经综基础班高数讲义一

第一 函数、极限与连模块 函一．函数【定义1.1D为一个非空实数集合，设有一个对应法f，使得对xD都有一个唯一确定的实y与之对应，则称这个对应法则f为定义D上的一个函数，或称变y是变x的函数，记yf(xxD.x称为自变量y称为因变量D称为函数的定义域，也可以记Df.对x0D所对应y的值，记y0f(x0，称为xx0时yf(x的值.全体函数值组成的集合yyf(xxD，称为yf(x的值域，记f二．函数1、四则2yf(uuD1与ug(xxD2为g(x的值gD2f(u的定义D1，则可以定yf(g(xxD2为函数f(ug(x)的复合函数，记yf(g(x))或fg

2x,x【例1】设f(xx2x0，试求ff(x与fff4x,x 8x,x 答案：f(f(x)) ,f(f(f(x))) x4,x x8,x3反函数的定yf(x为定义D上的一个函数，其值域为fD.若对yfD，均有唯x使得fxy与之对应，则将该对应法则记作f1，并这个定义在fD上的函数xf1y称为yf(x)的反函数，或称它们互为反函数.yf(x存在反函数的充要条件是，对于定义D中任意两个不同的自变x1x2，有fx1fx2.反函数的性yf(xyf1(x的图像关于直yx对称设函数yf(x)的定义域为a,b，值域为α,β，若y f(x)在a,b上单调递增（或递），则yf(x)在ab上存在反函数，且xf1y)在α,β上单调递增（或递减三．基本性1、单调定对yf(xxD，若在某区Ix1x2，均满f(x1f(x2（f(x1f(x2)），则称函数f(xI上单调递增（或单调递减）I为f(x的一个单调增区间（或单调减区间）.若对区Ix1x2f(x1f(x2)（或f(x1f(x2），则称函数f(x)I上单调不减（或单调不增）.性①若f1x),f2x均为增函数（或减函数），则f1xf2x亦为增函数（或减函数②设f(x为增函数，若常数C0，则Cf(x为增函数；若常数C0，则Cf(x为减函数③yf(u与ugx增减性相同，yf(g(x为yf(uuf(x增减性相反，yf(g(x为减函数2定对yf(xxD，若存在正数T，使得Dx都有f(xTf(x则称f(x为一个周期函数，而T为f(x的一个周期.易知若T为f(x的一个周期，则对任意的整数n，nT亦为f(x)的周期.在f(x)的所有周期中，把其中最小的正数称为最小正周性①若f(x以T为最小正周期，则对任意的非零常数CCf(x仍然以T为最小正周期，fC以T为最小正周期C②f1xf2x都以T为周期，则k1f1xk2f2x仍以T为周期（k1k2R）.注意此时最小正周期有可能缩小，如f1(x)cos2xsinx,f2(x)sinx都以2π为最小正周期，但f1xf2xcos2x以π为最小正周期3定对yf(xxD，若Dx，均有f(xf(x（或f(x)f(x，则f(x为一个偶函数（或奇函数常见1①常见的奇函数：yxk,k为奇数,ysinx,ytanx,ycotx,ylnx1②常见yxkk为偶数ycosxy性①偶函数的图y轴对称，奇函数的图像关于原点对②f1xf2x均为奇函数（或偶函数），则对任意的常数k1k2Rk1f1xk2f2x仍为奇函③f1x),f2x奇偶性相同，则f1xf2x为偶函数；若f1x),f2x奇偶性相反，则f1xf2f(x)f④对于任意定义在对称区间上的函数f(x)， x 与f(x)f(x)均为偶函数2而f(xf(x为2⑤任何定义在对称区间上的函数f(x均可写成一个奇函数与一个偶函数之和f(x)f(x)f(x)f(x)f(x) 4（1）定义yf(xxD为一个函数，若存在一个实数M，使得Dxf(xM，则称函数f(xD内有上界，并称M为函数f(xD内的一个上界；若存在一个实数m，使得Dxf(xm，则称函数f(xD内有下界，并称m为函数f(x)D内的一个下界.若函数f(xD内既有上界又有下界，则称f(xD内有界（2）常见f(x)sinf(x)sgn(x)0,xf(x)arcsinx,x

f(x)f(x)f(x)2【例2】下列函数在其定义域内的有界 ex （1）1x2，（2）sinx1，（3）xsin 答案：（1）有界；（2）有界四．函数分1、基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数与反三角函数称为基本初等函数以下为几个常见的基本初等函数的图像及性质2、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算以及复合后并可用一个式子表达函数统称为初等函数3、分段函数：f(x符号函数sgnx

xxxxf绝对值函数：|f(x|f

f(x)f(x)取整函数f(x)：不超过f(x最大值函数maxf(xg(x)ff最小值函数：minf(x),g(x)f

f(x)f(x)f(x)f(x)4、隐函数：Fxy0yy(x，一般没有明显x5、参数方yψ(t)t6、极限函数：如f(x) nnx1x7、积分上限函F(xafx

模块二极限1【定义1.2】设函数f(xx0的某去心邻域内有定义，若存在实A，使得ε0δ0xx0δx0x0x0δ时，有|f(xA|ε，则称f(xx0点处的极限值为A记作limf(xA设函数f(x)在x0的某左邻域内有定义，若存在实数A，使得ε0， δ0，xx0δx0时，有|f(xA|ε，则称f(xx0点处的左极限为A，记

f(x)A类似地，可以定义右极限【定义1.3】设函数f(x在XX上有定义（X为某正数），若存在实Aε0M0，当xM时，有|f(xA|ε，则x时f(x的极限值A，记limf(x)A类似地，可以分别定xx时f(x的极限limf(x和limf(x 2【定义1.4】对于数列xn，若存在实数a，使得ε0N0，当nN时，有|xna|ε，则称数列xn收敛于a，记作limxna3、无穷小量和无穷无穷【定义1.5若在某极限过x中（x可以表示上述七种极限过程中的任何一种，下同），f的极限值为0，也即limf(x0，则称f(x为x时的无穷小量无穷【定义1.6若在某极限过x中，函数f(x的函数值无限增大，则称函数f(x为该极限过程中的无穷小量和无穷x时，f(x为无穷大量，

f(x)在同一极限过程中为无穷若x时，f(x)为无穷小量，且f(x)0， f

无穷小的比【定义1.7】设在某极限过程x中，函数α(x),β(x)都为无穷小量，并且都不为0若limα(x)0，则x时，α(x为β(x的高阶无穷小量，或β(x为α(x的低阶无穷x若limα(x)C0，则称当x时，α(x与β(x)同阶无穷小量x则lim 1，则称当x时，α(x)与β(x)为等价无穷小量，记作α(x)~β(xxk阶无穷设在某极限过程x中，函数α(x),β(x)都为无穷小量，并且都不为0.lim C0，则x时，α(x是β(x的k阶无穷小x二．极限的基本性1、数列极限的基本性唯一性：若数列xn的极限存在，则其极限值有界性：若数列xn的极限存在，则数列xn 保号性：若limx0，则N0，使得当nN时x0 推论：N0，使得当nN时xn0，且limxn存在，则limxn0 2、函数极限的基本性唯一性：若函数极限limfx存在，则其极限值x有界性：若函数极限limfx存在，则存在正数δ0，使得函数f(xx0的去心邻xx0δ,x0x0x0δ内有保号性：若limfx，则正数δ0xx0δx0x0x0δ时，有f(x)0x推论：若正数δ0xx0δx0x0x0δ时，有f(x0limfx)存在，xlimf(x)0x三．极限的计算方1、极限的四则运算：以函数极限的四则运算法则为设limf(xAlimg(x)B，则 lim[f(x)g(x)]AB，limf(x)g(x)AB，limf(x)A(B注

x 四则运算只适用于有限次计算的情形，对无限次运算未必适用无穷小的常见性②无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量,(),(),(),C0C0,C(C0),C0,C(C0),a

,a 0,0a【例1】x2x x2lim3x24x3xx2x

x24xx答案：（1）1；（2）0；（3）注：本题的结论可以作如下总结和推an,maxn xn1...ax

bnxm

00,m

其中a

0 ...bx 【例2】x422x2x

,m（1）

xx2x2x138x3x答案：（1）82、等价无穷小替【定理】设x时，α(x)~β(x，则limf(x)α(x)limf(x)β(x),limg(x)limg(x) x等价无穷小替换在极限计算过程中一般起辅助与简化的作用，它与法则连用可以简ax (1x)ax~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~ex11cosx~12【例3】计

ln

2ln12x32（2）（2005—3）limx

1答案4

；（2）【例4】计（1）（2009—3）lnlncos11x2

eecos331x2,答案：（1）3e；（2） 3、法则（第二章内容xa设f(xg(x满limf(xlimg(x)0或limf(xlimg(x) f(xg(x在a的某去心邻域内可导g'(xlimf(x)存在或为或xag'则有limf(x)limfxax

xag'设f(xg(x满limf(xlimg(x)0或limf(xlimg(x) X,当|x|X时有f(xg(x可导gxlimf(x)存在或为或xg'则有limf(x)limfx xg'【例5】计limxtanx0arctan（2）（2008—3）lim1lnsinx0 、答案：（1）1；（2）1 【例6】计

xx2xx3lnlim x5xx43ln

4xlnx 2

2 4x2x3x2 exlim(1x)tan

0 0 ；（0 0 ；（5）答案：（1）；（2） 【例7】计 （1）lim1 xtanx x x xx

4sin （1）lim 1，（2）lim1xx

1【例8 计算极限（2003—1）lim(cosx)ln(1x2答案e【例9】计 （2）limexxx答案：（1）1；（2）5、单侧limlimf(x存在当且仅limf(xlimf(x存在且相等 limf(x存在当且仅当limf(x与limf(x存在且相等 2 【例10】（2003—1）：

exsinxx0

11

|x|答案： 【例11】lim1exarctan x1π答案：2一．连续1函数在一点处连

模块 连【定义1.8】设函数f(xx0的某邻域内有定义limf(x)

fx0，则称函数f(xx0点连续设f(xx0的某右邻域内有定义x

f(x)fx0，则称函数f(xx0点处右连续类似地，还可以定义左连续注：f(xx0点处连续的充要条件是它在该点左连续且右连续区若f(x在ab上每一点均连续，则称函数f(x在开区间ab上连续若f(x在开区间ab上连续，且f(xxa处右连续xb处左连续，则称函数f(x闭区间a,b上连续类似地 可以得到函数在区间a,b或a,b上连续的定义 【例1】设f(x)22

,x1cos，f(x)在x01cos,x答案：右连续、非左

1etan x,x【例2】（2002—2）：设函数f(x

x0处连续，则a答案a2、基本性连续函数的四则运算性复合函数的连续反函数的连续初等函数的连续【定理】一切初等函数均在其定义域内连续sin2xe2ax【例3】若f(x

x0在(上连续，则a x答案a

bex x【例4】若f(x) 2 在其定义域内连续，则a b1e x答案a0,b二．间1、间断点的定义：设f(xx0的某邻域内有定义f(xx0处不连续，则x0f(x的间断点2、间断点的分【定义1.9x0为函数f(x的间断点，若x

f(x与00

f(x均存在，则x0为函数f(x的第一类间点；若limf(x与

f(x至少有一个不存在，则x0为函数f(x的第二类间断点 limf(xlimf(x，则x0为f(x的跳跃间断点

在第二类间断点中，若

f(x与

f(x至少有一个为，则x0为函数f(x的无间断点；若

f(x与

f(x均不为，则x0为函数f(x的振荡间断点 axsinx,x【例5 函数f(x)1cos bex,x

x0处间断点的类答案a1时，无穷间a1且b0时，跳跃间a1且b0时，【例6】（2009—3）：函数f(x

x

的可去间断点的个数为 (A) (B) (C) (D)无穷多三．闭区间上连续函数的性设fx为闭区间ab的连续函数，则有如下性质1、最值定理：fx)在ab一定能取得最大值，最小值．也即存在ξ,ηabfξm fxMfη对xab均成立推论（有界性定理）：fx)在闭区间ab上有界2、介值fx在ab一定能取得其最大值和最小值之间的一切值．也即对任意满mAM（mM分别为fx在ab上的最大值与最小值），均存在ξabfξ.3、零点定理：f(afb0，则存在ξab，使得fξ0【例7】ab0，证明方xasinxb在(0,ab]上至少有一个正第二章一元函数微模块一可导与可一．导数的定1、一点处导数的定【定义2.1设f(xx0的某邻域内有定义，给自变xx0处加上增量x，相应的得到因变y的增量yf(x0xf(x0.若极限limylimf(x0x)f(x0x0 存在，则称函数在x处可导，该极限值称为函数在x处的导数，记作f'(x),y'(x)或dy 0导数的定义式还可以写成f'(x

f(x)f(x0)

dxx0 x0【定义2.2】设函数f(xx0的某左邻域内有定义

f(x0x)f(x0)

00

f(x)f(x0x存在，则称f(xx处的左导数存在，该极限值称为函数f(xx处的左导数，记作fx 类似地，可以定义f(xx处的右导数fx 注：函数f(xx0的导数存在的充要条件是该点的左右导数存在且相等【例1】利用定义计算下列函数的导f(x)f(x)lnx,(xf(x)f(x)sinf(x)cos 【例2】求下列函数f(x的f(0)、f 及f(0)（1）f(x)|x|（2）f(x) x1

x x答案：（1）f(0)1,f(0)1，f'(0)（2）f(0)1,f(0)0，f'(02、导开区间内可导：f(x在开区间(ab上每一点都可导，则称f(x在开区间(ab导闭区间上可导f(x在开区间(ab上可导xa处存在右导xb处存在左导数，则称f(x)在闭区间[ab上可导.3、高阶导若可导f(x的导fx仍然可导，则将它的导数称为f(x的二阶导数记作f(x

f(xx)f.类似地，可以递归地定义函数f(x的n阶导数f(nx二．微分的定【定义2.3设f(xx0的某邻域内有定义，当自变xx0处有增量x时，若因变yyf(x0xf(x0可以表示为yAxo(xx0A为x0有关而与x无关o(x表示x的高阶无穷小量，则f(xx0处可微Ax为f(xx0处的线性主要部分，也称为微分，记作dy或df(x)，即dydf(x)Ax.三．可导、可微、连续【定理2.1设f(xx0的某邻域内有定义，若f(xx0处可导，则f(xx0处必然连续【定理2.2设f(xx0的某邻域内有定义，则函数f(xx0处可微与函数f(xx0处可导的，即可微必可导，可导必可微.进一步地，还可以得到f(x)在x0处的微 x

f'x0xex,x【例3】设f(xaxb,x

x0处可导，试求aba1,b1cos xx【例4】设f(xx x

，其中g(x)是有界函数，则f(x)在x0处 （A）极限不存 （B）极限存在，但不连 （D）可模块 导数的计一．求导xaaxa1,exex,lnx1,sinxcosx,cosxsinx二．求导法1、导数的四则运算法设函数f(xg(x均可导，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f(x)g(x)f g(x)

g2【例1】推导下列函数的导tanxcotxsecxcsc2、复合函数求导法【定理2.3yf(uug(xg(xx处可导f(u在对应的ug(x处可导，则yf(g(x))在x处可导，且有：f(g(x))'f'(u)g'(x)

dy du【例2】推导ax的导【例3】计算下列函数的导（1）f(x)lnx1x2（2）f(x)secx2tanln1答案：（1）f'(x1x（2）f'(x)2xsecx2tanx2tanlnxsecx2sec2lnx3、反函数求导法【定理2.4】设函数可导f'(x0，并令其反函数xf1yf1(y)'dx1 dy

f'

f'(f1(【例4推导下列函数的导arctanxarcsinxarccos【例5】计算下列函数的导yln(ex1e2x)11sin2答案11sin2dy

excosxexsin114、特殊函数的导幂指函数求导的导【例6】计算下列函数的导f(x)yxx(x>0)答案：（1）dyxxlnx （2）dy

隐函数求导的导【例7】设函数yyx由方程exycosxy0确定，则dy

ysinxyexexyxsinxy【例8】设yy(x由方程ln(x2yx3ysinx确定，

x0d2d2【例9】（2009--2）：设函数yy(x)由方程yxey1所确定， 的x答案：参数方程求导的导①参数方程的一阶导xxt 设 ，

dy

dx

yyt dt 【例10】设函数yy(x)由参数方程

所确定，试计 答案：sintcossintcosxf(t) 【例11】设yf

可导，且f(0)0，

t答案：②参数方程的二阶导 d2yddyd dxdx dtdx

xtln(1

d2【例12】设yy(x由参数方程yt3t

所确定，则dx2答案6t5tt抽象函数的导【例13】（1997--3）：设yf(lnx)ef(xf可微，则dy1flnxefxf(lnx)ef(xf 【例14】设函数g(x)可微，h(x)e1g(x)，h'(1)1,g'(1)2，则g(1)等 答案：1ln模块三导数的应一．切线和法yf(xxx0可导时,曲线在点(x0f(x0处切线的斜率为f(x0，则曲yf过(x0f(x0点的切线方程为yf(x0f(x0xx00 法线方程为：yf(x) (xx)，其中f(x)0 f(x0当f(x00时，法线方程x【例1】（2004—2）：设函数yf(x)由方程xy2lnxy4所确定，则曲线yf(x)在点(1,1)处的切线方程为 答案yt【例2】曲线tyecos

，在点t0处的法线方程答案y2x二．单调设函数f(x在[ab上连续，在(ab上可导①若在(abfx0，且fx不在任一子区间上恒为零，则函数f(x在[a,b]上增②若在(abfx0，且fx不在任一子区间上恒为零，则函数f(x在[a,b]上减1、求函数的单调区【例3】yxex的单调区答案：单调增区间(,1]；单调减区间1,2、确定方程根的【例4】证xcosx在0,π上有且仅有一根三．极1、定设函数f(x)在点x0的某邻域(x0δx0δ内有定义，若对任意x(x0δ,x0)(x0,x0δ)，有f(x) f(x0)（或f(x)f(x0)），则称xx0为函数f(x)的一个极大值点（或极小值点），并称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（或极小值）.2 设函数f(xx处可导x处取得极值，则f'(x 3、第一充分设函数f(xx0处连续，并在x0的某去心邻域(x0δx0x0x0δ内可导 ①x(xδx时fx0,而xxxδ时fx0,则f(x