2023届 高三高考数学一轮复习 　函数的奇偶性与周期性 课件 101张

第3讲函数的奇偶性与周期性第三章函数与指数函数、对数函数、幂函数1基础知识整合PARTONE－x∈If(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)原点y轴x＋T∈Df(x＋T)＝f(x)最小最小正数1．函数奇偶性的六个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数．(6)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．1．(2021·海淀区校级模拟)下列函数中值域为R且为偶函数的是(

)A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝log2|x|C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝cosx解析f(x)＝x2＋1，值域为[1，＋∞)，不符合题意；f(x)＝log2|x|为偶函数，值域为R，符合题意；f(x)＝x3－x为奇函数，不符合题意；f(x)＝cosx的值域为[－1,1]，不符合题意．故选B.答案解析答案解析答案解析4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x2－x，则当x>0时，f(x)＝(

)A．2x2－x B．2x2＋xC．－2x2－x D．－2x2＋x解析当x>0时，－x<0，f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2x2－x.故选C.答案解析5.设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________.答案[－5，－2)∪(2,5]解析由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2,5]．答案解析6．(2021·山东威海月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2023)＝________.答案－1解析因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.答案解析2核心考向突破PARTTWO考向一函数奇偶性的判断解(3)解法一：(定义法)当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．解解法二：(图象法)作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．(4)因为f(x)的定义域为[－1,4]不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．解解判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)f(x)＋g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．f(x)g(x)f(x)＋g(x)奇函数偶函数不能确定奇函数奇函数奇函数f(x)－g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数不能确定奇函数偶函数不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数答案解析解析2．(2021·菏泽二模)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数为________.①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．答案f(x)＝3|x|(答案不唯一)解析根据题意，若满足①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，常见函数为指数函数y＝ax，结合②的要求，可以考虑在y＝ax中，将x加绝对值即可，故f(x)＝3|x|符合题意．答案解析答案考向二函数奇偶性的应用解析答案解析(3)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________.答案解析答案2答案解析

已知函数奇偶性可以解决的几个问题(1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值．(4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．解析∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则有f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)．故选A.答案解析4．(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(

)A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1解析当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D.答案解析5．已知函数f(x)＝ex－e－x＋x3＋3，若f(a)＝5，则f(－a)＝(

)A．2 B．1C．－2 D．－5解析设g(x)＝f(x)－3＝ex－e－x＋x3，则g(－x)＝e－x－ex－x3＝－(ex－e－x＋x3)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为g(a)＝f(a)－3＝2，所以g(－a)＝f(－a)－3＝－2，则f(－a)＝1.答案解析答案1答案考向三函数的周期性解析答案－2答案解析函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．答案－1答案解析答案解析例4

(1)(2021·济南模拟)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(x＋5)为偶函数，f(1)＝1，则f(2019)＋f(2020)＝(

)A．－2 B．－1C．0 D．1解析因为f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋5)为偶函数，所以f(x)的图象关于原点对称，且关于直线x＝5对称，即f(10－x)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(10＋x)＝－f(x)，所以f(20＋x)＝f(x)，即函数的周期T＝20，因为f(1)＝1，所以f(2019)＋f(2020)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－1＋0＝－1.故选B.答案解析考向四函数图象的对称性(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(

)A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于(2,0)对称C．f(x)的最小正周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD.答案解析

答案解析例5

(1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(

)A．[－1,1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3]多角度探究突破答案考向五函数性质的综合应用解析答案解析解析

(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．答案解析10．(2021·成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若a＝f(log0.20.3)，b＝f(log30.1)，c＝f(20.7)，则a，b，c的大小关系为________.(用符号“<”连接)答案b<c<a解析根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则b＝f(log30.1)＝f(－log310)＝f(log310)，又log310>log39＝2,0＝log0.21<log0.20.3<log0.20.2＝1,1＝20<20.7<21＝2，所以log0.20.3<20.7<log310，因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(log310)<f(20.7)<f(log0.20.3)，所以b<c<a.答案解析答案解析因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(2x＋1)为奇函数，所以f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．故选B.解析(2)(2021·深圳模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式为(

)A．f(x)＝2＋|x＋1| B．f(x)＝3－|x＋1|C．f(x)＝2－x D．f(x)＝x＋4解析①当x∈[－2，－1]时，则x＋4∈[2,3]，因为当x∈[2,3]时，f(x)＝x，所以f(x＋4)＝x＋4.又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x)＝f(x＋4)＝x＋4.所以当x∈[－2，－1]时，f(x)＝x＋4.②当x∈[－1,0]时，则2－x∈[2,3]，因为当x∈[2,3]时，f(x)＝x，所以f(2－x)＝2－x.又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以f(－x)＝f(2－x)＝2－x.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x.所以由①②可得当x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1|.故选B.答案解析利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质．

11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

)A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)答案

解析因为f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期T＝8，又f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)≥0，所以f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)≤0，又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0，从而可得y＝f(x)的大致图象如图所示．因为f(－25)＝f(－1)<0，f(11)＝f(3)>0，f(80)＝f(0)＝0.所以f(－25)<f(80)<f(11)．故选D.解析12．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝2，则f(2025)＝________.答案2解析由函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的偶函数．∴f(2025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2.答案解析答案自主培优（五）与函数有关的新定义问题解析

上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；③如图3，直角顶点A在x轴上，斜边在直线y＝1上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；④如图4，直角顶点A在x轴上，斜边不在直线y＝1上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形，故D正确．故选ACD.解析解析答题启示解决与函数有关的新定义问题的策略(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的．答案解析解析3课时作业PARTTHREE一、单项选择题1．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(

)A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)解析设g(x)＝xf(x)．因为f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，所以g(－x)＝g(x)，所以B正确．答案解析2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)，如果当x∈[0,4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝(

)A．3 B．－3C．2 D．－2解析由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0,4)时，f(x)＝log2(x＋2)，所以f(766)＝f(96×8－2)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log24＝2.答案解析3．(2021·青岛模拟)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(

)A．21 B．－21C．26 D．－26解析设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又因为g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.答案解析4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(

)A．－2 B．－1C．1 D．2答案解析答案解析6．(2021·烟台高三月考)已知f(x)是定义在R上的函数，若y＝f(x＋1)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是(

)A．周期为2的奇函数B．周期为4的奇函数C．周期为2的偶函数D．周期为4的偶函数解析因为y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x＋2)＝f(－x)，又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即周期为4；由f(2＋x)＝－f(2－x)，f(2＋x－4)＝f(2＋x)，得f(x－2)＝－f(2－x)，即有f(x)＝－f(－x)，所以为奇函数．答案解析答案解析8．(2021·青岛二模)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；丙：f(x)在区间[－1,1]上单调递减；丁：函数f(x)的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是(

)A．甲

B．乙

C．丙

D．丁答案解析由函数f(x)的特征可知，函数在区间[－1,1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减与函数f(x)的周期为2互相矛盾．即：丙和丁中有一个为假命题．若甲、乙成立，故f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期为4.即丁为假命题，由于只有一个假命题，故选D.解析答案解析10.(2021·福州模拟)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有(

)A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－7答案解析根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.故选BC.解析答案解析12．(2021·潍坊一模)已知函数f(x)，∀x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，若f(a)＝－f(2020)，a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上为单调函数，则下列结论正确的是(

)A．f(3)＝0B．a＝8C．f(x)是周期为4的周期函数D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案解析∵f(x)＝－f(6－x)，∴y＝f(x)的图象关于点(3,0)对称．∵f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，D错误；又f(x)＝－f(6－x)，∴－f(6－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝－f(x＋4)，∴f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的周期函数，C错误；∵f(a)＝－f(2020)＝－f(252×8＋4)＝－f(4)＝f(0)，a∈[5,9]，∴a＝8，B正确；∵f(3)＝－f(6－3)＝－f(3)，∴f(3)＝0，A正确．故选AB.解析答案1答案解析14．(2021·淮安模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2021)＝________.答案1解析∵f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，∴f(10)＝f(1)＝－f(－1)，∵f(－1)＝2f(10)＋3，∴f(－1)＝－2f(－1)＋3，∴f(－1)＝1，∴f(2021)＝