文稿课件-04第三章

§4.3平面一、平面的方程1.

平面的点法式方程法线向量(法向量)n:

垂直于平面

n

M0

M设上点M0(x0

,y0

,z0)法向量n

=(A,B,C)则点M(x

,y

,z)在平面上

M

0

M

n

0由点法式方程，令即平面的点法式方程Ax

x0

By

y0

Cz

z0

02、平面的一般方程化为平面的一般方程Ax

By

Cz

D

0其中A,B,C不全为零.即平面方程是一个三元一次方程。D

Ax0

By0

Cz0

反之，任何一个三元一次方程，只要一次项系数不全为零，它的图形就是一个平面.证设三元一次方程Ax

By

Cz

D

0找出一组解x0

,y0

,z0，即Ax0

By0

Cz0

D

0两式相减得Ax

x0

By

y0

Cz

z0

0

(A,

B,C)

(x

x0

,

y

y0

,

z

z0

)

0即点M(x

,y

,z)在过点M0(x0

,y0

,z0)且与向量n

=(A,B,C)垂直的平面上，因此一次方程Ax

By

Cz

D

0表示过M0且垂直于向量n的平面．例1

求过点

(1

,

2,

1)

且与向量

n

=

(1

,

2,

1)垂直的平面．即解

由点法式方程，有1x

1

2y

11z

2

0x

2y

z

5

0例2

求通过x轴与点(4,

-3

,

-1)的平面方程．解所求平面通过x

轴，法向量n=(0

,B,C)平面的方程为所求的平面方程为By

Cz

0因为点(4,-3,-1)在平面上，因此有3B

C

0

或C

3B

(B

0)y

3z

0例3

平面过三点M1(1

,

1

,

1)、M2(-2

,

1

,

2)、M3(-3,3,1)

，求这平面的方程．解一

设平面方程为Ax

By

Cz

D

0

3A

3B

C

D

0

2A

B

2C

D

0那么M1、M2、M3三点的坐标满足方程，有A

B

C

D

0解得B

2A

C

3A

D

6A由于A、B、C不能同时为零，因此A≠0.于是平面方程为Ax

2Ay

3Az

6A

0即x

2y

3z

6

0化简得所求的平面方程为解二设M(x

,y

,z)为空间的任意一点，那么M1M、M1M2

1

共面，即x

1y

11

11z

12

1

1

1x

2

y

3z

6

03、平面的截距式方程设一平面与三坐标轴都相交但不通过原点，三交点分别为P(a

,

0

,

0)、Q(0

,b,

0)、R(0

,

0

,

c)其中a

、b

、c均不为零．设平面的一般方程为ozP(a

,0

,0)xQ(0,

b,0)yR(0

,

0,

c)Ax

By

Cz

D

0将三点坐标代入得方程组解得代入平面的一般方程得平面的截距式方程其中a、b、c

称为平面在三坐标轴上的截距。bB

D

0,aA

D

0,A

B

CcC

D

0,c

Db

Da

Da

b

cx

y

z

1例4

写出平面

3x-4y+z-5

=

0的截距式方程．解所求的平面截距式方程为5

z

1x

y5

53

4二、利用平面方程研究平面1、平面的位置设平面的一般方程为Ax

By

Cz

D

0（1）A≠0，B≠0，C≠0，D≠0平面不过原点，在x轴、y轴、z轴、上的截距分别为-D/A、-D/B、-D/C.（2）

A≠0，B≠0，C≠0，D

=

0平面过原点A=0，平面方程为By+Cz+D

=

0平面平行于x轴ox（3）A、B、C中有一个为零yzoxyzB=0,平面方程为Ax+Cz+D

=

0平面平行于y

轴C=0,平面方程为Ax+By+D

=

0平面平行于z

轴oxyzoxyz（4）A、B、C中有两个为零A=0，B=0

,平面方程为Cz+D

=0平面与z

轴垂直B=0，C=0

,平面方程为Ax+D

=0平面与x

轴垂直oxyzoxyzA=0，C=0

,平面方程为By+D

=

0x

=0，yOz平面；y

=0，xOz平面。o平面与y

轴垂直x(5)

z

=0，xOy平面；yz2、点到平面的距离求点P0(x0

,y0

,z0)到平面

:Ax+By+Cz+D=0的距离.在平面上任取一点P1(x1

,y1

,z1),过P0作平面的法向量n

=(A,B,C)，那么P1dnP01

0nn

1

0n

P

Pd

Pr

j

PP

A2

B2

C

2

A(x0

x1

)

B(

y0

y1

)

C(z0

z1

)A2

B2

C

2因为在P1平面上，有-Ax1-By1-Cz1

=D，所以有点到平面的距离公式.d

Ax0

By0

Cz0

D3、两平面间的位置关系（1）两平面的夹角两平面的法向量之间的夹角(锐角)1

：2

：法向量A1

x

B1

y

C1

z

D1

02

2

2

2Ax

B

y

C

z

D

0n1

A1

,

B1

,C1

n2

A2

,

B2

,C2

n1n2θθ两平面间夹角的公式21A2A2

B

2

C

22

2

B

2

C

21

1A1

A2

B1

B2

C1C2n1

n2n1

n2cos(n1,

n2

)

cos

（2）特殊关系的判别两平面1与2Ⅲ垂直A2

B2

C2

D2Ⅱ

重合

A1

A1

A2

B1B2

C1C2

0A2

B2

C2

D2

B1

C1

D1

B1

C1

D1І

平行（但不重合）

A1例5

求两平面

2x-y+z-6

=

0

与

x+y+2z-5

=

0

122

1

(1)

11

222

(1)2

12

12

12

22间的夹角θ。解cos

3

面为.例6

求与平面

3x-2y+z-2=0平行并通过坐标原点的平面．解与平面3x-2y+z-2=0平行的平面方程可设为3x

2y

z

D

0因平面通过坐标原点，因此有D=0，故所求平3x

2y

z

0即例7

求通过点

M1(1

,1

,

1)

与M2(0

,

1,

-1)

且垂直于平面x+y+z

=0

的平面方程．解一设过点(1,1,1)的平面方程为Ax

1

By

1

Cz

1

0因平面还通过有点(0,1,-1)

，故有A0

1

B11

C11

0A

2C

0联立解得即有因为A、B、C不全为零，故C≠0

。所求的平面方程为所求平面与已知平面x+y+z

=0垂直，所以又有A

B

C

0A

2C,

B

C

2C(x

1)

C(

y

1)

C(z

1)

02x

y

z

0所求平面方程为解二