北师大版数学必修二课件：第二章 解析几何初步 6

§2

圆与圆的方程§2圆与圆的方程2.1

圆的标准方程2.1圆的标准方程北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步61.确定圆的条件一个圆的圆心位置和半径一旦给定,这个圆就确定了.2.圆的标准方程(1)圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点叫作圆的圆心,定长叫作圆的半径.(2)方程:圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.(3)当圆心是坐标原点时,有a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2.做一做1

圆(x+8)2+(y-8)2=10的圆心和半径分别为(

)答案:D1.确定圆的条件做一做1圆(x+8)2+(y-8)2=103.点与圆的位置关系

设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的位置关系对应如下:【做一做2】

已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4,则P(3,2)(

)A.是圆心 B.在圆C外C.在圆C内 D.在圆C上答案:C3.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,4.中点坐标公式点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为做一做3

已知线段MN的两端点坐标为M(3,6),N(-7,2),则线段MN的中点G的坐标为

.

答案:(-2,4)北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)64.中点坐标公式做一做3已知线段MN的两端点坐标为M(3,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)(x+2)2-(y-3)2=4是表示以(-2,3)为圆心,以2为半径的圆.(

)(2)在平面直角坐标系中,只要确定了圆心和半径,那这个圆的标准方程就确定了.(

)(3)与两坐标轴均相切的圆的标准方程可设为(x-R)2+(y-R)2=R2(其中R为圆的半径).(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)×北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6思考辨析答案:(1)×(2)√(3)×(4)×北师大探究一探究二探究三思想方法探究一直接法求圆的标准方程

【例1】求满足下列条件的圆的标准方程:(1)圆心为(2,-5),且与直线4x-3y-3=0相切;(2)圆心在直线x=2上,且与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2).解:(1)圆的半径即为圆心(2,-5)到直线4x-3y-3=0的距离,由于

于是圆的标准方程为(x-2)2+(y+5)2=16.(2)由于圆与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2),所以圆心在直线y=-3上.又圆心在直线x=2上,所以圆心坐标为(2,-3).所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究一直接法求圆的标准方程

【例探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.直接法求圆的标准方程,就是先根据已知条件求出圆心坐标和半径,再写出标准方程.2.求圆的圆心坐标与半径时,常利用以下圆的性质:(1)圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心;(2)圆心到切线的距离等于半径;(3)圆心与切点的连线长等于半径;(4)圆心与切点的连线与切线垂直.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.直接法求圆的标准方程,探究一探究二探究三思想方法变式训练1

求满足下列条件的圆的标准方程.

(1)经过A(6,5),B(0,1)两点,且圆心在直线3x+10y+9=0上;(2)以点A(-1,2),B(5,-6)连线为直径的圆的方程.解:(1)设圆心为C,由题意易知AB的垂直平分线的方程为3x+2y-15=0,故所求圆的标准方程为(x-7)2+(y+3)2=65.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法变式训练1求满足下列条件的圆的标探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解探究一探究二探究三思想方法探究二待定系数法求圆的标准方程

【例2】

求满足下列条件的圆的标准方程:(1)圆心在x轴上,半径等于5,且经过点A(2,-3);(2)经过点A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线x-2y-3=0上.解:(1)由已知可设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=25,又圆心在x轴上,且经过点A(2,3),于是所求圆的标准方程是(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究二待定系数法求圆的标准方程

探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解探究一探究二探究三思想方法反思感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为:(1)设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根据题意,建立关于a,b,r的方程组;(3)解方程组,求出a,b,r的值;(4)将a,b,r代入所设的圆的方程中,即得所求.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟待定系数法求圆的标准方程的探究一探究二探究三思想方法变式训练2

圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(-2,0),B(-4,0),则圆C的标准方程为

.

解析:求圆的方程,关键是求圆心坐标和半径.方法1:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).∴所求的圆的标准方程为(x+3)2+(y-2)2=5.方法2:由已知条件知圆心为线段AB的中垂线与直线x-2y+7=0的交点.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法变式训练2圆心在直线x-2y+7探究一探究二探究三思想方法由题意易得线段AB的中垂线方程为x=-3,代入x-2y+7=0,得y=2,故圆心的坐标为C(-3,2).再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=∴圆的标准方程为(x+3)2+(y-2)2=5.故填(x+3)2+(y-2)2=5.答案:(x+3)2+(y-2)2=5北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法由题意易得线段AB的中垂线方程为x探究一探究二探究三思想方法探究三判断点与圆的位置关系

【例3】已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.分析:解答本题可以根据点A与圆C的位置关系将点A代入圆的方程的左边进行求解.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究三判断点与圆的位置关系

【例探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎样判断点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系主要有以下两种方法.(1)几何法:根据圆心到该点的距离d与圆的半径r的大小关系;(2)代数法:①(x0-a)2+(y0-b)2>r2,点在圆外;②(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;③(x0-a)2+(y0-b)2<r2,点在圆内.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎样判断点与圆的位置关系北探究一探究二探究三思想方法变式训练3

若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,求实数m的取值范围.

解:由于点P(-2,4)在圆外,所以有(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.又方程表示圆,所以m>0,因此,实数m的取值范围是0<m<5.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法变式训练3若点P(-2,4)在圆探究一探究二探究三思想方法利用数形结合思想求有关圆的最值问题

典例如图所示,圆C:(x-8)2+(y-6)2=1,点A(0,-1),B(0,1).设P是圆上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值和最小值.思路点拨:本题考查点与圆的位置关系及数形结合思想,可先列出函数关系式,然后借助图形特点解决问题.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法利用数形结合思想求有关圆的最值问题探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解探究一探究二探究三思想方法方法点睛如图,点P(x0,y0)是圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,则圆上到点P距离最近的点为点P与圆C的圆心的连线与圆的交点A,圆上离点P最远的点为点P与圆C的圆心的连线的延长线与圆的交点B.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法方法点睛如图,点P(x0,y0)是123451.圆心为(1,1),且过原点的圆的方程是(

)A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:由题意可得圆的半径为r=,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6123451.圆心为(1,1),且过原点的圆的方程是()123452.点P(8,m)与圆x2+y2=24的位置关系是(

)A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.与m取值有关答案:A北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6123452.点P(8,m)与圆x2+y2=24的位置关系是123453.已知圆的方程是(2x+4)2+(2y-1)2=9,则该圆的圆心坐标为

,半径r=

.

北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6123453.已知圆的方程是(2x+4)2+(2y-1)2=123454.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为

.答案:(x-2)2+y2=10北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6123454.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆123455.设A为圆(x-2)2+(y-2)2=1上一动点,则A到直线x-y-5=0的最大距离为

.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6123455.设A为圆(x-2)2+(y-2)2=1上一动点§2

圆与圆的方程§2圆与圆的方程2.1

圆的标准方程2.1圆的标准方程北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步61.确定圆的条件一个圆的圆心位置和半径一旦给定,这个圆就确定了.2.圆的标准方程(1)圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点叫作圆的圆心,定长叫作圆的半径.(2)方程:圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.(3)当圆心是坐标原点时,有a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2.做一做1

圆(x+8)2+(y-8)2=10的圆心和半径分别为(

)答案:D1.确定圆的条件做一做1圆(x+8)2+(y-8)2=103.点与圆的位置关系

设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的位置关系对应如下:【做一做2】

已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4,则P(3,2)(

)A.是圆心 B.在圆C外C.在圆C内 D.在圆C上答案:C3.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,4.中点坐标公式点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为做一做3

已知线段MN的两端点坐标为M(3,6),N(-7,2),则线段MN的中点G的坐标为

.

答案:(-2,4)北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)64.中点坐标公式做一做3已知线段MN的两端点坐标为M(3,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)(x+2)2-(y-3)2=4是表示以(-2,3)为圆心,以2为半径的圆.(

)(2)在平面直角坐标系中,只要确定了圆心和半径,那这个圆的标准方程就确定了.(

)(3)与两坐标轴均相切的圆的标准方程可设为(x-R)2+(y-R)2=R2(其中R为圆的半径).(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)×北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6思考辨析答案:(1)×(2)√(3)×(4)×北师大探究一探究二探究三思想方法探究一直接法求圆的标准方程

【例1】求满足下列条件的圆的标准方程:(1)圆心为(2,-5),且与直线4x-3y-3=0相切;(2)圆心在直线x=2上,且与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2).解:(1)圆的半径即为圆心(2,-5)到直线4x-3y-3=0的距离,由于

于是圆的标准方程为(x-2)2+(y+5)2=16.(2)由于圆与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2),所以圆心在直线y=-3上.又圆心在直线x=2上,所以圆心坐标为(2,-3).所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究一直接法求圆的标准方程

【例探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.直接法求圆的标准方程,就是先根据已知条件求出圆心坐标和半径,再写出标准方程.2.求圆的圆心坐标与半径时,常利用以下圆的性质:(1)圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心;(2)圆心到切线的距离等于半径;(3)圆心与切点的连线长等于半径;(4)圆心与切点的连线与切线垂直.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.直接法求圆的标准方程,探究一探究二探究三思想方法变式训练1

求满足下列条件的圆的标准方程.

(1)经过A(6,5),B(0,1)两点,且圆心在直线3x+10y+9=0上;(2)以点A(-1,2),B(5,-6)连线为直径的圆的方程.解:(1)设圆心为C,由题意易知AB的垂直平分线的方程为3x+2y-15=0,故所求圆的标准方程为(x-7)2+(y+3)2=65.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法变式训练1求满足下列条件的圆的标探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解探究一探究二探究三思想方法探究二待定系数法求圆的标准方程

【例2】

求满足下列条件的圆的标准方程:(1)圆心在x轴上,半径等于5,且经过点A(2,-3);(2)经过点A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线x-2y-3=0上.解:(1)由已知可设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=25,又圆心在x轴上,且经过点A(2,3),于是所求圆的标准方程是(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究二待定系数法求圆的标准方程

探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解探究一探究二探究三思想方法反思感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为:(1)设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根据题意,建立关于a,b,r的方程组;(3)解方程组,求出a,b,r的值;(4)将a,b,r代入所设的圆的方程中,即得所求.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟待定系数法求圆的标准方程的探究一探究二探究三思想方法变式训练2

圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(-2,0),B(-4,0),则圆C的标准方程为

.

解析:求圆的方程,关键是求圆心坐标和半径.方法1:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).∴所求的圆的标准方程为(x+3)2+(y-2)2=5.方法2:由已知条件知圆心为线段AB的中垂线与直线x-2y+7=0的交点.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法变式训练2圆心在直线x-2y+7探究一探究二探究三思想方法由题意易得线段AB的中垂线方程为x=-3,代入x-2y+7=0,得y=2,故圆心的坐标为C(-3,2).再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=∴圆的标准方程为(x+3)2+(y-2)2=5.故填(x+3)2+(y-2)2=5.答案:(x+3)2+(y-2)2=5北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法由题意易得线段AB的中垂线方程为x探究一探究二探究三思想方法探究三判断点与圆的位置关系

【例3】已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.分析:解答本题可以根据点A与圆C的位置关系将点A代入圆的方程的左边进行求解.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究三判断点与圆的位置关系

【例探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎样判断点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系主要有以下两种方法.(1)几何法:根据圆心到该点的距离d与圆的半径r的大小关系;(2)代数法:①(x0-a)2+(y0-b)2>r2,点在圆外;②(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;③(x0-a)2+(y0-b)2<r2,点在圆内.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎样判断点与圆的位置关系北探究一探究二探究三思想方法变式训练3

若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,求实数m的取值范围.

解:由于点P(-2,4)在圆外,所以有(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.又方程表示圆,所以m>0,因此,实数m的取值范围是0<m<5.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法变式训练3若点P(-2,4)在圆探究一探究二探究三思想方法利用数形结合思想求有关圆的最值问题

典例如图所示,圆C:(x-8)2+(y-6)2=1,点A(0,-1),B(0,1).设P是圆上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值和最小值.思路点拨:本题考查点与圆的位置关系及数形结合思想,可先列出函数关系式,然后借助图形特点解决问题.北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法利用数形结合思想求有关圆的最值问题探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6北师大版数学必修二课件：第二章解析几何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北师大版数学必修二课件：第二章解探究一探究二探究三思想方法方法点睛如图,点P(x0,y0)是圆C:(