第20讲 数学文化与核心素养(可编辑)课件

第20讲数学文化与核心素养第20讲数学文化与核心素养1中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲

之、秦九韶等伟大的数学家及众多数学名著,《九章算术》和

《数书九章》便是其中的代表作.这些中国古代数学名著是中华

优秀传统文化的重要组成部分.中国古代数学遵循“经世济用”

的准则,研究的内容大多与实际生活、生产紧密结合,具有浓厚的

实际背景,体现了明显的综合性和算法化的特征.从中国古代数学

中挖掘素材,考查高中数学有关知识,既符合考生的认知水平,又

可以引导考生关注中华优秀传统文化.中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲

之、命题角度一渗透古代名家(学派)研究数学的考查例1(1)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙

滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点

或小石子能排列的形状对数进行分类.图中实心点的个数5,9,14,2

0,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为a2017,则a20

17-5=

()

A.2023×2017

B.2023×2016C.1008×2023

D.2017×1008命题角度一渗透古代名家(学派)研究数学的考查例1(1)两(2)(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并

发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世

界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的

面积S6,S6=

.(2)(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“答案(1)C(2)

解析(1)观察梯形数的前几项,得5=2+3=a1,9=2+3+4=a2,14=2+3+4+5=a3,……an=2+3+…+(n+2)=

=

(n+1)(n+4),由此可得a2017=

×2018×2021=1009×2021.a2017-5=(1008+1)(2023-2)-5=1008×2023.答案(1)C(2) 解析(1)观察梯形数的前几项,得(2)如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形ABCDEF是正六边

形,所以△OAB是正三角形,所以AB=1,过点O作OG⊥AB于点G,所

以OG=OAsin60°=

,所以正六边形的面积为6S△OAB=6×

×AB·OG=

.

(2)如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形ABCDE方法归纳本例(1)以古希腊毕达哥拉斯学派的研究故事为背景,(2)以我国

古代数学家刘徽创立的“割圆术”为命题背景,分别考查了数列

问题和圆内接正六边形面积问题.其中毕达哥拉斯学派的“形

数”问题,备受命题者的青睐,已成为高考命题的热点.方法归纳例2(1)(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统

宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三

百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,

且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共

有灯

()A.1盏

B.3盏

C.5盏

D.9盏(2)(2018益阳、湘潭调研试卷)《数书九章》中给出了“已知三

角形三边长求三角形面积的方法”,填补了我国传统数学的一个

空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代人具有命题角度二渗透古代数学名著的考查例2(1)(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著很高的数学水平,其方法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半

之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,

开平方得积”.若把这段文字写成公式,即S=

,现有周长为2

+

的△ABC满足sin

A∶sinB∶sinC=(

-1)∶

∶(

+1),用上面给出的公式求得△ABC的面积为

()A.

B.

C.

D.

很高的数学水平,其方法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半

之答案(1)B(2)B解析(1)由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,…,a7构成以2为

公比的等比数列,∴S7=

=381,∴a1=3.故选B.(2)由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=(

-1)∶

∶(

+1),可设三角形的三边分别为a=(

-1)x,b=

x,c=(

+1)x,由题意得(

-1)x+

x+(

+1)x=(2

+

)x=2

+

,则x=1,故由公式可得△ABC的面积S=

=

,故选B.答案(1)B(2)B解析(1)由题意可知,由上到下灯的方法归纳中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲之等伟

大的数学家,以及《九章算术》等经典的数学传世之作,这些中国

古代数学名著是我们的丰富宝库,继新课程改革以来,高考题中出

现了一些以古代名著为命题背景的试题,涉及的有《九章算术》

《数书九章》《算法统宗》等.本例分别以《算法统宗》《数书

九章》为背景,相应考查了数列和三角形面积公式等数学知识.从

某种意义上讲,这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身.方法归纳例3(1)(2017课标全国Ⅰ,3,5分)如图,正方形ABCD内的图形来

自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关

于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自

黑色部分的概率是

()

A.

B.

命题角度三渗透数学美的考查例3(1)(2017课标全国Ⅰ,3,5分)如图,正方形ABC.

D.

(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,其中“勾

股”章讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的三条边分

别称为“勾”“股”“弦”.设F1,F2分别是椭圆

+y2=1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,若线段PF2,PF1分别是Rt

△F1PF2的“勾”“股”,则点P的横坐标为

.C. 

D. 答案(1)B(2)

解析(1)本题考查几何概型和概率的计算方法,考查学生的逻辑

思维能力和运算求解能力.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和

白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为

,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=

=

,故选B.(2)由题意知半焦距c=

,又PF1⊥PF2,故点P在圆x2+y2=3上,设P(x,y),联立得

得P

.故点P的横坐标为

.答案(1)B(2) 解析(1)本题考查几何概型和概率方法归纳数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容.数学美表现为

一种抽象、严谨、含蓄的理性美,从表现形式上分为数学内容的

和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的

简洁美.纵观数学领域的一切公式、公理和定理,无不是对客观世

界存在的秩序、对称、和谐、统一的美的反映.方法归纳1.(2018陕西质量检测(一))欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)

是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到

复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有

非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此公式可知,e2i

表示的复数在复平面中位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限1.(2018陕西质量检测(一))欧拉公式eix=cosx答案

B由eix=cosx+isinx,可知e2i=cos2+isin2,因为2∈

,所以cos2∈(-1,0),sin2∈(0,1),所以e2i表示的复数在复平面中位于

第二象限.答案

B由eix=cosx+isinx,可知e22.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累

棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n层,上底由a×b个物体组

成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d

个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=

[(2a+c)b+(2c+a)d]+

(c-a),其中a是上底长,b是上底宽,c是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如

图所示,则该隙积中所有小球的个数为

()2.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累

A.83

B.84

C.85

D.86答案

C由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=

[(2a+c)b+(2c+a)d]+

(c-a)得s=85,故选C. 答案

C由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=73.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是《算经十书》中

最重要的一种,成于公元一世纪左右,它是一本综合性的历史著

作,是当时世界上最简练有效的应用数学.“更相减损术”便是

《九章算术》中记录的一种求两个数的最大公约数的算法,有如

下程序框图,若输入的a,b的值分别为96,36,则输出的i为

()

A.4

B.5

C.6

D.73.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是《算经十书》中

答案

A执行程序框图,a=96,b=36,i=0;a=96-36=60,i=1;a=60-36

=24,i=2;b=36-24=12,i=3;a=24-12=12,i=4,此时a=b=12,退出循环,

输出的i=4,故选A.答案

A执行程序框图,a=96,b=36,i=0;a4.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾.初日织

五尺,今一月日织九匹三丈.”其大意:现有一位善于织布的女子,

从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现

在一个月(按30天计算)共织390尺布(1匹为40尺,一丈为10尺).记

该女子此月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为

()A.55

B.52

C.39

D.26答案

B由题设知,该女子每天织布的尺数构成一个等差数列

{an},其首项a1=5,S30=390,则S30=30a1+

d=30×5+

d=390,解得d=

,则a14+a15+a16+a17=4a1+58d=4×5+58×

=52.故选B.4.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾.初日5.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建

筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的底面由扇环

形的石板铺成(如图),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有

9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则这9圈

的石板总数是

.

5.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家答案405解析这9圈的石板数由里到外依次组成一个首项为9,公差为9

的等差数列,则这9圈的石板总数是9×9+

×9=405.答案405解析这9圈的石板数由里到外依次组成一个首项为96.鲁班锁是我国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的

榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮

合,十分巧妙,外观看起来是严丝合缝的十字立方体,其上下、左

右、前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三

组,经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边

长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面

积的最小值为

.(容器壁的厚度忽略不计)6.鲁班锁是我国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的

答案41π解析表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、

2、6的长方体的外接球.设其半径为R,则(2R)2=62+22+12,解得R2=

,所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2=41π.答案41π解析表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别第20讲数学文化与核心素养第20讲数学文化与核心素养27中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲

之、秦九韶等伟大的数学家及众多数学名著,《九章算术》和

《数书九章》便是其中的代表作.这些中国古代数学名著是中华

优秀传统文化的重要组成部分.中国古代数学遵循“经世济用”

的准则,研究的内容大多与实际生活、生产紧密结合,具有浓厚的

实际背景,体现了明显的综合性和算法化的特征.从中国古代数学

中挖掘素材,考查高中数学有关知识,既符合考生的认知水平,又

可以引导考生关注中华优秀传统文化.中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲

之、命题角度一渗透古代名家(学派)研究数学的考查例1(1)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙

滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点

或小石子能排列的形状对数进行分类.图中实心点的个数5,9,14,2

0,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为a2017,则a20

17-5=

()

A.2023×2017

B.2023×2016C.1008×2023

D.2017×1008命题角度一渗透古代名家(学派)研究数学的考查例1(1)两(2)(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并

发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世

界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的

面积S6,S6=

.(2)(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“答案(1)C(2)

解析(1)观察梯形数的前几项,得5=2+3=a1,9=2+3+4=a2,14=2+3+4+5=a3,……an=2+3+…+(n+2)=

=

(n+1)(n+4),由此可得a2017=

×2018×2021=1009×2021.a2017-5=(1008+1)(2023-2)-5=1008×2023.答案(1)C(2) 解析(1)观察梯形数的前几项,得(2)如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形ABCDEF是正六边

形,所以△OAB是正三角形,所以AB=1,过点O作OG⊥AB于点G,所

以OG=OAsin60°=

,所以正六边形的面积为6S△OAB=6×

×AB·OG=

.

(2)如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形ABCDE方法归纳本例(1)以古希腊毕达哥拉斯学派的研究故事为背景,(2)以我国

古代数学家刘徽创立的“割圆术”为命题背景,分别考查了数列

问题和圆内接正六边形面积问题.其中毕达哥拉斯学派的“形

数”问题,备受命题者的青睐,已成为高考命题的热点.方法归纳例2(1)(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统

宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三

百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,

且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共

有灯

()A.1盏

B.3盏

C.5盏

D.9盏(2)(2018益阳、湘潭调研试卷)《数书九章》中给出了“已知三

角形三边长求三角形面积的方法”,填补了我国传统数学的一个

空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代人具有命题角度二渗透古代数学名著的考查例2(1)(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著很高的数学水平,其方法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半

之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,

开平方得积”.若把这段文字写成公式,即S=

,现有周长为2

+

的△ABC满足sin

A∶sinB∶sinC=(

-1)∶

∶(

+1),用上面给出的公式求得△ABC的面积为

()A.

B.

C.

D.

很高的数学水平,其方法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半

之答案(1)B(2)B解析(1)由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,…,a7构成以2为

公比的等比数列,∴S7=

=381,∴a1=3.故选B.(2)由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=(

-1)∶

∶(

+1),可设三角形的三边分别为a=(

-1)x,b=

x,c=(

+1)x,由题意得(

-1)x+

x+(

+1)x=(2

+

)x=2

+

,则x=1,故由公式可得△ABC的面积S=

=

,故选B.答案(1)B(2)B解析(1)由题意可知,由上到下灯的方法归纳中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲之等伟

大的数学家,以及《九章算术》等经典的数学传世之作,这些中国

古代数学名著是我们的丰富宝库,继新课程改革以来,高考题中出

现了一些以古代名著为命题背景的试题,涉及的有《九章算术》

《数书九章》《算法统宗》等.本例分别以《算法统宗》《数书

九章》为背景,相应考查了数列和三角形面积公式等数学知识.从

某种意义上讲,这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身.方法归纳例3(1)(2017课标全国Ⅰ,3,5分)如图,正方形ABCD内的图形来

自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关

于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自

黑色部分的概率是

()

A.

B.

命题角度三渗透数学美的考查例3(1)(2017课标全国Ⅰ,3,5分)如图,正方形ABC.

D.

(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,其中“勾

股”章讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的三条边分

别称为“勾”“股”“弦”.设F1,F2分别是椭圆

+y2=1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,若线段PF2,PF1分别是Rt

△F1PF2的“勾”“股”,则点P的横坐标为

.C. 

D. 答案(1)B(2)

解析(1)本题考查几何概型和概率的计算方法,考查学生的逻辑

思维能力和运算求解能力.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和

白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为

,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=

=

,故选B.(2)由题意知半焦距c=

,又PF1⊥PF2,故点P在圆x2+y2=3上,设P(x,y),联立得

得P

.故点P的横坐标为

.答案(1)B(2) 解析(1)本题考查几何概型和概率方法归纳数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容.数学美表现为

一种抽象、严谨、含蓄的理性美,从表现形式上分为数学内容的

和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的

简洁美.纵观数学领域的一切公式、公理和定理,无不是对客观世

界存在的秩序、对称、和谐、统一的美的反映.方法归纳1.(2018陕西质量检测(一))欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)

是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到

复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有

非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此公式可知,e2i

表示的复数在复平面中位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限1.(2018陕西质量检测(一))欧拉公式eix=cosx答案

B由eix=cosx+isinx,可知e2i=cos2+isin2,因为2∈

,所以cos2∈(-1,0),sin2∈(0,1),所以e2i表示的复数在复平面中位于

第二象限.答案

B由eix=cosx+isinx,可知e22.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累

棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n层,上底由a×b个物体组

成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d

个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=

[(2a+c)b+(2c+a)d]+

(c-a),其中a是上底长,b是上底宽,c是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如

图所示,则该隙积中所有小球的个数为

()2.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累

A.83

B.84

C.85

D.86答案

C由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=

[(2a+c)b+(2c+a)d]+

(c-a)得s=85,故选C. 答案

C由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=73.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是《算经十书》中

最重要的一种,成于公元一世纪左右,它是一本综合性的历史著

作,是当时世界上最简练有效的应用数学.“更相减损术”便是

《九章算术》中记录的一种求两个数的最大公约数的算法,有如

下程序框图,若输入的a,b的值分别为96,36,则输出的i为

()

A.4

B.5

C.6

D.73.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是《算经十书》中

答案

A执行程序框图,a=96,b=36,i=0;a=96-36=60,i=1;a=60-36

=24,i=2;b=36-24=12,i=3;a=24-12=12,i=4,此时a=b=12,退出循环,

输出的i=4,故选A.答案

A执行程序框图,a=96,b=36,