解法2】NNf:令]D,15(21,)]1([)(xnnnf 其中表示x的整数部分.显然)(nf严格递增，并且.2)1(f又由于1)1( ， )]1)((：)0)((nfnfnff.)()]}1([1{)()][}({)}1()]1(：)1({)0)10]1([ {)(2nrifriririfxxxxririririfririnf的分数部分为因此，nn)]i([就是满足要求的函数.针对性训练题1/r