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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足,则()A. B. C. D.2.执行如图所示的程序框图,则输出的()A.2 B.3 C. D.3.已知函数在上都存在导函数,对于任意的实数都有,当时,,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.5.设点是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,若,则()A. B. C. D.6.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计),底面直径为cm,高度为cm,现往里面装直径为cm的球,在能盖住盖子的情况下,最多能装()(附:)A.个 B.个 C.个 D.个7.设全集,集合,,则()A. B. C. D.8.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.9.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从名男生,,和名女生,,中各随机选出两名,把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则和两人组成一队参加比赛的概率为()A. B. C. D.10.已知双曲线的右焦点为,若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且点到该渐近线的距离为,则双曲线的实轴的长为A. B.C. D.11.在很多地铁的车厢里,顶部的扶手是一根漂亮的弯管,如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧,已知弯管向外的最大突出(图中)有,跨接了6个坐位的宽度(),每个座位宽度为,估计弯管的长度,下面的结果中最接近真实值的是()A. B. C. D.12.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平面直角坐标系中,圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和,其中与圆相交于,两点,与圆相切于点.若,则直线的斜率为_____________.14.已知函数,曲线与直线相交,若存在相邻两个交点间的距离为,则可取到的最大值为__________.15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.16.已知函数,则曲线在处的切线斜率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱柱中,是边长为2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,点在线段上移动(不与重合),是的中点.(1)当四面体的外接球的表面积为时,证明:.平面(2)当四面体的体积最大时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.(12分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为;(1)求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交点分别为,,点,求的值.19.(12分)棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于311的为“长纤维”,其余为“短纤维”)纤维长度甲地(根数)34454乙地(根数)112116(1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.甲地乙地总计长纤维短纤维总计附:(1);(2)临界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)现从上述41根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为,求的分布列及数学期望.20.(12分)已知数列,其前项和为,满足,,其中,,,.⑴若,,(),求证:数列是等比数列;⑵若数列是等比数列,求,的值;⑶若,且,求证:数列是等差数列.21.(12分)已知数列的前项和为,且点在函数的图像上;(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足:,,求的通项公式;(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;22.(10分)已知在中,内角所对的边分别为,若,,且.(1)求的值;(2)求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【详解】由题可知:由,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.2、B【解析】
运行程序,依次进行循环,结合判断框,可得输出值.【详解】起始阶段有,,第一次循环后,,第二次循环后,,第三次循环后,,第四次循环后,,所有后面的循环具有周期性,周期为3,当时,再次循环输出的,,此时,循环结束,输出,故选:B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识,经过几次循环找出规律是关键,属于基础题型.3、B【解析】
先构造函数,再利用函数奇偶性与单调性化简不等式,解得结果.【详解】令,则当时,,又,所以为偶函数,从而等价于,因此选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.4、C【解析】
对函数求导,对a分类讨论,分别求得函数的单调性及极值,结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵,.当时,,在上单调递增,不合题意.当时,,在上单调递减,也不合题意.当时,则时,,在上单调递减,时,,在上单调递增,又,所以在上有两个零点,只需即可,解得.综上,的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了函数的单调性及极值问题,属于中档题.5、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故选B点睛:本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.6、C【解析】
计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm,得到不等式,计算得到答案.【详解】由题意,若要装更多的球,需要让球和铁皮桶侧面相切,且相邻四个球两两相切,这样,相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体,易求正四面体相对棱的距离为cm,每装两个球称为“一层”,这样装层球,则最上层球面上的点距离桶底最远为cm,若想要盖上盖子,则需要满足,解得,所以最多可以装层球,即最多可以装个球.故选:【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.7、B【解析】
可解出集合,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】,,则,因此,.故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的运算,涉及一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.8、B【解析】
设,,,根据向量线性运算法则可表示出和;分别求解出和,,根据向量夹角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1,,,由题意得:,,,又即异面直线与所成角的余弦值为:本题正确选项:【点睛】本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.9、B【解析】
根据组合知识,计算出选出的人分成两队混合双打的总数为,然后计算和分在一组的数目为,最后简单计算,可得结果.【详解】由题可知:分别从3名男生、3名女生中选2人:将选中2名女生平均分为两组:将选中2名男生平均分为两组:则选出的人分成两队混合双打的总数为:和分在一组的数目为所以所求的概率为故选:B【点睛】本题考查排列组合的综合应用,对平均分组的问题要掌握公式,比如:平均分成组,则要除以,即,审清题意,细心计算,考验分析能力,属中档题.10、B【解析】
双曲线的渐近线方程为,由题可知.设点,则点到直线的距离为,解得,所以,解得,所以双曲线的实轴的长为,故选B.11、B【解析】
为弯管,为6个座位的宽度,利用勾股定理求出弧所在圆的半径为,从而可得弧所对的圆心角,再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示,为弯管,为6个座位的宽度,则设弧所在圆的半径为,则解得可以近似地认为,即于是,长所以是最接近的,其中选项A的长度比还小,不可能,因此只能选B,260或者由,所以弧长.故选:B【点睛】本题考查了弧长公式,需熟记公式,考查了学生的分析问题的能力,属于基础题.12、C【解析】
先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C.【点睛】本题考查集合补集的运算,求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义,属于简单题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设:,:,利用点到直线的距离,列出式子,求出的值即可.【详解】解:由圆,可知圆心,半径为.设直线:,则:,圆心到直线的距离为,,.圆心到直线的距离为半径,即,并根据垂径定理的应用,可列式得到,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用,并结合圆的方程,垂径定理的基本知识,属于中档题.14、4【解析】
由于曲线与直线相交,存在相邻两个交点间的距离为,所以函数的周期,可得到的取值范围,再由解出的两类不同的值,然后列方程求出,再结合的取值范围可得的最大值.【详解】,可得,由,则或,即或,由题意得,所以,则或,所以可取到的最大值为4.故答案为:4【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解,熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.15、【解析】
画出图形,结合椭圆的定义和题设条件,求得的值,即可求得椭圆的离心率,得到答案.【详解】如图所示,设椭圆的长半轴为,半焦距为,因为地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是,,可得,解得,所以椭圆的离心率为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解,其中解答中熟记椭圆的几何性质,列出方程组,求得的值是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.16、【解析】
求导后代入可构造方程求得,即为所求斜率.【详解】,,解得:,即在处的切线斜率为.故答案为:.【点睛】本题考查切线斜率的求解问题,考查导数的几何意义,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由题意,先求得为的中点,再证明平面平面,进而可得结论;(2)由题意,当点位于点时,四面体的体积最大,再建立空间直角坐标系,利用空间向量运算即可.【详解】(1)证明:当四面体的外接球的表面积为时.则其外接球的半径为.因为时边长为2的菱形,是矩形.,且平面平面.则,.则为四面体外接球的直径.所以,即.由题意,,,所以.因为,所以为的中点.记的中点为,连接,.则,,,所以平面平面.因为平面,所以平面.(2)由题意,平面,则三棱锥的高不变.当四面体的体积最大时,的面积最大.所以当点位于点时,四面体的体积最大.以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.则,,,,.所以,,,.设平面的法向量为.则令,得.设平面的一个法向量为.则令,得.设平面与平面所成锐二面角是,则.所以当四面体的体积最大时,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查平面与平面的平行、线面平行,考查平面与平面所成锐二面角的余弦值,正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定,利用好空间向量是关键,属于基础题.18、(Ⅰ),曲线(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)消去参数可得直线的直角坐标系方程,由可得曲线的直角坐标方程;(2)将(为参数)代入曲线的方程得:,,利用韦达定理求解即可.试题解析:(1),曲线,(2)将(为参数)代入曲线的方程得:.所以.所以.19、(1)在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(2)见解析【解析】试题分析:(1)可以根据所给表格填出列联表,利用列联表求出,结合所给数据,应用独立性检验知识可作出判断;(2)写出的所有可能取值,并求出对应的概率,可列出分布列并进一步求出的数学期望.试题解析:(Ⅰ)根据已知数据得到如下列联表:甲地乙地总计长纤维91625短纤维11415总计212141根据列联表中的数据,可得所以,在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为,的可能取值为:1,1,2,3,,,,.∴的分布列为:1123∴.20、(1)见解析(2)(3)见解析【解析】试题分析:(1)(),所以,故数列是等比数列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可证数列是等差数列.试题解析:(1)证明:若,则当(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故数列是等比数列.(2)若是等比数列,设其公比为(),当时,,即,得,①当时,,即,得,②当时,,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此时(),所以,是公比为1的等比数列,故.(3)证明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差数列,由,得,两式相减得:即所以相减得:所以所以,因为,所以,即数列是等差数列.21、(1)(2)当n为偶数时,;当n为奇数时,.(3)【解析】
(1)根据,讨论与两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)利用递推公式及累加法,即可求得当n为奇数或偶数时的通项公式.也可利用数学归纳法,
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