高数下(同济六)知识点

-PAGE-8-.z.高等数学下册习题常见类型题型1求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积题型2由条件求平面与直线方程题型3计算一阶偏导数及高阶偏导数题型4求多元复合函数的偏导数题型5求方程所确定的隐函数的偏导数题型6求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面题型7求极值、利用拉格郎日乘数法求最值题型8利用直角坐标计算二重积分题型9利用极坐标计算二重积分题型10计算带绝对值的二重积分题型11利用二重积分证明恒等式题型12利用对称性质计算二重积分题型13只有一种积分次序可计算的积分求解：〔将二次积分交换顺序〕题型14利用投影法计算三重积分题型15利用柱坐标计算三重积分题型16利用球坐标计算三重积分题型17利用切片法计算三重积分题型18利用三重积分计算立体的体积题型19计算对弧长的曲线积分题型20计算对面积的曲面积分题型21计算对坐标的曲线积分题型22利用格林公式计算对坐标的曲线积分题型23曲线积分与路径无关及全微分求积题型24计算对坐标的曲面积分题型25利用高斯公式计算对坐标的曲面积分题型26可别离变量的微分方程、齐次方程题型27一阶线性微分方程题型29可降阶方程题型30二阶常系数非齐次线性方程第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作或模向量的模记作和差单位向量，则方向余弦设与轴的夹角分别为，则方向余弦分别为点乘〔数量积〕，为向量a与b的夹角叉乘〔向量积〕为向量a与b的夹角向量与，都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的投影平面直线法向量点方向向量点方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式一般式点法式点向式三点式参数式截距式两点式面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线：切向量切"线〞方程：法平"面〞方程：切向量切"线〞方程：法平"面〞方程：空间曲面：法向量切平"面〞方程：法"线"方程：或切平"面〞方程：法"线"方程：第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分平面薄片的质量质量=面密度面积利用直角坐标系*—型Y—型P141—例1、例3〔2〕利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含,为实数)P147—例5〔3〕利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，〔关于*轴对称时，有类似结论〕P141—例2应用该性质更方便计算步骤及考前须知画出积分区域选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易别离确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分空间立体物的质量质量=密度面积利用直角坐标投影P159—例1P160—例2利用柱面坐标相当于在投影法的根底上直角坐标转换成极坐标适用范围:eq\o\ac(○,1)积分区域外表用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体eq\o\ac(○,2)被积函数用柱面坐标表示时变量易别离.如P161—例3〔3〕利用球面坐标适用范围:eq\o\ac(○,1)积分域外表用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.eq\o\ac(○,2)被积函数用球面坐标表示时变量易别离.如，P165—10-(1)〔4〕利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法〔转化为定积分〕〔1〕〔2〕〔3〕P189-例1P190－3平面第二类曲线积分变力沿曲线所做的功参数法〔转化为定积分〕P196-例1、例2、例3、例4〔2〕利用格林公式〔转化为二重积分〕条件：①L封闭，分段光滑，有向〔左手法则围成平面区域D〕②P，Q具有一阶连续偏导数结论：应用：P205－例4P214-5(1)(4)〔3〕利用路径无关定理〔特殊路径法〕等价条件：①②③与路径无关，与起点、终点有关④具有原函数〔特殊路径法，偏积分法，凑微分法〕P211-例5、例6、例7〔4〕两类曲线积分的联系空间第二类曲线积分变力沿曲线所做的功〔1〕参数法〔转化为定积分〕〔2〕利用斯托克斯公式〔转化第二类曲面积分〕条件：①L封闭，分段光滑，有向②P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：应用：P240-例1第一类曲面积分曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法：投影到面类似的还有投影到面和面的公式P217-例1、例2第二类曲面积分流体流向曲面一侧的流量〔1〕投影法eq\o\ac(○,1)：，为的法向量与轴的夹角前侧取"+〞，；后侧取"〞，eq\o\ac(○,2)：，为的法向量与轴的夹角右侧取"+〞，；左侧取"〞，eq\o\ac(○,3)：，为的法向量与轴的夹角上侧取"+〞，；下侧取"〞，P226-例2〔2〕高斯公式右手法则取定的侧条件：①封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧②P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：应用：P231-例1、例2〔3〕两类曲面积分之间的联系转换投影法：P228-例3所有类型的积分：eq\o\ac(○,1)定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；eq\o\ac(○,2)性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；eq\o\ac(○,3)对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十章级数无穷级数常数项级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，存在常数项级数的根本性质常数项级数的根本性质eq\o\ac(○,1)假设级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛eq\o\ac(○,2)两个收敛级数的和差仍收敛注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.eq\o\ac(○,3)去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性eq\o\ac(○,4)假设级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛.eq\o\ac(○,5)〔必要条件〕如果级数收敛则莱布尼茨判别法假设且，则收敛则级数收敛.和都是正项级数，且.假设收敛，则也收敛；假设发散，则也发散.比拟判别法比拟判别法的极限形式和都是正项级数，且，则eq\o\ac(○,1)假设,与同敛或同散;eq\o\ac(○,2)假设,收敛,也收敛；eq\o\ac(○,3)如果，发散，也发散。比值判别法根值判别法是正项级数，,,则时收敛；()时发散；时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数,,缺项级数用比值审敛法求收敛半径的性质eq\o\ac(○,1)在收敛域上连续;eq\o\ac(○,2)在收敛域内可导，且可逐项求