离散数学 关系4

第8讲等价关系与序关系内容提要等价关系,等价类,商集划分,第二类Stirling数偏序,线序,拟序,良序特殊元素:最?元,极?元,?界,?确界(反)链2022/11/51等价(equivalence)关系定义同余关系等价类商集划分划分的加细Stirling子集数2022/11/52等价(equivalence)关系定义等价关系:设RAA且A,若R是自反的,对称的,传递的,则称R为等价关系例9:判断是否等价关系(A是某班学生):R1={<x,y>|x,yAx与y同年生}R2={<x,y>|x,yAx与y同姓}R3={<x,y>|x,yAx的年龄不比y小}R4={<x,y>|x,yAx与y选修同门课程}R5={<x,y>|x,yAx的体重比y重}2022/11/53例9(续)2022/11/54例10例10:设RAA且A,对R依次求三种闭包共有6种不同顺序,其中哪些顺序一定导致等价关系?rst(R),rts(R),str(R),srt(R),trs(R),tsr(R)=t(s(r(R)))解:st(R)ts(R),sr(R)=rs(R),…tsr(R)=trs(R)=rts(R)str(R)=srt(R)=rst(R)2022/11/55例10(续)2022/11/56等价类(equivalenceclass)等价类:设R是A上等价关系,xA,令[x]R={y|yAxRy},称[x]R为x关于R的等价类,简称x的等价类,简记为[x].等价类性质:[x]R;xRy[x]R=[y]R;xRy[x]R[y]R=;U{[x]R|xA}=A.2022/11/57定理27定理27:设R是A上等价关系,x,yA,(1)[x]R(2)xRy[x]R=[y]R;(3)xRy[x]R[y]R=;(4)U{[x]R|xA}=A.证明:(1)R自反xRxx[x]R[x]R.x2022/11/58定理27(证明(2))(2)xRy[x]R=[y]R;证明:(2)只需证明[x]R[y]R和[x]R[y]R.()z,z[x]RxRy

zRxxRy

zRyz[y]R

.

[x]R[y]R.()同理可证.xyz2022/11/59定理27(证明(3))(3)xRy[x]R[y]R=;证明:(3)(反证)假设z,z[x]R[y]R,则z[x]R[y]RzRxzRyxRzzRy

xRy,这与xRy矛盾![x]R[y]R=.xyz2022/11/510定理27(证明(4))(4)U{[x]R|xA}=A.证明:(4)A=U{{x}|xA}U{[x]R

|xA}U{A

|xA}=A.U{[x]R|xA}=A.#xy2022/11/511同余关系:设n{2,3,4,…},x,yZ,则x与y模n同余(becongruentmodulon)xy(modn)n|(x-y)x-y=kn(kZ)同余关系是等价关系[0]={kn|kZ},

[1]={1+kn|kZ},[2]={2+kn|kZ},…,[n-1]={(n-1)+kn|kZ}.同余(congruence)关系

639875421101102022/11/512例11例11:设A={1,2,3,4,5,8},求R3={<x,y>|x,yAxy(mod3)}的等价类,画出R3的关系图.解:[1]=[4]={1,4},[2]=[5]=[8]={2,5,8},[3]={3}.#1425832022/11/513商集(quotientset)商集:设R是A上等价关系,A/R={[x]R|xA}称为A关于R的商集,简称A的商集.显然UA/R=A.例11(续):A/R3

={{1,4},{2,5,8},{3}}.2022/11/514例12(1)例12(1):设A={a1,a2,…,an},IA,EA,Rij=IA{<ai,aj>,<aj,ai>}都是A上等价关系,求对应的商集,其中ai,ajA,ij.是A上等价关系吗?解:A/IA={{a1},{a2},…,{an}}A/EA={{a1,a2,…,an}}A/Rij=A/IA{{ai,aj}}-{{ai},{aj}}.不是A上等价关系(非自反).#2022/11/515划分(partition)划分:设A,AP(A),若A满足(1)A;(2)x,y(x,yAxyxy=)(3)UA=A则称A为A的一个划分,A中元素称为划分块(block).2022/11/516划分(举例)设A1,A2,…,AnE,则以下都是划分:

Ai={Ai,~Ai},(i=1,2,…,n)

Aij={AiAj,~AiAj,Ai~Aj,

~Ai~Aj}-{}(i,j=1,2,…,nij)……

A12…n={~A1~A2…~An,…,~A1~A2…~An-1An,…A1A2…An}-{}.#2022/11/517划分(举例,续)Ai~Ai2022/11/518等价关系与划分是一一对应的定理28:设A,则(1)R是A上等价关系A/R是A的划分(2)A是A的划分RA是A上等价关系,其中xRAy

z(zAxzyz)RA称为由划分A

所定义的等价关系(同块关系).#2022/11/519例12(2)例12(2):A={a,b,c},求A上全体等价关系.解:A上不同划分共有5种:abcabcabcabcabcR1=EA,R2=IA{<b,c><c,b>},R3=IA{<a,c><c,a>},R4=IA{<a,b><b,a>},R5=IA.#2022/11/520Bell数(Bellnumber)问题:给n个对象分类,共有多少种分法?答案:Bell数Bn=

(EricTempleBell,1883~1960)Stirling子集数(Stirlingsubsetnumber):把n个对象分成k个非空子集的分法个数.

递推公式:2022/11/521Stirling子集数递推公式:剔除一个其余分k类加入一类其余分k-1类自成一类2022/11/522第一、二类Stirling数第一类Stirling数(Stirlingnumberofthefirstkind):s(n,k)

第二类Stirling数(Stirlingnumberofthesecondkind):S(n,k)=2022/11/523Bell数表nBn

nBn1184,14022921,1473510115,97541511678,570552124,213,59762031327,644,437787714190,899,3222022/11/524第二类Stirling数表2022/11/525例13例13:问A={a,b,c,d}上有多少种等价关系?解:#2022/11/526划分的加细(refinement)划分的加细:设A和B都是集合A的划分,若A的每个划分块都包含于B的某个划分块中,则称A为B的加细.

A为B的加细RARB

2022/11/527例14例14:考虑A={a,b,c}上的划分之间的加细.解:abcabcabcabcabc加细加细加细加细加细加细#2022/11/528序关系偏序,线序,拟序,良序哈斯图特殊元素:最?元,极?元,?界,?确界(反)链2022/11/529偏序(partialorder)关系偏序关系:设RAA且A,若R是自反的,反对称的,传递的,则称R为偏序关系通常用≼表示偏序关系,读作“小于等于”<x,y>RxRyx≼y“严格小于”:x≺yx≼y

xy偏序集(poset):<A,≼>,≼是A上偏序关系例子:<A,>,<A,|>,<A,>,<,≼加细>2022/11/530偏序集<A,>,<A,>,<A,|>AR={<x,y>|x,yAxy},

={<x,y>|x,yAxy},AZ+={x|xZx>0}|={<x,y>|x,yAx|y}2022/11/531偏序集<A,>AP(A),={<x,y>|x,yAxy}设A={a,b},A1={,{a},{b}},A2={{a},{a,b}},A3=P(A)={,{a},{b},{a,b}},则1=IA1{<,{a}>,<,{b}>}2=IA2{<{a},{a,b}>}3=IA3{<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a,b}>,<{b},{a,b}>}2022/11/532偏序集<,≼加细>A,是由A的一些划分组成的集合≼加细

={<x,y>|x,yx是y的加细}设A={a,b,c},A1={{a,b,c}},A2={{a},{b,c}},A3={{b},{a,c}},A4={{c},{a,b}},A5={{a},{b},{c}}取1={A1,A2},2={A2,A3},3={A1,A2,A3,A4,A5}≼1=I1{<A2,A1>},≼2=I2,≼3=I3{<A2,A1>,<A3,A1>,<A4,A1>,<A5,A1>,<A5,A2>,<A5,A3>,<A5,A4>}.#2022/11/533哈斯图(Hassediagram)设<A,≼>是偏序集,x,yA可比(comparable):x与y可比x≼yy≼x覆盖(cover):y覆盖x

x≺y

z(zAx≺z≺y)哈斯图:当且仅当y覆盖x时,在x与y之间画无向边,并且x画在y下方2022/11/534例16(1)(2)例16:画出下列偏序关系的哈斯图.(1)<A,|>,A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}(2)<A,>,A={a,b,c},AP(A),A={,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}}解:12436915510{a}{b}{c}{a,b}{a,c}{b,c}2022/11/535例16(3)例16:画出下列偏序关系的哈斯图.(3)<,≼加细>,={A1,A2,A3,A4,A5,A6},A={a,b,c,d}A1={{a},{b},{c},{d}},A2={{a,b},{c,d}},A3={{a,c},{b,d}},A4={{a},{b,c,d}},A5={{a},{b},{c,d}},A6={{a,b,c,d}}解:A1A2A5A3A4A6#2022/11/536偏序关系中的特殊元素最大元,最小元极大元,极小元上界,下界最小上界(上确界),最大下界(下确界)2022/11/537最大元,最小元设<A,≼>为偏序集,BA,yB最大元(maximum/greatestelement):y是B的最大元x(xBx≼y)最小元(minimum/leastelement):y是B的最小元x(xBy≼x)2022/11/538最大元,最小元举例(例16(1))例16(1):<A,|>,A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

B1={1,2,3},B2={3,5,15},B3=A.B1的最大元是{},B1的最小元是{1}B2的最大元是{15},B2的最小元是{}B3的最大元是{},B3的最小元是{1}12436915510124369155102022/11/539极大元,极小元设<A,≼>为偏序集,BA,yB极大元(maximalelement):y是B的极大元x(xBy≼xx=y)极小元(minimalelement):y是B的极小元x(xBx≼yx=y)2022/11/540极大元,极小元举例(例16(1))例16(1):<A,|>,A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

B1={1,2,3},B2={3,5,15},B3=A.B1的极大元是{2,3},B1的极小元是{1}B2的极大元是{15},B2的极小元是{3,5}B3的极大元是{4,6,9,15,10},B3的极小元是{1}12436915510124369155102022/11/541上界,下界设<A,≼>为偏序集,BA,yA上界(upperbound):y是B的上界x(xBx≼y)下界(lowerbound):y是B的下界x(xBy≼x)2022/11/542上界,下界举例(例16(1))例16(1):<A,|>,A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

B1={1,2,3},B2={3,5,15},B3=A.B1的上界是{6},B1的下界是{1}B2的上界是{15},B2的下界是{1}B3的上界是{},B3的下界是{1}12436915510124369155102022/11/543最小上界,最大下界设<A,≼>为偏序集,BA最小上界(leastupperbound):设C={y|y是B的上界},C的最小元称为B的最小上界,或上确界.最大下界(greatestlowerbound):设C={y|y是B的下界},C的最大元称为B的最大下界,或下确界.2022/11/544最小上界,最大下界举例(例16(1))例16(1):<A,|>,A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

B1={1,2,3},B2={3,5,15},B3=A.B1的最小上界是{6},B1的最大下界是{1}B2的最小上界是{15},B2的最大下界是{1}B3的最小上界是{},B3的最大下界是{1}12436915510124369155102022/11/545特殊元素比较2022/11/546链(chain),反链(antichain)设<A,≼>为偏序集,BA,链(chain):B是A中的链xy(

xByBx与y可比)|B|称为链的长度反链(antichain):B是A中的反链xy(

xByBxyx与y不可比)

|B|称为反链的长度2022/11/547链,反链(举例)设偏序集<A,≼>如图所示,A={a,b,…,k}.abcdefghijkB1={a,c,d,e}是长为4的链上界{e,f,g,h},上确界{e}

下界{a},下确界{a}B2={a,e,h}是长为3的链B3={b,g}是长为2的链B4={g,h,k}是长为3的反链上界,下界,上确界,下确界:无B5={a}是长为1的链和反链B6={a,b,g,h}既非链,亦非反链2022/11/548定理31定理31:设<A,≼>为偏序集,A中最长链的长度为n,则(1)A中存在极大元(2)A存在n个划分块的划分,每个划分块都是反链(即A划分成n个互不相交的反链)推论:设<A,≼>为偏序集,若|A|=mn+1,则A中要么存在长度为m+1的反链,要么存在长度为n+1的链.2022/11/549定理31(举例)abcdefghijk最长链长度为6,如B1={a,c,d,e,f,h},B2={a,c,d,e,f,g},A={a,b,…,k}可以划分为A

1={{a,b,i},{c,j},{d},{e},{f},{g,h,k}},A

2={{a,b},{c,i},{d,j},{e,k},{f},{g,h}}|A|=11=25+1,A中既有长度为2+1=3的反链,也有长度为5+1=6的链2022/11/550定理31(证明(1))定理31:设<A,≼>为偏序集,A中最长链的长度为n,则(1)A中存在极大元证明:(1)设B是A中长度为n的最长链,B有极大元(也是最大元)y,则y也是A的极大元,否则A中还有比y“大”的元素z,B就不是最长链.2022/11/551定理31(证明(2))定理31:设<A,≼>为偏序集,A中最长链的长度为n,则(2)A存在n个划分块的划分,每个划分块都是反链(即A划分成n个互不相交的反链)证明:(2)A1={x|x是A中的极大元},A2={x|x是(A-A1)中的极大元},…An={x|x是(A-A1-…-An-1)中的极大元},则A={A1,A2,…,An}是满足要求的划分.2022/11/552定理31(证明(2):举例)abcdefghijk最长链长度为6,A1={g,h,k},A2={f,j},A3={e,i},A4={d},A5={c},A6={a,b},A={{a,b},{c},{d},{e,i},{f,j},{g,h,k}}2022/11/553定理31(证明(2)续)证明(续):[1]

A1={x|x是A中的极大元},极大元互相之间不可比,所以A1是反链,同理A2,…,An都是反链.

[2]

显然A1,A2,…,An互不相交.

[3]最长链上的元素分属A1,A2,…,An,所以A1,A2,…,An都非空.

[4]假设zA-A1-…-An,则最长链上的元素加上z就是长度为n+1的链,矛盾!所以A=A1A2…An.综上所述,A={A1,A2,…,An}确是所求划分.#2022/11/554定理31推论(证明)推论:设<A,≼>为偏序集,若|A|=mn+1,则A中要么存在长度为m+1的反链,要么存在长度为n+1的链.证明:(反证)假设A中既没有长度为m+1的反链,也没有长度为n+1的链,则按照定理31(2)中要求来划分A,A至多划分成n块,每块至多m个元素,于是A中至多有mn个元素,这与|A|=mn+1矛盾!#2022/11/555全序(totalorder)关系全序关系:若偏序集<A,≼>满足xy(xAyAx与y可比)则称≼为全序关系,称<A,≼>为全序集全序关系亦称线序(linearor