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文档简介
第三章随机信号概论第三章随机信号概论噪声电压的起伏波形086420-2-4-6-8x
10-30.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5tX(t)定义1定义2常用于对随机过程的实际观测用实验方法观测到各个样本样本数目越多，越能掌握随机过程的统计规律性常用于理论分析可以看成随
量的推广（n维）随
量的维数越大，越能掌握随机过程的统计规律性4一个确定值（t和ζ都固定）21一个时间函数族（t和ζ都是变量）3一个确知的时间函数(t是变量，而ζ固定）一个随
量（t固定，而ζ是变量）随机过程
X(t)在四种不同情况下的含义3.1.2随机过程的分类一、按X(t)的时间和状态是离散还是连续进行分类1、连续型随机过程－－任意的
t1
T
,
X
(t1)都是连续型随
量；2、离散型随机过程－－任意的
t1
T
,
X
(t1)都是离散型随
量；3、连续随机序列－－任意离散时刻的状态是连续型随
量；4、离散随机序列－－随机过程的时间和状态都是连续的。二、按随机过程的样本函数的形式不同进行分类1、不确定性随机过程－－样本函数的未来值不能由过去的观测值准确；。2、确定性随机过程－－样本函数的未来值可以由过去的观测值三、按随机过程X(t)的的分布函数或概率密度的不同特性分类
1、正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程2、平稳性过程、遍历性3、宽带过程、窄带过程、白噪声、有色噪声3.1.3随机过程的概率分布X
(t)tt1,t2
,,tn
时刻采样，得到一族随量X
(t1
),X
(t2
),,X
(tn
)分布为称作随机过程X(t)的一维分布函数。求偏导数数可得f
X
(x1;t1
)
量的一称作随机过程X(t)的一维概率密度。随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有一维随维分布函数和一维概率密度的各种性质；随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是时间t的函数；随机过程的一维分布函数和一维概率密度描述该随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性。二、二维概率密度随机过程X(t)的二维分布函数为将对随
量的研究推广到随机过程中去。一、一维概率分布随机过程在任一特定时刻t1T
取样得到随量X
(t1)，其概率FX
(x1;t1
)
P{X
(t1
)
x1}F
(x
;t
)X
1
1x1随机过程X(t)的二维概率密度为2
F
(x
,
x
;t
,
t
)X
1
2
1
2f
(x
,
x
;t
,
t
)
X
1
2
1
2
x
x1
2X
1
2
n
1
2
n三、n维概率分布随机过程X(t)的n维分布函数为FX
(x1,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)
P{X
(t1
)
x1,
X
(t2
)
x2
,,
X
(tn
)
xn
}随机过程X(t)的n维概率密度为f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)n
F
(x
,
x
,,
x
;t
,
t
,,
t
)1
2x
x
xnFX
(x1,
x2
;t1,
t2
)
P{X
(t1
)
x1,
X
(t2
)
x2}f
X
(x1
,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn
)dx1dx2
dxn
1f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn
)dxm1dxm2
dxn5、
4、n重1、FX
(x1,x2
,,,,xn
;t1,t2
,,ti
,,tn
)
02、FX
(,,,;t1,t2
,,tn
)
13、f
X
(x1,x2
,,xn
;t1,t2
,,tn
)
0(nm)重
f
X
(x1
,
x2
,,
xm
;t1,
t2
,,
tm
)6、如果
X
(t1
),
X
(t2
),,
X
(tn
)
统计独立，则有f
X
(x1,
x2
,,
xm
;t1,
t2
,,
tm
)
f
X
(x1;t1
)
f
X
(x2
;t2
)
f
X
(xn
;tn
)3.1.4随机过程的数字特征在实际应用中，要确定随机过程的概率分布族，并加以分析，常比较
；随
量的数字概念推广到随机过程中去；随机过程数字特征通常不再是确定数值，而是确定的时间函数。一、数学期望随机过程X(t)在任意一个时刻t的取值是一个随
量X(t)，将其任意取值x(t)简计为x，由随
量的数学期望定义可得Xm
(t)
E[
X
(t)]
Xxf
(x;t)dx为时间的确定函数，称为随机过程的数学期望。二、均方值和方差随
量X(t)的二阶原点矩X为随机过程X(t)的均方值。X2(t)
E[
X
2
(t)]
x2
f
(x;t)dx0.6
0.7数学期望0.80.91-0.0150-0.01-0.00500.0050.010.0150.1
0.2
0.3
0.4
0.5随机过程X(t)的tX(t)22XX
(t)
D[
X
(t)]
E[
X(t)]
E[(
X
(t)
m
(t))]2X
X
(t)
mX
(t)二、自相关函数随机过程的自相关函数定义为
X
1
2
1
2R
(t
,
t
)
E[
X
(t
)
X
(t
)]
x
x
f
(x
,
x
;t
,
t
)dx
dx1
2
X
1
2
1
2
1
2相关函数反映了X(t)在任意两个时刻的状态之间的线性相关程度。当t1
t2
t
时R
(t
,
t
)
R
(t,
t)
E[
X
(t)
X
(t)]
E[
X
2
(t)]X
1
2
XRX
(t1,
t2
)
0|
t1,t2
|
0.020.0150.010.0050-0.005-0.01-0.0150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91t具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程X(t)-0.0150-0.01-0.00500.0050.010.015Y(t)0.1
0.2
0.3
0.40.5
0.6
0.7
0.8
0.9t1具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程随机过程的协方差函数为
KX
(t1,
t2
)
E[
X
(t1)
X
(t2
)]
E[(X
(t1)
mX
(t1
))(
X
(t2
)
mX
(t2
))]
(x1
mX
(t1
))(x2
mX
(t2
))
fX
(x1,
x2
;t1,
t2
)dx1dx2协方差函数描述了在任意两个时刻的起伏值之间的相关程度。协方差函数与相关函数之间的关系：KX
(t1,
t2
)
E[(
X
(t1
)
mX
(t1))(
X
(t2
)
mX
(t2
))]
E[
X
(t1
)
X
(t2
)]
mX
(t1)E[
X
(t2
)]
mX
(t2
)E[
X
(t1
)]
mX
(t1
)mX
(t2
)
RX
(t1,
t2
)
mX
(t1
)mX
(t2
)当
t1
t2
t时，有数学期望和相关函数是随机过程两个最基本的数字特征，其它数字特征都可以通过二者间接求得。KX
(t1
,
t2
)
KX
(t,
t)推导可得2
2X
X
E[(
X
(t)
m
(t)) ]
D[
X
(t)]
(t)22
2X
X
(t)
E[
X
(t)]
m
(t)【例题】分析正弦型随机相位信号X
(t)
A
cos(0t
)其中a和0为常数，为(-
,
)上均匀分布的随量，求随机信号的均值、方差和自相关函数。解：m
(t)
E[
X
(t)]
E[
A
cos(
t
)]X
00
1cos(d2
A
t
)
0RX
(t1,
t2
)
E[
X
(t1)
X
(t2
)]
E[
A
cos(0t1
)
A
cos(0t2
)]212A
cos
(t0
12
t
)2
22
(t)
1
A220
1
2
0
1
2A
E{cos
(t
t
)
cos[
(t
t
)
2]}
20
1
20
1
212122A
cos2
(t
t
)
1
A2cos[
(t
t
)
2]
1
d变换。利用特征函数可以简3.1.5随机过程的特征函数概率密度和特征函数是一对化运算。一、一维特征函数称为随机过程X(t)的一维特征函数。一维特征函数的
反变换为1
1ju
X
(t
)X
1
11CX
(u1
;t1
)
E[e
]
e
ju1x1
f(x
;t
)dxfX
(x1;t1
)
1
112e
CX(u1;t1
)du1
ju
x随机过程X(t)的n阶原点矩函数为nXu
0nC
(u;t)unxn
f
(x;t)dx
(
j)
n
X
E[
X
(t)]
二、二维随机过程CX
(u1,u2
;t1,
t2
)
E[exp(
ju1
X
(t1)
ju2
X
(t2
))]
exp(
ju1x1
ju2
x2
)
fX
(x1
,
x2
;t1,
t2
)dx1dx2u1
u2
0
2CX
(u1
,
u2
;t1
,
t2
)u1u2随机过程X(t)的相关函数可表示为X
1
2R
(t
,
t
)
x1x2
f
X
(x1,
x2
;t1,
t2
)dx1dx2称为随机过程X(t)的二维特征函数。其反变换为1X
1
2
1
2f
(
x
,
x
;t
,
t
)
exp(
ju1x1
ju2
x2
)CX
(u1,
u2
;t1,
t2
)du1du22
2
随机过程的微分与积分随机连续性如果随机过程X（t）满足E[(X(t+△t)-X(t))²]→0（△t→0）的，即则称过程X(t)于t时刻在均方意义下连续，简称过程X(t)在t时刻均方连续（或称m.s连续）。E[(
X
(t
t)
X
(t))2
]
R
(t
t,
t
t)
R
(t,
t
t)
R
(t
t,
t)
R
(t,
t)X从随机过程X(t)的均方连续性不难推出，它的数学期望必然是连续E[
X
(t
t)]
t0E[
X
(t)]即求极限和数学期望可以交换顺序。lim
E[
X
(t
t)]
E[lim
X
(t
t)]t
0
t
03.2.2随机过程相等[1]随机过程X(t)、Y(t)的所有样本函数皆相同，则称两个随机过程（处处）相等。E[|
X
(t)
Y
(t)
|2
]
0如果则称随机过程X(t)、Y(t)在均方意义下相等。3.2.3
随机过程的微分及其数学期望与相关函数随机过程X(t)的导数，定义为下列极限如果此极限对随机过程X(t)的所有样本函数皆存在，则其具有通常导数的意义。若上式在均方意义下存在，则称过程X(t)具有均方意义下的导数。如果能够找到一个过程满足则称过程X(t)在t时刻有均方(m•s)导数。t0dX
(t)X
(t)
limdtX
(t
t)
X
(t)tt0
X
(t
t)
X
(t)2
lim
E
X
(t)
0t
设Y(t)为可微过程X(t)的导数，其数学期望为t
0Y
(t)
lim
X
(t
t)
X
(t)tYt
0t
0tt0
lim
E
X
(t
t)
X
(t)
lim
mX
(t
t)
mX
(t)t
t
dmX
(t)dtY(t)的相关函数m
(t)
E[Y（t)]
E
lim
X
(t
t)
X
(t)
Y
1
2
1
21
2X
1
22
R
(t
,
t
)R
(t
,
t
)
R
(t
,
t
)
Xt
t3.2.4
随机过程的积分及其数学期望与相关函数若对过程X(t)的每个样本函数X(t,ζ)，在
意义下此积分存在，则相应于每个试验结果ζ，积分都可得到一个数Y(ζ)；但是对不同的ζ，积分值Y(ζ)也是不同的，故对所有试验结果，Y是一个随
量。也就是
程X(t)在确定区间[a,b]上的积分Y是一个随
量。而对过程的每一个样本来说，此积分是通常意义下的积分。若则称随
量为过程X(t)在确定区间[a,b]上的均方积分。对于给定的实随机过程X(t)，构成积分X
(t)dtbaY
ni12
ti0
lim
Y
iX
(ti
)t
0
nbiiia
t
0i1Y
X
(t)dt
limX
(t
)t相关函数200t
1
E[
X
(
)]d0t2
E[
X
(
')]d
'
0
0Y
1
2t1
tXR
(,
')dd
'R
(t
,
t
)
E
t1
X
()d
t2
X
(
')d
'
0
nnbXaab
m
(t)dtE X
(t)
dtti
0
i1ti
0
i1E[Y
]
E
limiX
(t
)it
limi
E X
(t
)
ti数学期望平稳性随机过程和遍历性过程平稳随机过程一、严平稳随机过程及其数字特征1、严平稳随机过程的定义设有随机过程X(t)，若它的n维概率密度不随时间起点的选择的不同而改变，即对于任何的n和ε，过程X(t)的n维概率密度满足f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn)
f
X
(x1
,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)则称X(t)为严平稳随机过程或狭义平稳过程。严平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。2、严平稳随机过程的一、二维概率密度及数字特征（1）若X(t)是严平稳随机过程，则它的一维概率密度与时间无关令
t1
可得f
X
(x1;t1
)
f
X
(x1;t1
)
f
X
(x1;
0)
fX
(x1
)XE[
X
(t)]x1
f
X
(x1
)dx1
mE[
X
2
(t)]
x2
f
(x
)dx
21
X
1
1
X21
X
X
1
12XD[
X
(t)]
(x
m
)
f
(x
)dx
进一步可求得均值
均方值
方差（2）严平稳随机过程二维概率密度只与t1、t2的时间间隔有关，而与时间起点无关。协方差函数为当t1＝t2，即τ＝0时令
t1
,
t2
t1
可得f
X
(x1,
x2
;t1,
t2
)
f
X
(x1
,
x2
;t1
,
t2
)
f
X
(x1
,
x2
;
0,
t2
t1)
f
X
(x1
,
x2
;
)这时过程X(t)的自相关函数为
X
1
2R
(t
,
t
)
x1x2
fX
(x1
,
x2
;
)dx1dx2
RX
(
)X
1
2XK
(t
,
t
)
K
(
)X2X
R
(
)
mXK
(0)2X
R
(0)
m2X
XRX
(t1,
t2
)
E[
X
(t1),
X
(t2
)]
RX
(
)E[
X
2
(t)]
二、宽平稳随机过程满足E[
X
(t)]
mX则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。只涉及与一、二维概率密度有关的数字特征；严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平稳的，反之不一定成立；正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。量。试问：【例题】设随机过程X
(t)
a
cos(0t
)式中，a、ω0皆为常数，Φ是在(0,2π)上均匀分布的随X(t)是否是平稳的随机过程？为什么？解：随量Φ的概率密度为
10
2elsef
()
2000
1
2Xa
cos(2
t
)d
0
mXm
(t)
E[
X
(t)]
x(t)
f
()dX(t)的均值X(t)的自相关函数2
aRX
(t1,
t2
)
RX
(t,
t
)
E[
X
(t)
X
(t
)]
E[a
cos(0t
)
a
cos(0
(t
)
)]E[cos
cos(2
t
2)]0
0
0200a222
acos
2
12cos(20t
0
2)d
20cos
X
R
(
)【例题】Y
(t)
X
(t)
cos(0t
)其中X(t)平稳过程，ω0
是确定量，相位Φ是在(0,2π)上均匀分布的随量。Φ与X(t)统计独立。试
Y(t)的平稳性。解：Y(t)的均值为E[Y
(t)]
E[
X
(t)
cos(0t
)]
E[
X
(t)]E[cos(0t
)]
0Y(t)的相关函数E[Y
(t)Y
(t
)]
E[
X
(t)
X
(t
)
cos(0t
)
cos(0t
0
)]0
0
0
E[
X
(t)
X
(t
)]
1
E[cos
cos(2
t
2)]2
RX
(
)
cos0
RY
(
)RY
(0)
RX
(0)
因此Y(t)具有平稳性。02
2XE[
X
2
(t)]
R
(0)
a2a2cos
0
故X(t)为宽平稳随机过程。3.3.2遍历性过程一般随机过程要对大量样本函数在特定时刻取值，用统计方法到数字特征。这种方法成为统计平均或集合平均，也简称为集平均。证明：在具备一定的补充条件下，对平稳随机过程的一个样本函数取时间均值，就从概率意义上趋近于此过程的统计均值。任何一个样本函数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。具有遍历性的随机过程X(t)0x
10-386420-2-4-6-80.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5tX(t)一、遍历性过程的定义1、严遍历性过程的定义如果一个随机过程X(t),它的各种时间平均依概率1收敛于相应的集合平均，则称过程X(t)具有严格遍历性或侠义遍历性，并称此过程为严格遍历性过程或侠义遍历性过程，简称严遍历过程。2、随机过程的时间平均对随机过程X(t)沿整个时间轴的下列两种时间平均A
X
(t)
X
(t)
1TX
(t)dtT
2T
T
limXT2TT
(t,
t
)
X
(t)
X
(t
)
lim
1
X
(t)
X
(t
)dt分别称为过程X(t)的时间均值和时间相关函数。3、遍历性过程的定义设X(t)是一个平稳随机过程如果A
X
(t)
X
(t)
E[
X
(t)]
mX依概率1成立，则称过程X(t)的均值具有遍历性。如果X
(t,
t
)
X
(t)
X
(t
)
E[
X
(t)
X
(t
)]
RX
(
)依概率1成立，称过程X(t)的自相关函数具有遍历性。若在τ＝0时，上式成立，则称过程X(t)的均方值具有遍历性。如果过程X(t)的均值和自相关函数都具有遍历性。则称X(t)是宽遍历性过程或广义遍历性过程，简称遍历性过程。二、遍历性的实际意义任一样本函数的时间平均可以代替整个过程的统计平均；遍历过程的一、二阶距函数具有明确的物理意义；X
(t)
1Tx(t)dtTT
2TXm
lim2
(t)dt2XX2TTT
lim
1
T[x(t)
m
]2
dtX
X
2电压信号直流分量总平均功率交流平均功率电压有效值二、随机过程具有遍历性的条件1、随机过程必须是平稳的。时间均值必定是一个与时间无关的常数。时间相关函数必定只是时间差τ的函数。所以是平稳随机过程。平稳过程不一定具有遍历性，如图X(t)具有平稳性，但不具有遍历性。
1TX
(t)dtT
2T
TA
X
(t)
X
(t)
limTX2TT
(t,
t
)
X
(t)
X
(t
)
lim
1
X
(t)
X
(t
)dt不具备遍历性的平稳过程100.020.0150.010.0050-0.005-0.01-0.0150.1
0.20.3
0.40.5
0.6
0.7t0.8
0.9X(t)2、平稳随机过程X(t)的均值具有遍历性的充要条件为20lim
12TX
XT
2TT
(1
)[R
(
)
m
]d证明：X
(t)是随样本函数不同而变化的随
0量，其数学期望为
1TX
(t)dtT
E X
(t)
E
lim
T
2T
1TE
X
(t)dtTT
2T
limD X
(t)
X2X
E[(X
(t)
m
)2]1T
TX
1
2
1
24TT
T
limT
2
1T
T4TT
TT
K
(t
,t
)dt
dt
limKX
(t2
t1)dt1dt22
对于平稳过程X(t)，可得E
X
(t)
mXX
(t)的方差为2T变量替换可得
22
)d1202TXX1T2TT
lim(1
)(R
(
)
m
)d被积函数偶函数由X(t)的遍历性可得由切比雪夫不等式2XD[
X
(t)]
0
22P{
X
(t)
E[
X
(t)]
}
X
0即，X
(t)依概率收敛于
E[
X
(t)]
。因D[
X
(t)]
0由方差性质可知，依概率1成立。3、自相关函数的遍历性定理。平稳随机过程X(t)的自相关函数具有遍历性的充要条件为X
(t)
E[
X
(t)]
mX201
X
1T
2TT
lim
1
2T
(1
1
)(B()
R
(
))d
0B(1
)
E[
X
(t
1
)
X
(t
1
)
X
(t
)
X
(t)]令
0
，就可得到均方值具有遍历性的充要条件。4、对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数
RX
(
)连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为RX
(
)
d
0【例题】随机过程X
(t)
Asin(0t
)其中A和Φ是相互独立的随
量，A在(0,1)上均匀分布，Φ在(0,2π）上均匀分布。随机过程X(t)是否具有遍历性？解：首先判断X(t)是否具有平稳性E[
X
(t)]
E[
A]E[sin(0t
)]
0
mX2120
XE[
A
]cos
R
(
)RX
(t,
t
)
E[
A
sin(
t
)sin(
(t
)
)]20
02XR
(0)
1E[
A2
]
故X(t)为宽平稳随机过程。00TX2T
TTT
随机过程X(t)的时间均值为A X
(t)
X
(t)
lim
1T
Asin(
t
)dt
lim
Asin
sin
0T
0
mT2T
A2
cos
R
(
)TT
lim
1A
cos(0t
)A
cos(0
(t
)
)dt20
X可得随机过程X(t)均值具有遍历性。时间相关函数为RX
(t,
t
)
X
(t)
X
(t
)因此随机过程不具有遍历性。3.3.3平稳随机过程相关函数的性质一、平稳随机过程自相关函数的性质1R
(0)
E[
X
2
(t)]
2
0X
XRX
(
)
RX
(
)2证：RX
(
)
E[
X
(t)
X
(t
)]
E[
X
(t
)
X
(t)]
RX
(
)KX
(
)
KX
(
)3
RX
(0)
RX
(
)证：正函数的数学期望恒为非负值，即E[(X
(t)
X
(t
))2
]
0E[
X
2
(t)
2
X
(t)XRE[
X
2
(t)]
E[
X
2
(t
)]
X
(t)平稳2RX
(0)
2RX
(
)
0RX
(0)
RX
(
)KX
(0)
KX
(
)在零点以外也可能有最大值a24
周期平稳随机过程的自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。RX
(
T
)
E[
X
(t)
X
(t
T
)]
E[
X
(t)
X
(t
)]
RX
(
)5若平稳随机过程含有一个周期分量，则自相关函数也含有一个同周期的周期分量。X
(t)
S
(t)
N
(t)
a
cos(0t
)
N
(t)S(t)、N
(t)统计独立；在(0,2
)上均匀分布；N
(t)为平稳过程RX
(
)
RS
(
)
RN
(
)
2
cos0
RN
(
)6
平稳随机过程中不含有任何周期分量，则X
X2Xlim
R
(
)
R
()
m证：Xlim
R
(
)
lim
E[
X
(t)
X
(t
)]2X
lim
E[
X
(t)]E[
X
(t
)]
m
lim
KX
(
)
KX
()
0证：7若平稳过程含有平均分量（均值），则相关函数也将含有平均分量，且等于均值的平方，即2R在满足性质6的条件下，有2X
RX
(0)
RX
()XK
(
)
E[(X
(t)
m2X(
)
m2X2X
KX
(0)
RX
(0)
mX
X
R
(0)
R
()8
平稳随机过程的自相关函数必须满足X
jR
(
)e d
0二、平稳过程的相关系数和相关时间1
相关系数X2XK
(0)K
(
)R
(
)
m2rX
(
)
X
X
XrX(τ)τrX(τ)τ2
相关时间0Xr
(
)d
0定义1相关系数由其最大值1下降到0.05所经历的时间间隔，计做相关时间。定义2矩形面积等于阴影面积来定义相关时间。τrX(τ)10.05τ0τ0【例题】已知平稳随机过程X（t）的自相关函数为10
RX
(
)
100e
100
cos10
100求均值、均方差和方差。解：10010
RX
(
)
100
cos10
100e
RX
(
)
RX
(
)1
2mX
RX
()
102
2mX
mX
mX
101
2E[
X
2
(t)]
R
(0)
300X2X
R
(0)
m2
200X
XXY
1
2
n
1
2
m
1
2
n
1
2
mXY
1
2n
1
2
m
1
2
n
1
2
mmn
Ff
(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,
t
,,
t
,
t'
,
t'
,,
t'
)(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,t
,,
t
,t'
,
t'
,,
t'
)1
2x
x
n
1
2x
y
y
ym随机过程的联合概率分布和互相关函数两个随机过程的联合概率分布随机过程X(t)和Y(t)的
概率密度分别为f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn)f
(
y
,
y
,,
y
;t'
,
t'
,,
t'
)Y
1
2
m
1
2
m定义两个随机过程的
联合分布函数为F
(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,
t
,,
t
,
t'
,
t'
,,
t'
)XY
1
2
n
1
2
m
1
2
n
1
2
m
P{X
(t1
)
x1,
X
(t2
)
x2
,,
X
(tn
)
xn
,Y
(t'
)
y'
,Y
(t'
)
y
,,Y
(t'
)
y'
}1
1
2
2
m
m定义两个随机过程
联合概率函数为如果f
(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,
t
,,
t
,
t'
,
t'
,,
t'
)XY
1
2
n
1
2
m
1
2
n
1
2
m
f
(x
,
x
,,
x
;t
,
t
,,
t
)
f
(
y
,
y
,,
y
;t'
,
t'
,,
t'
)X
1
2
n
1
2
n
Y
1
2
m
1
2
m则称随机过程是相互独立的。如果两个随机过程的联合概率密度不随时间变化，即与时间起点无关，则称此过程为联合严平稳或严平稳相依过程。2.4.2互相关函数互相关函数的定义为RXY
(t1,
t2
)
E[
X
(t1
)Y
(t2
)]
xyf
XY
(x,
y;t1,
t2
)dxdy互协方差函数定义为K
XY
(t1,
t2
)
E[(X
(t1)
mX
(t1))(Y
(t2
)
mY
(t2
))]
(x
mX
(t1))(
y
mY
(t2
))
fXY
(x,
y;t1
,
t2
)dxdy1、互相关函数与互协方差存在如下关系K
XY
(t1,
t2
)
RXY
(t1,
t2
)
mX
(t1)mY
(t2
)随机过程正交RXY
(t1,
t2
)
0
或
K
XY
(t1,
t2
)＝－mX
(t1
)mY
(t2
)随机过程的不相关K
XY
(t1,
t2
)
0
或
RXY
(t1,
t2
)＝mX
(t1)mY
(t2
)如果两个宽平稳随机过程RXY
(t1,
t2
)
E[
X
(t1)Y
(t2
)]＝RXY
(
)则称随机过程
X(t)和Y(t)为联合宽平稳或宽平稳相依。宽平稳随机过程的互相关函数的性质：RXY
(
)＝RYX
(－
)
KXY
(
)＝KYX
(
)222
2XYX
Y
XYX
YX
Y
)
K
(0)K
(0)
2、
R
(
)
R
(0)R
(0)
K
(3、4、2122XY
XYXYXY2
2XYR
(
)
1
(R
(0)
R
(0))K
(
)
1
(K(0)
K
(0))
(
)XYX
YKX
(0)KY
(0)KXY
(
)
r
(
)
RXY
(
)
mX
mY归一化相关函数或标准互协方差函数时间互相关函数定义为如果称过程X(t)和Y(t)具有联合宽遍历性。TXY2TTT
X
(t)Y
(t
)dt
(
)＝X
(t)Y
(t
)
lim
1
XY
(
)＝RXY
(
)例题：设两个连续时间相位随机信号X
(t)
sin(0t
)
,
Y
(t)
cos(0t
)0
1 0
2
0
1
2022
2
1
sin
其中0
为常数，在(
,
)上均匀分布，求互协方差函数。解：这两个过程的均值为零，都是宽平稳的。K
XY
(t1,
t2
)
RXY
(t1,
t2
)
mX
mY
E[sin(0t1
)
cos(0t2
)]
1
E[sin(
t
t
2)]
1
sin
(t
t
)K
XY
(t1,
t2
)
RXY
(t1,
t2
)
00
k
(k
0,
1,)即过程X(t)和Y(t)在某些时刻是正交的、不相关的。但两者并不独立。因此是联合平稳的。ZXY
D
复随机过程复随复随量量定义为Z
X
jY数字特征推广到复随
量时必须遵循的原则是：在特殊情况下，即当Y＝0时，Z的数字特征应该等于随
量X的数字特征。复随复随量的数学期望mZ
E[Z
]
E[
X
]
jE[Y
]
mX
jmY量的方差复随D
D[Z
]
E[|
Z
|2
]
E[
X
2
Y
2
]
E[
X
2
]
E[Y
2
]
D量Z1和Z2的相关矩1
2
KY
Y
j(K
X
Y
KY
X
)1
2 1
2
2
1Z1Z2
1
2
1
1
2
2
KX
XK
E[Z
*
Z
]
E[(X
Y
)(
X
Y
)]
两个随
量独立1 2
1
21
1 2
2f
X
X
Y
Y(x1
,
x2
,
y1
,
y2
)
f
X
Y
(x1,
y1)
f
X
Y
(x2
,
y2
)两个随Z1和Z2不相关Z1和Z2正交量正交R
E[Z
*Z
]
0Z1Z2
1
21
2KZ
ZZ1
和Z2
相互独立两个随
量不相关
E[(X1
Y1)(
X
2
Y2
)]
03.5.2复随机过程复随机过程的定义Z
(t)
X
(t)
jY
(t)其概率密度为f
(x
,
x
,,
x
,
y
,
y
,,
y
;t
,
t
,,
t
,
t'
,
t'
,,
t'
)XY
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
2
n其数学期望为mZ
(t)
E[Z
(t)]
E[
X
(t)]
jE[Y
(t)]
mX
(t)
jmY
(t)其自相关函数为和协方差函数平稳复随机过程*R
(t,
t
)
E[Z
(t)Z
(t
)]Z
ZmZ
mX
jmYR
(t,
t
)
R
(
)RZ
(0)
**ZZZK
(t,
t
)
E[ZZ
(t
)]
E[(Z
(t)
m
(t))
(Z
(t
)
m
(t
))]Z其方差为ZX
YD
(t)
D[Z
(t)]
E[|
Z
(t)
|2
]
E[
X
(t)2
Y
(t)2
]
E[
X
(t)2
]
E[Y
(t)2
]
D
(t)
D
(t)
复平稳随机过程的互相关函数和互协方差函数复平稳随机过程的不相关复平稳随机过程的正交*1
2Z1Z2R
(t,
t
)
E[Z
(t)Z
(t
)]1
2Z1Z2K
(t,
t
)
E[Z*
Z
(t
)]1
2KZ
Z(t,
t
)
01
2RZ
Z(t,
t
)
0式中正态随机过程正态随机过程的一般概念正态随机过程X(t)的n维概率密度为f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1
,
t2
,,
tn
)mX是n维向量，K
是n维矩阵。2(2
)n
/2K
1/
21
(x
m
)T
K
1
(x
m
)
exp
X
X
Kik
KX
(ti
,
tk
)
E[(Xi
mi
)(
Xk
mk
)]
riki
kK11
K12K22K1nK2nK1n
K2n
KnnK
K21
正态随机过程的n维概率密度只取决于其一、二阶矩函数——数学期望、方差和相关系数。
1
1
n2XnX2R(2
)
Ri1
k
1
exp
Rik
(xi
mX
)(xk
mX
)n
nr11
r12r22r1nr2nr1n
r2nrnn
r1n
r2nR
r21r1nr2n
r21
1
r12
1
13.6.2平稳正态随机过程若正态随机过程X(t)iX此正态随机过程称为广义平稳正态随机过程。n维概率密度为f
X
(x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn)mi
mXRX
(ti
,
tk
)
RX
(k
i
)k
i
k
R
(0)
,
i,
k
1,2,n3.6.3正态随机过程的性质1、正态随机过程的n维概率密度完全取决于它的均值集合和协方差函数集合。2、正态过程的宽平稳与严平稳等价。3、如果正态随机过程X(t)在n个不同时刻
t1,
t2
,,
tn
采样，所得一组随量X1
,X
2
,,Xn
为两两互不相关，即Kik则，这些随
KX
(ti
,
tk
)
E[(Xi
mi
)(
Xk
mk
)]
0量也是相互独立的。证明：X(t)的n维概率密度为1n2i1
2n(2
)n
1 (
x
m
)2
2exp
i1i
if
X
(
x1,
x2
,,
xn
;t1,
t2
,,
tn
)
1n2ii2
21
(x
m
)2i1exp
i
i
f
X
(x1;t1
)f
X
(x2
;t2
)
fX
n
n(x
;t
)4、平稳正态随机过程X(t)与确定性信号之和的概率分布仍为正态分布。证明：s(t)的概率密度可以表示为[s
s(t)]
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