对数与对数函数

第二章函数、导数及其应用第六节对数与对数函数命题分析预测学科核心素养本节是高考的一个热点，主要考查对数式的大小比较、对数函数的图象和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，也可能在解答题中出现，难度中等.本节通过对数运算、对数函数的图象及性质考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的运用以及考生的数学运算核心素养.知识点一对数与对数运算1．对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中__________叫做对数的底数，_________叫做真数．x＝loga

NaN2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝__________；②logaaN＝__________(a>0，且a≠1)；③零和负数没有对数．NN(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①loga(M·N)＝_________________；logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM

B2．(log29)·(log34)＝________．43知识点二对数函数及其性质1．概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质

(0，＋∞)R(1，0)10y>0y<0y<0y>0增减对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于0，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分a>1和0<a<1两种情况讨论．

A2．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．3．(易错题)函数y＝logax(a＞0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．(3，1)

B4[方法总结]

解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.

A21．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是(

)B解析：当x＞1时，f(x)＝ln(x－1)，又f(x)的图象关于直线x＝1对称．

B

3．已知函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．(2，4)4．设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图．若△ABC为正三角形，则m·2n＝________．12[方法总结]

1.对数函数的图象与底数大小的比较如图所示，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．2．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．3．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合进行求解．

对数函数的性质及应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．常见的命题角度有：(1)比较大小；(2)与对数函数的单调性有关问题；(3)与对数函数有关的不等式问题；(4)实际问题中对数的化简与求值.角度(一)比较大小[例1]

(1)(2019·全国Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(

)A．a<b<c

B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a(2)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(

)A．a＜c＜b B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜bBA[方法总结]

比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较A．y＜x＜1 B．x＜y＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x(2)函数f(x)＝loga(ax－3)在区间[1，3]上单调递增，则a的取值范围是(

)A．(1，＋∞) B．(0，1)C. D．(3，＋∞)DD[方法总结]

对数型复合函数的单调性问题的求解策略(1)对于y＝logaf(x)型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf(x)的单调性与函数u＝f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同，在0<a<1时相反．(2)研究y＝f(logax)型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f(t)的单调性即可．角度(三)解简单的对数不等式[例3]已知不等式logx(2x2＋1)＜logx(3x)＜0成立，则实数x的取值范围是________．

[方法总结]对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性，在对数的底数不确定的情况下，要注意分类讨论．

A

[方法总结]在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．[对点训练]1．已知实数a＝2ln2，b＝2＋2ln2，c＝(ln2)2，则a，b，c的大小关系是(

)A．c＜b＜a

B．c＜a＜bC．b＜a＜c D．a＜c＜bB2．若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，4)B．(－4，4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4，4)D3．里氏震级M的计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．解析：根据题意，由lg1000－lg0.001＝6得此次地震的震级