2020-2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何24曲线与方程课件新人教B版选择性必修第一册

2.4曲线与方程2.4曲线与方程核心素养

1.学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念,明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系,并能根据点的坐标是否适合方程,来判断该点是否在曲线上.(数学抽象,逻辑判断)2.能够通过求方程组的解,来确定曲线的交点.(数学运算)3.初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法.(逻辑推理)思维脉络核心素养1.学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念,明激趣诱思知识点拨笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”,是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高.其中有一个很有名的故事,笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式:r=a(1-sinθ).你知道这是何意?其实这就是笛卡尔的爱心函数,图形是心形线,是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹,因其形状像心形而得名.同学们,你能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗?激趣诱思知识点拨笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之激趣诱思知识点拨1.曲线的方程与方程的曲线的定义在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.激趣诱思知识点拨1.曲线的方程与方程的曲线的定义激趣诱思知识点拨微练习A.一条直线

B.圆C.半圆 D.不表示任何图形答案:C激趣诱思知识点拨微练习激趣诱思知识点拨微思考若曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程,则曲线上的点集与方程的解集之间是一一对应关系吗?提示:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上,即没有遗漏的点.所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多,一个也不少,即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系.激趣诱思知识点拨微思考激趣诱思知识点拨2.求两曲线的交点已知曲线C1:F(x,y)=0和曲线C2:G(x,y)=0,求这两条曲线的交点坐标,只要求方程组微练习直线y=x+1与圆x2+y2=1的交点坐标为

.

答案:(-1,0)和(0,1)激趣诱思知识点拨2.求两曲线的交点微练习激趣诱思知识点拨3.求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质(1)点的轨迹方程曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.(2)求动点M轨迹方程的一般步骤:①设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需先建立);②写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用M的坐标表示出来;③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.激趣诱思知识点拨3.求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质激趣诱思知识点拨微练习在平面内,若M,N为两个定点,且|MN|=6,动点P满足

=0,则P点的轨迹曲线的形状是

.

答案:圆微思考如何检验所求轨迹方程是否符合条件?提示:检验可以从以下两个方面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意义.激趣诱思知识点拨微练习探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测曲线与方程的概念问题例1如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,那么以下说法正确的是(

)A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上解析:由题意可知,曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x,y)=0的解构成的集合的子集,它包含两种情形:①真子集;②相等.据以上可知,选项A,B,C都是不正确的,只有选项D是正确的.答案:D探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测曲线与方程的概探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟

1.曲线与方程的定义表明:曲线C的方程是F(x,y)=0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点都在曲线C上,这是识别曲线和方程关系的基本依据.2.判断点与曲线关系的方法(1)从点的坐标角度若点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上,则f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,则点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上.(2)从方程的解的角度若f(x0,y0)=0,则点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上;或若点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上,则f(x0,y0)≠0.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟1.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线答案:D探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测A.两条直线答探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测用直接法求曲线的方程例2已知平面上两个定点A,B之间的距离为2a,点M到A,B两点的距离之比为2∶1,求动点M的轨迹方程.分析因为已知条件中未给定坐标系,所以需“恰当”建立坐标系.考虑到对称性,由|AB|=2a,选A,B两点所在的直线为x轴,AB中点为坐标原点,则A(-a,0),B(a,0),然后求解.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测用直接法求曲线探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:如图所示,以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.由|AB|=2a,可设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).因为|MA|∶|MB|=2∶1,探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:如图所示,探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟

直接法求曲线的方程根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟直接探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:(1)x+2y=4

(2)y2=12x(x>0)或y=0(x<0)探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:(1)x探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测例3已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为

.

解析:由已知条件及中位线等几何知识可知,动点A满足到点(10,0)的距离等于定长6的条件,设顶点A的坐标为(x,y),因此可得(x-10)2+y2=36,考虑到构成△ABC,因此y≠0,所以所求方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).答案:(x-10)2+y2=36(y≠0)反思感悟

定义法求曲线方程的两种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测例3已知△AB探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练3到点(1,2)的距离等于

的动点Q的轨迹方程是(

)A.(x+1)2+(y+2)2=3 B.(x+1)2+(y+2)2=9C.(x-1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y-2)2=9解析:由圆的定义知动点Q的轨迹是以点(1,2)为圆心,以

为半径的圆,故其方程为(x-1)2+(y-2)2=3.答案:C探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练3到点探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测用相关点法求曲线的方程探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测用相关点法求曲探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟

“相关点法”的基本步骤(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x0,y0).(3)代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨迹方程.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟“相探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:y2=4x探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:y2=4探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测求曲线的交点问题例5试讨论圆x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4(k为参数)交点的个数.分析只需把直线方程与圆方程联立,求方程组解的个数即可.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测求曲线的交点问探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练5已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.即3x+4y+1=0.当过A点的直线l的斜率不存在时,方程为x=1.此时,与l1的交点为(1,4)也满足题意.综上所述,直线l的方程为3x+4y+1=0或x=1.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练5已知探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测易错点——因忽视验证造成增解而致错案例

求以A(-2,0),B(2,0)为直径端点的圆的圆内接三角形的顶点C的轨迹方程.错解:设点C的坐标为(x,y).△ABC为圆内接三角形,且圆以线段AB为直径,∴AC⊥BC,则kAC·kBC=-1.化简,有x2+y2-4=0,即点C的轨迹方程为x2+y2-4=0.错因分析(1)在表述kAC,kBC时没有注意斜率不存在的情况.(2)没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测易错点——因忽探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测正解:设C的坐标为(x,y).∴(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2=0.又当x=±2时,C与A或B重合,不构成三角形,∴所求C点的轨迹方程为x2+y2-4=0(x≠±2).探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测正解:设C的坐探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测A.一条射线 B.一个圆C.两条射线 D.半个圆答案:D

探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测A.一条射线 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测3.点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a=

.

4.平面直角坐标系中,已知A,B分别为坐标轴上的动点且|AB|=5,若线段AB的中点为M(x,y),则动点M的轨迹方程为

.

探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测3.点P(2,探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:y=2x探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:y=2x2.4曲线与方程2.4曲线与方程核心素养

1.学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念,明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系,并能根据点的坐标是否适合方程,来判断该点是否在曲线上.(数学抽象,逻辑判断)2.能够通过求方程组的解,来确定曲线的交点.(数学运算)3.初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法.(逻辑推理)思维脉络核心素养1.学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念,明激趣诱思知识点拨笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”,是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高.其中有一个很有名的故事,笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式:r=a(1-sinθ).你知道这是何意?其实这就是笛卡尔的爱心函数,图形是心形线,是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹,因其形状像心形而得名.同学们,你能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗?激趣诱思知识点拨笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之激趣诱思知识点拨1.曲线的方程与方程的曲线的定义在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.激趣诱思知识点拨1.曲线的方程与方程的曲线的定义激趣诱思知识点拨微练习A.一条直线

B.圆C.半圆 D.不表示任何图形答案:C激趣诱思知识点拨微练习激趣诱思知识点拨微思考若曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程,则曲线上的点集与方程的解集之间是一一对应关系吗?提示:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上,即没有遗漏的点.所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多,一个也不少,即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系.激趣诱思知识点拨微思考激趣诱思知识点拨2.求两曲线的交点已知曲线C1:F(x,y)=0和曲线C2:G(x,y)=0,求这两条曲线的交点坐标,只要求方程组微练习直线y=x+1与圆x2+y2=1的交点坐标为

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答案:(-1,0)和(0,1)激趣诱思知识点拨2.求两曲线的交点微练习激趣诱思知识点拨3.求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质(1)点的轨迹方程曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.(2)求动点M轨迹方程的一般步骤:①设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需先建立);②写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用M的坐标表示出来;③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.激趣诱思知识点拨3.求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质激趣诱思知识点拨微练习在平面内,若M,N为两个定点,且|MN|=6,动点P满足

=0,则P点的轨迹曲线的形状是

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答案:圆微思考如何检验所求轨迹方程是否符合条件?提示:检验可以从以下两个方面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意义.激趣诱思知识点拨微练习探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测曲线与方程的概念问题例1如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,那么以下说法正确的是(

)A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上解析:由题意可知,曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x,y)=0的解构成的集合的子集,它包含两种情形:①真子集;②相等.据以上可知,选项A,B,C都是不正确的,只有选项D是正确的.答案:D探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测曲线与方程的概探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟

1.曲线与方程的定义表明:曲线C的方程是F(x,y)=0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点都在曲线C上,这是识别曲线和方程关系的基本依据.2.判断点与曲线关系的方法(1)从点的坐标角度若点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上,则f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,则点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上.(2)从方程的解的角度若f(x0,y0)=0,则点M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲线C上;或若点M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲线C上,则f(x0,y0)≠0.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟1.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线答案:D探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测A.两条直线答探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测用直接法求曲线的方程例2已知平面上两个定点A,B之间的距离为2a,点M到A,B两点的距离之比为2∶1,求动点M的轨迹方程.分析因为已知条件中未给定坐标系,所以需“恰当”建立坐标系.考虑到对称性,由|AB|=2a,选A,B两点所在的直线为x轴,AB中点为坐标原点,则A(-a,0),B(a,0),然后求解.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测用直接法求曲线探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:如图所示,以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.由|AB|=2a,可设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).因为|MA|∶|MB|=2∶1,探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:如图所示,探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟

直接法求曲线的方程根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟直接探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:(1)x+2y=4

(2)y2=12x(x>0)或y=0(x<0)探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:(1)x探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测例3已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为

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解析:由已知条件及中位线等几何知识可知,动点A满足到点(10,0)的距离等于定长6的条件,设顶点A的坐标为(x,y),因此可得(x-10)2+y2=36,考虑到构成△ABC,因此y≠0,所以所求方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).答案:(x-10)2+y2=36(y≠0)反思感悟

定义法求曲线方程的两种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测例3已知△AB探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练3到点(1,2)的距离等于

的动点Q的轨迹方程是(

)A.(x+1)2+(y+2)2=3 B.(x+1)2+(y+2)2=9C.(x-1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y-2)2=9解析:由圆的定义知动点Q的轨迹是以点(1,2)为圆心,以

为半径的圆,故其方程为(x-1)2+(y-2)2=3.答案:C探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练3到点探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测用相关点法求曲线的方程探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测用相关点法求曲探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟

“相关点法”的基本步骤(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x0,y0).(3)代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨迹方程.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟“相探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:y2=4x探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:y2=4探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测求曲线的交点问题例5试讨论圆x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4(k为参数)交点的个数.分析只需把直线方程与圆方程联立,求方程组解的个数即可.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测求曲线的交点问探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探