第6讲 三角恒等变换与解三角形(可编辑)课件

第6讲三角恒等变换与解三角形第6讲三角恒等变换与解三角形1第6讲三角恒等变换与解三角形(可编辑)课件总纲目录考点一

三角恒等变换考点二正弦定理与余弦定理考点三解三角形与三角函数的交汇问题总纲目录考点一

三角恒等变换考点二正弦定理与余弦定3考点一三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;(2)cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;(3)tan(α±β)=

.考点一三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(3)tan2α=

.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式例

(2018四川成都第一次诊断性检测)已知sinα=

,α∈

,则cos

的值为

()A.

B.

C.

D.

例

(2018四川成都第一次诊断性检测)已知sinα答案

A解析∵sinα=

,α∈

,∴cosα=

,sin2α=2sinαcosα=2×

×

=

=

,cos2α=1-2sin2α=1-2×

=1-

=

,∴cos

=

×

-

×

=

.答案

A解析∵sinα= ,α∈ ,∴cosα方法归纳三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;(2)项的拆分与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α

-β)+β等;(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦.方法归纳三角恒等变换的“4大策略”1.若

=-

,则sin

的值为

()A.

B.-

C.

D.-

答案

C

=

=-2sin

=-

,所以sin

=

.1.若 =- ,则sin 的值为 ()答案

C

2.已知tan

=2,tan

=-3,则tan(α-β)=

()A.1

B.-

C.

D.-1答案

D

tan

=tan

=tan

=-3,而α-β=

-

,所以tan(α-β)=tan

=

=

=-1.故选D.2.已知tan =2,tan =-3,则tan(α-β)= 考点二正弦定理与余弦定理1.正弦定理及其变形在△ABC中,

=

=

=2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2RsinA,sinA=

,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.考点二正弦定理与余弦定理1.正弦定理及其变形2.余弦定理及其变形在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.变形:b2+c2-a2=2bccosA,cosA=

,a2+c2-b2=2accosB,cosB=

,a2+b2-c2=2abcosC,cosC=

.3.三角形面积公式S△ABC=

absinC=

bcsinA=

acsinB.2.余弦定理及其变形3.三角形面积公式命题角度一:利用正(余)弦定理进行边角计算例1

(2018课标全国Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=

90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2

,求BC.命题角度一:利用正(余)弦定理进行边角计算例1

(20解析(1)在△ABD中,由正弦定理得

=

.由题设知,

=

,所以sin∠ADB=

.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=

=

.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=

.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2

×

=25.所以BC=5.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得 = .所以BC=5.方法归纳正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采

用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采

用余弦定理.【注意】应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函

数、统一结构”.方法归纳正、余弦定理的适用条件【注意】应用定理要注意“三统例2在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=

,sinA=

sinC,cos2A=-

.(1)求a的值;(2)若角A为锐角,求b的值及△ABC的面积.命题角度二:利用正(余)弦定理进行面积计算例2在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知解析(1)在△ABC中,因为c=

,sinA=

sinC,由

=

,得a=

c=

×

=3

.(2)由cos2A=1-2sin2A=-

得,sin2A=

.由0<A<

得,sinA=

,则cosA=

=

,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得(3

)2=b2+(

)2-2×b×

×

,化简得,b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍).所以S△ABC=

bcsinA=

×5×

×

=

.解析(1)在△ABC中,所以S△ABC= bcsinA=方法归纳三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=

absinC=

acsinB=

bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和

角的转化.方法归纳三角形面积公式的应用原则例3某新建的信号发射塔的高度为AB,且设计要求为29米<AB<

29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部B在同一水

平面内的两个观测点C,D,测得∠BDC=60°,∠BCD=75°,CD=40米,

并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°,且CE=1

米,则发射塔高AB=

()A.(20

+1)米

B.(20

+1)米C.(40

+1)米

D.(40

+1)米命题角度三:正、余弦定理的实际应用例3某新建的信号发射塔的高度为AB,且设计要求为29米<A答案

A解析过点E作EF⊥AB,垂足为F,则EF=BC,BF=CE=1米,∠AEF=

30°,在△BDC中,由正弦定理得BC=

=

=20

(米).在Rt△AEF中,AF=EF·tan∠AEF=20

×

=20

(米),所以AB=AF+BF=(1+20

)米,符合设计要求.故选A.答案

A解析过点E作EF⊥AB,垂足为F,则EF=B方法归纳解三角形实际问题的步骤

方法归纳解三角形实际问题的步骤1.在△ABC中,若A,B,C成等差数列,且AC=

,BC=2,则A=

()A.135°

B.45°

C.30°

D.45°或135°答案

B因为A,B,C成等差数列,所以B=60°.由正弦定理,得

=

,则sinA=

.又AC>BC,所以60°>A,故A=45°.故选B.1.在△ABC中,若A,B,C成等差数列,且AC= ,BC=2.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

若△ABC的面积为

,则C=

()A.

B.

C.

D.

答案

C本题考查解三角形及其综合应用.根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,因为S△ABC=

,所以S△ABC=

,又S△ABC=

absinC,所以tanC=1,因为C∈(0,π),所以C=

.故选C.2.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C3.(2018河南郑州第一次质量检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分

别为a,b,c,且2ccosB=2a+b.(1)求角C;(2)若△ABC的面积S=

c,求ab的最小值.3.(2018河南郑州第一次质量检测)在△ABC中,角A,B解析(1)解法一:由2ccosB=2a+b及余弦定理,得2c·

=2a+b,得a2+c2-b2=2a2+ab,即a2+b2-c2=-ab,∴cosC=

=

=-

,又0<C<π,∴C=

.解法二:∵

=

=

,∴由已知可得2sinCcosB=2sinA+sinB,则有2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,解析(1)解法一:由2ccosB=2a+b及余弦定理,∵B为三角形的内角,∴sinB≠0,∴cosC=-

.∵C为三角形的内角,∴C=

.(2)∵S=

absinC=

c,sinC=

,∴c=

ab.又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab,∴

=a2+b2+ab≥3ab,∴ab≥12,当且仅当a=b时取等号.故ab的最小值为12.∵B为三角形的内角,∴sinB≠0,∴cosC=- .考点三解三角形与三角函数的交汇问题例设函数f(x)=cos2x-

sinxcosx+

.(1)求f(x)在

上的值域;(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=

,a=

,b+c=7,求△ABC的面积.考点三解三角形与三角函数的交汇问题例设函数f(x)=co解析(1)f(x)=cos2x-

sinxcosx+

=cos

+1,因为x∈

,所以2x+

∈

,所以-

≤cos

≤1,所以

≤cos

+1≤2,所以函数f(x)在

上的值域为

.(2)由f(B+C)=cos

+1=

,解析(1)f(x)=cos2x- sinxcosx+ 得cos

=

,又A∈(0,π),得A=

,在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

=(b+c)2-3bc,又a=

,b+c=7,所以5=49-3bc,解得bc=

,所以△ABC的面积S=

bcsin

=

×

×

=

.得cos = ,方法归纳与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.(2)结合三角形内角和定理、面积公式等,灵活运用三角恒等变换

公式.方法归纳与解三角形有关的交汇问题的关注点已知向量a=

,b=(-sinx,

sinx),f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f

=1,a=2

,求△ABC面积的最大值.已知向量a= ,b=(-sinx, sinx),f(x)解析(1)易得a=(-sinx,cosx),则f(x)=a·b=sin2x+

sinxcosx=

-

cos2x+

sin2x=sin

+

,所以f(x)的最小正周期T=

=π,当2x-

=

+2kπ,k∈Z时,即x=

+kπ,k∈Z时,f(x)取最大值

.(2)因为f

=sin

+

=1,所以sin

=

⇒A=

.解析(1)易得a=(-sinx,cosx),因为a2=b2+c2-2bccosA,所以12=b2+c2-bc,所以b2+c2=bc+12≥2bc,所以bc≤12(当且仅当b=c时等号成立),所以S△ABC=

bcsinA=

bc≤3

.所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3

.因为a2=b2+c2-2bccosA,第6讲三角恒等变换与解三角形第6讲三角恒等变换与解三角形34第6讲三角恒等变换与解三角形(可编辑)课件总纲目录考点一

三角恒等变换考点二正弦定理与余弦定理考点三解三角形与三角函数的交汇问题总纲目录考点一

三角恒等变换考点二正弦定理与余弦定36考点一三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;(2)cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;(3)tan(α±β)=

.考点一三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(3)tan2α=

.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式例

(2018四川成都第一次诊断性检测)已知sinα=

,α∈

,则cos

的值为

()A.

B.

C.

D.

例

(2018四川成都第一次诊断性检测)已知sinα答案

A解析∵sinα=

,α∈

,∴cosα=

,sin2α=2sinαcosα=2×

×

=

=

,cos2α=1-2sin2α=1-2×

=1-

=

,∴cos

=

×

-

×

=

.答案

A解析∵sinα= ,α∈ ,∴cosα方法归纳三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;(2)项的拆分与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α

-β)+β等;(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦.方法归纳三角恒等变换的“4大策略”1.若

=-

,则sin

的值为

()A.

B.-

C.

D.-

答案

C

=

=-2sin

=-

,所以sin

=

.1.若 =- ,则sin 的值为 ()答案

C

2.已知tan

=2,tan

=-3,则tan(α-β)=

()A.1

B.-

C.

D.-1答案

D

tan

=tan

=tan

=-3,而α-β=

-

,所以tan(α-β)=tan

=

=

=-1.故选D.2.已知tan =2,tan =-3,则tan(α-β)= 考点二正弦定理与余弦定理1.正弦定理及其变形在△ABC中,

=

=

=2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2RsinA,sinA=

,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.考点二正弦定理与余弦定理1.正弦定理及其变形2.余弦定理及其变形在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.变形:b2+c2-a2=2bccosA,cosA=

,a2+c2-b2=2accosB,cosB=

,a2+b2-c2=2abcosC,cosC=

.3.三角形面积公式S△ABC=

absinC=

bcsinA=

acsinB.2.余弦定理及其变形3.三角形面积公式命题角度一:利用正(余)弦定理进行边角计算例1

(2018课标全国Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=

90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2

,求BC.命题角度一:利用正(余)弦定理进行边角计算例1

(20解析(1)在△ABD中,由正弦定理得

=

.由题设知,

=

,所以sin∠ADB=

.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=

=

.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=

.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2

×

=25.所以BC=5.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得 = .所以BC=5.方法归纳正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采

用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采

用余弦定理.【注意】应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函

数、统一结构”.方法归纳正、余弦定理的适用条件【注意】应用定理要注意“三统例2在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=

,sinA=

sinC,cos2A=-

.(1)求a的值;(2)若角A为锐角,求b的值及△ABC的面积.命题角度二:利用正(余)弦定理进行面积计算例2在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知解析(1)在△ABC中,因为c=

,sinA=

sinC,由

=

,得a=

c=

×

=3

.(2)由cos2A=1-2sin2A=-

得,sin2A=

.由0<A<

得,sinA=

,则cosA=

=

,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得(3

)2=b2+(

)2-2×b×

×

,化简得,b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍).所以S△ABC=

bcsinA=

×5×

×

=

.解析(1)在△ABC中,所以S△ABC= bcsinA=方法归纳三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=

absinC=

acsinB=

bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和

角的转化.方法归纳三角形面积公式的应用原则例3某新建的信号发射塔的高度为AB,且设计要求为29米<AB<

29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部B在同一水

平面内的两个观测点C,D,测得∠BDC=60°,∠BCD=75°,CD=40米,

并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°,且CE=1

米,则发射塔高AB=

()A.(20

+1)米

B.(20

+1)米C.(40

+1)米

D.(40

+1)米命题角度三:正、余弦定理的实际应用例3某新建的信号发射塔的高度为AB,且设计要求为29米<A答案

A解析过点E作EF⊥AB,垂足为F,则EF=BC,BF=CE=1米,∠AEF=

30°,在△BDC中,由正弦定理得BC=

=

=20

(米).在Rt△AEF中,AF=EF·tan∠AEF=20

×

=20

(米),所以AB=AF+BF=(1+20

)米,符合设计要求.故选A.答案

A解析过点E作EF⊥AB,垂足为F,则EF=B方法归纳解三角形实际问题的步骤

方法归纳解三角形实际问题的步骤1.在△ABC中,若A,B,C成等差数列,且AC=

,BC=2,则A=

()A.135°

B.45°

C.30°

D.45°或135°答案

B因为A,B,C成等差数列,所以B=60°.由正弦定理,得

=

,则sinA=

.又AC>BC,所以60°>A,故A=45°.故选B.1.在△ABC中,若A,B,C成等差数列,且AC= ,BC=2.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

若△ABC的面积为

,则C=

()A.

B.

C.

D.

答案

C本题考查解三角形及其综合应用.根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,因为S△ABC=

,所以S△ABC=

,又S△ABC=

absinC,所以tanC=1,因为C∈(0,π),所以C=

.故选C.2.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C3.(2018河南郑州第一次质量检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分

别为a,b,c,且2ccosB=2a+b.(1)求角C;(2)若△ABC的面积S=

c,求ab的最小值.3.(2018河南郑州第一次质量检测)在△ABC中,角A,B解析(1)解法一:由2ccosB=2a+b及余弦定理,得2c·

=2a+b,得a2+c2-b2=2a2+ab,即a2+b2-c2=-ab,∴cosC=

=

=-

,又0<C<π,∴C=

.解法二:∵

=

=

,∴由已知可得2sinCcosB=2sinA+sinB,则有2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,解析(1)解法一:由2ccosB=2a+b及余弦定理,∵B为三角形的内角,∴sinB≠0,∴cosC=-

.∵C为三角形的内角,∴C=

.(2)∵S=

absinC=

c,sinC=

,∴c=

ab.又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab,∴

=a2+b2+ab≥3ab,∴ab≥12,当且仅当a=b时取等号.故ab的最小值为12.∵B为三角形的内角,∴sinB≠0,∴cosC=- .考点三解三角形与三角函数的交汇问题例设函数f(x)=cos2x-

sinxcosx+

.(1)求f(x)在

上的值域;(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c