131 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性课件2

1.3函数的基本性质

1.3.1单调性与最大（小）值

第1课时函数的单调性

1.3函数的基本性质

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据.数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：123tyo20406080记忆的数量(百分数)天数100德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的123tyo204思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？123tyo20406080100记忆的数量(百分数)天数思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么1.理解单调函数的定义；（重点）2.理解增函数、减函数的定义；（重点）3.掌握用定义法判断函数单调性的步骤；（难点）4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间.1.理解单调函数的定义；（重点）能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyoxyoxyo局部上升或下降下降上升探究点函数单调性的定义能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋Oxy以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：f(x)=x2Oxy以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：f(x)=x2OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyxyO（-∞，0]上随x的增大而减小;[0，+∞）上

随x的增大而增大.xyO（-∞，0]上随x的增大而减小;[0，+∞）对区间D内任意x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)图象在区间I逐渐上升？OxDy区间I内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间D内任意x1，x2，图象在区间I逐渐上升？Ox对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升对区间D内x1，x2，xx1x2？Dyf对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)OMN任意区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升D根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义.对区间D内x1，x2，xx1x2都yf(

那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，

那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，D称为f(x)的单调增区间.当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<>单调区间设函数y=f(x)的定义域为I：增函数的定义.那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（3）x1,x2取值的任意性.（1）如果函数y=f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.提醒：判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；xyo(×)（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；yxO12f(1)f(2)(×)判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(xoy=(x-1)2-112-1yxy=x3o增区间为增区间为增区间为减区间为即时训练:xoy=2x+1yy写出下列函数的单调区间：xoy=(x-1)2-112-1yxy=x3o增区间为增区例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?解析：函数的单调区间有其中在区间上是减函数，在区间

上是增函数．例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据

整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并说出所画函数的单调区间.解：单调增区间是[8,12）,[13,18）;单调减区间是[12,13）,[18,20].【变式练习】整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，解：单131单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件2作差变形定号判断取值证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且V1<V2,所以，函数V∈(0,+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.作差变形定号判断取值证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2;②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;④判断：根据定义得出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:【总结提升】此为证明的关键点、易错点①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2;画出反比例函数f(x)=的图象.（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.探究实践画出反比例函数f(x)=的图象.探究实践函数图象如图互动探究：根据函数单调性的定义，结合函数的图象可知上述说法是错误的.函数图象如图互动探究：根据函数单调性的定义，结合函数的图象可131单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件2思考交流思考交流131单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件2解析：直线y=kx+b在k<0时，单调递减.∴2a-1<0,即a<D解析：直线y=kx+b在k<0时，单调递减.D2.函数的单调增区间是___________.3.函数f(x)=x2-2ax+3在(-∞，4]上是减函数，则a的取值范围为________．[4，+∞)【解题关键】可利用函数图象求解.（1，+∞）4.已知f(x)是R上的增函数，若f(a)>f(1-2a),则a的取值范围是

．【解题关键】利用增函数的定义可知，a>1-2a,即2.函数的单调增区间是_____5.若二次函数在区间上单调递增，求a的取值范围.

二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.

oxy1xy1o解析：5.若二次函数在区间6.证明函数在区间上是增函数.证明：任取，且，则因为得所以函数在区间[-2,+∞)上是增函数．6.证明函数在区间上是函数的单调性增函数增区间减函数减区间单调区间取

值

→

作

差

变

形

→

定

号

→

下结论

证明步骤函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内.关注函数的单调性增函数增区间减函数减区间单调取值→作差

如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵.如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小1.3函数的基本性质

1.3.1单调性与最大（小）值

第1课时函数的单调性

1.3函数的基本性质

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据.数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：123tyo20406080记忆的数量(百分数)天数100德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的123tyo204思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？123tyo20406080100记忆的数量(百分数)天数思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么1.理解单调函数的定义；（重点）2.理解增函数、减函数的定义；（重点）3.掌握用定义法判断函数单调性的步骤；（难点）4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间.1.理解单调函数的定义；（重点）能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyoxyoxyo局部上升或下降下降上升探究点函数单调性的定义能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋Oxy以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：f(x)=x2Oxy以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：f(x)=x2OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyxyO（-∞，0]上随x的增大而减小;[0，+∞）上

随x的增大而增大.xyO（-∞，0]上随x的增大而减小;[0，+∞）对区间D内任意x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)图象在区间I逐渐上升？OxDy区间I内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间D内任意x1，x2，图象在区间I逐渐上升？Ox对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升对区间D内x1，x2，xx1x2？Dyf对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)OMN任意区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升D根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义.对区间D内x1，x2，xx1x2都yf(

那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，

那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，D称为f(x)的单调增区间.当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<>单调区间设函数y=f(x)的定义域为I：增函数的定义.那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（3）x1,x2取值的任意性.（1）如果函数y=f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.提醒：判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；xyo(×)（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；yxO12f(1)f(2)(×)判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(xoy=(x-1)2-112-1yxy=x3o增区间为增区间为增区间为减区间为即时训练:xoy=2x+1yy写出下列函数的单调区间：xoy=(x-1)2-112-1yxy=x3o增区间为增区例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?解析：函数的单调区间有其中在区间上是减函数，在区间

上是增函数．例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据

整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并说出所画函数的单调区间.解：单调增区间是[8,12）,[13,18）;单调减区间是[12,13）,[18,20].【变式练习】整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，解：单131单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件2作差变形定号判断取值证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且V1<V2,所以，函数V∈(0,+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.作差变形定号判断取值证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2;②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;④判断：根据定义得出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:【总结提升】此为证明的关键点、易错点①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2;画出反比例函数f(x)=的图象.（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.探究实践画出反比例函数f(x)=的图象.探究实践函数图象如图互动探究：根据函数单调性的定义，结合函数的图象可知上述说法是错误的.函数图象如图互动探究：根据函数单调性的定义，结合函数的图象可131单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件2思考交流思考交流131单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件2解析：直线y=kx+b在k<0时，单调递减.∴2a-1<0,即a<