数概-第一章1.4等可能概型

一、古典概型的定义定义

设E是随机试验

,

若E满足下列条件

:1。试验的样本空间只包含有限个元素;2。试验中每个基本事件发生的可能性相同.则称E为等可能概型.二、古典概型的计算公式定理设试验的样本空间

S包含n个元素,事件A包含k个基本事件,则有(4.1)式称为等可能概型中事件概率的计算公式.A包含的基本事件

S中基本事件的总数nP

(

A)

k

三、典型例题例1

将一枚硬币抛掷三次.设事件A1为“恰有一次出现正面”求P(A1);设事件A2为“至少有一次出现正面”,求P(A2

).而解

(1)

考虑如下的样本空间:S

{HHH

,

HHT

,

HTH

,THH

,

HTT

,THT

,TTH

,TTT

}A1

{HTT

,THT

,TTH

}.A2

{TTT

},而A1{HTT

,THT

,TTH

}.12

28

8P(

A

)

1

P(

A

)

1

1

78P(

A

)

3

.(1)(2)注意当样本空间中的元素较多时,

一般不再将元素一一列出,

只需分别求出

S和A中元素的个数，再A2

{TTT

},用计算公式即可求得相应的概率.抽样.例2

一只口袋装有6只球,

其中4只白球、2只红球.

从袋中取球两次,

每次随机地取一只,

考虑两种取球方式: (a)

第一次取一只球,

观察其颜色后放回袋中,

搅匀后再取一球.这种取球方式叫做放回(b)

第一次取一球不放回袋中,

第二次从剩余的球中再取一球,这种取球方式叫做不放回抽样.试分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率.解

(a)

放回抽样的情况.设A:表示事件“取到的两只球都是白球”,B：“取到的两只球都都是红球”,C：“取到的两只球中至少有一只是白球”.P(

A)

4

4

4

.6

6

9P(B)

2

2

1

.6

6

9P(

A

B)

P(

A)

P(B)

5

.9(b)

不放回抽样.9由读者自己完成.P(C

)

P(B

)

1

P(B)

8

.例3

将n只球随机地放入

N

(

N

n)个盒子里去,试求每个盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限).解

将n只球放入

N个盒子中去,

共有N

N

N

N

n

种不同的放法

,而每个盒子中至多放一只球，共有N

(

N

1)[

N

(n

1)]种不同放法.

因而所求的概率为pN

(

N

1)(

N

n

1)N

nNN

nAn说明：许多问题和本例有相同数学模型.生日问题生日问题假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的,即都等于1/365,那么随机选取n

(

365)个人,他们的生日各不相同的概率为365

364

(365

n

1)365n因而,

n个人中至少有两人生日

相同的概率为p

1

365

364

(365

n

1)365n利用 包进行数值计算计算可得下述结果:64

个人的班级里，生日各不相同的概率为365641p

365

364

(365

64

1)

.至少有2人生日相同的概率为p

1

365

364

(365

64

1)

0.997.36564这个分布称为几何分布例4设有

N件产品

,

其中有D件次品,

今从问其中恰有

k

(k

D

)件次品的概率中任取n件,是多少?解在N件产品中抽取

n件,

所有可能的取法

n

共有

N

种,

恰有k

(k

D

)件次品的取法数为

k

n

k

D

N

D

，故所求概率为

D

N

D

k

n

k

p

N

n

例5

袋中有a只白球,b只红球,k个人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽样;(2)作不放回抽样,求第i(i

1,2,,k

)人取到白球(记为事件B)的概率

(k

a

b).解

(1)

放回抽样的情况,

显然有(2)不放回抽样的情况.各人取一只球,每种取法是一个基本事件.共有(a

b)(a

b

1)(a

b

k

1)ab

Ak

个基本事件,且由于对称性知每个基本事件.aa

bP(B)

发生的可能性相同.

当事件B发生时,

第i人取的应是白球,它可以是

a只白球中的任一只,有a种取法.其余被取的

k

1只球可以是其余

a

b

1只球中中的任意

k

1只,

共有ab1(a

b

1)(a

b

2)[a

b

1

(k

1)

1]

Ak

1种取法,于是B中包含a

Ak

1

个基本事件,

故根据a

b1(4.1)式得到AkP(B)

a

Ak

1ab1

abaa

b例6

在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?解

设A为事件“取到的数能被

6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”,

则所求概率为P(

AB

)P(

A

B)1

P(

A

B)由于62000P(

A)

333故得8333

2000

334,

2000

250,83

2000

84,2000P(B)

250200024P(

AB)

8341

[P(

A)

P(B)

P(

AB)]

3例7

将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,

这15名新生中有3名是优秀生.

问(1)

每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)

3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?

5

5

5

5!5!5!解

15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为

15

10

5

15!

.（1）每一班级各分配到一名优秀生的分法数为3!

12!4!4!4!例7

将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,

这15名新生中有3名是优秀生.

问(1)

每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)

3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?

5

5

5

解

15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为

15

10

5

15!

.5!5!5!(2)

将3名优秀生分配在同一班级的分法数为3

12!2!515!例8

某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,

问是否可以推断接待时间是有规定的?解

假设接待站的接待时间是没有规定,

而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,那么, 12次接待来访者都在周二、周四的概率为212

7120.0000003人们在长期实践中总结得到“概率很小的事在一次试验中实际上几乎是不发生的”,现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了,因此有理由怀疑假设的正确性,从而推断接待站不是每天都接待来访者,即认为其接待时间是有规定的.四、小结定义

设E是随机试验

,

若E满足下列条件

:1。试验的样本空间只包含有限个元素;2。试验中每个基本事件发生的可能性相同.则称E为等可能概型.计算公式A包含的基本事件

S中基本事件的总数nP

(

A)

k

五、几何概型简介定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为P(

A)

SA

.S(其中

S

是样本空间的度量

,

SA

是构成事件

A的子区域的度量.)这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概型.会面问题例1

甲、乙两人相0

到T

这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t<T)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.解

设

x,

y

分别为甲、乙两人到达的时刻,

那么0

x

T

,两人会面的充要条件0

y

T

.x

y

txoy

x

tx

y

ttTT

若以x,y

表示平面上点的坐标,则yT

2正方形面积

T故所求的概率为p

阴影部分面积

T

2

(T

t

)2

1

(1

t

)2

.例2

甲、乙两人约定在下午1

时到2

时之间到某站乘公共汽车

,

又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为

1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定(1)

见车就乘;(2)最多等一辆车.求