123 角的平分线的性质(第二课时)课件 人教版八年级数学上册

角的平分线的性质（第二课时）角的平分线的性质（第二课时）1回顾角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．书写：∵∠AOP=∠BOP

（OP平分∠AOB），PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE．回顾角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等2分析：标图1．已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得DE=DF．2．求证何来？“全等推相等”例

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．分析：标图例如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且B3∴∠PDF＝∠PEH.∴PD=PE=PF．即点P到三求证：EB=FC．理时，不必再使用全等证明一遍这个结论．∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，求证：EB=FC．于点F．求证：DE=DF．∵BM是△ABC的角平分线，1．已知可推？“角分双垂推相等”证明：作PH⊥AB于H．练习如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．点P在BM上，∴PD=PE=PF．即点P到三边AB,BC,CA的距离相等．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．求证何来？“距离需作垂”是M、N．求证：PM=PN．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：标图1．已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得DE=DF．2．求证何来？“全等推相等”例

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．∴∠PDF＝∠PEH.分析：标图例如图，△ABC中，AD4分析：标图1．已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得DE=DF．2．求证何来？“全等推相等”由Rt△BDE≌Rt△CDF得EB=FC．例

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．分析：标图例如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且B5在Rt△BDE和Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴EB=FC．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角的平分线的性质）．识别定理及对应基本图在Rt△BDE和Rt△CDF中,证明：识别定理及对应基本图6例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．分析：7例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．分析：8例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”．注意：两组“角分待双垂”．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．分析：9例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”．注意：两组“角分待双垂”．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．分析：10证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，11证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，∵BM12证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．同理

PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB,BC,CA的距离相等．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，∵BM13证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．同理

PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB,BC,CA的距离相等．复原基本图证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，∵BM14练习

如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．“角分无双垂”“距离需作垂”

练习如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB15练习

如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．“角分无双垂”“距离需作垂”想“作双垂”两组练习如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的16证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，

G，H．∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，

∴PF=PG．同理PG=PH．∴PF=PG=PH．即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．类比的想法证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，∵BD为17例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB18例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．分析：标图1．已知可推？“全等待条件”“双垂待角分”考虑连接AD例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB19例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．分析：标图1．已知可推？“全等待条件”“双垂待角分”2．求证何来？“角分双垂推相等”更好“全等推相等”考虑连接AD例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB20例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．整理思路：连接AD，证明△ABD≌

△ACD由全等证角等“角分双垂推相等”例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB21证明：连接AD．

在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌

△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．复原基本图作公共部分证明：连接AD．在△ABD与△ACD中，复原基本图22练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，23练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．分析：标图1．已知可推？“角分无垂直”，练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，分析：标24练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．分析：标图1．已知可推？“角分无垂直”，考虑“作双垂”．

练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，分析：标25练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．∠PEO分析：标图1．已知可推？“角分无垂直”，考虑“作双垂”．2．猜测∠PDA=∠PEO；求证何来？构造的全等．练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，26解：∠PDA=∠PEO．理由如下：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．∵OP平分∠AOB，∴PF=PH．在Rt△PDF与Rt△PEH中，

∴Rt△PDF≌Rt△PEH

（HL）．∴∠PDF＝∠PEH.∴∠PDA=∠PEO．解：∠PDA=∠PEO．理由如下：∵OP平分∠AOB27小结在我们运用角的平分线的性质处理问题时：1．熟悉定理及其对应的基本图；2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线是:补全基本图；如:过角平分线上的点向角两边作垂线；3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定理时，不必再使用全等证明一遍这个结论．小结28同理PE=PF．∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∵BM是△ABC的角平分线，∴△ABD≌△ACD（SSS）．例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，∴∠BAD=∠CAD，∴DE=DF（角的平分线的性质）．“全等待条件”“双垂待角分”CA，垂足分别为D，E，F．是M、N．求证：PM=PN．，并证明你的结论．于点F．求证：DE=DF．同理PE=PF．求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC．∴∠PDA=∠PEO．1．已知可推？“角分无垂直”，练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，∵BM是△ABC的角平分线，∴∠PDA=∠PEO．PE⊥OB于E，求证何来？“距离需作垂”1．已知可推？“角分无垂直”，1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD

=AB：AC．作业同理PE=PF．1．如图，在△ABC中，AD是它的29作业2．如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．求证：PM=PN．作业2．如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，30同学们，再见！同学们，再见！31例如图，△ABC中，∠C

=90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）分析：PC即点P到边BC，①点P首先满足到BC和到斜边AB的距离相等；②点P在AC上．例如图，△ABC中，∠C=90°，试在AC上找分析：32例如图，△ABC中，∠C

=90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）作法：作∠ABC的平分线，交AC于点P．则点P为所求．例如图，△ABC中，∠C=90°，试在AC上找作法：作33例如图，△ABC中，∠C

=90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）作法：作∠ABC的平分线，交AC于点P．则点P为所求．证明：作PH⊥AB于H．∵∠C

=90°，∴PC⊥AC．∴PC

=PH．例如图，△ABC中，∠C=90°，试在AC上找作法：作34角的平分线的性质（第二课时）角的平分线的性质（第二课时）35回顾角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．书写：∵∠AOP=∠BOP

（OP平分∠AOB），PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE．回顾角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等36分析：标图1．已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得DE=DF．2．求证何来？“全等推相等”例

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．分析：标图例如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且B37∴∠PDF＝∠PEH.∴PD=PE=PF．即点P到三求证：EB=FC．理时，不必再使用全等证明一遍这个结论．∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，求证：EB=FC．于点F．求证：DE=DF．∵BM是△ABC的角平分线，1．已知可推？“角分双垂推相等”证明：作PH⊥AB于H．练习如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．点P在BM上，∴PD=PE=PF．即点P到三边AB,BC,CA的距离相等．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．求证何来？“距离需作垂”是M、N．求证：PM=PN．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：标图1．已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得DE=DF．2．求证何来？“全等推相等”例

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．∴∠PDF＝∠PEH.分析：标图例如图，△ABC中，AD38分析：标图1．已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得DE=DF．2．求证何来？“全等推相等”由Rt△BDE≌Rt△CDF得EB=FC．例

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．分析：标图例如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且B39在Rt△BDE和Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴EB=FC．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角的平分线的性质）．识别定理及对应基本图在Rt△BDE和Rt△CDF中,证明：识别定理及对应基本图40例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．分析：41例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．分析：42例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”．注意：两组“角分待双垂”．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．分析：43例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”．注意：两组“角分待双垂”．例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．分析：44证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，45证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，∵BM46证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．同理

PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB,BC,CA的距离相等．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，∵BM47证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．同理

PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB,BC,CA的距离相等．复原基本图证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，∵BM48练习

如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．“角分无双垂”“距离需作垂”

练习如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB49练习

如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．“角分无双垂”“距离需作垂”想“作双垂”两组练习如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的50证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，

G，H．∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，

∴PF=PG．同理PG=PH．∴PF=PG=PH．即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．类比的想法证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，∵BD为51例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB52例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．分析：标图1．已知可推？“全等待条件”“双垂待角分”考虑连接AD例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB53例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．分析：标图1．已知可推？“全等待条件”“双垂待角分”2．求证何来？“角分双垂推相等”更好“全等推相等”考虑连接AD例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB54例

已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE=DF．整理思路：连接AD，证明△ABD≌

△ACD由全等证角等“角分双垂推相等”例已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB55证明：连接AD．

在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌

△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．复原基本图作公共部分证明：连接AD．在△ABD与△ACD中，复原基本图56练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，57练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．分析：标图1．已知可推？“角分无垂直”，练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，分析：标58练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．分析：标图1．已知可推？“角分无垂直”，考虑“作双垂”．

练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，分析：标59练习

如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与∠PDA相等的角是

，并证明你的结论．∠PEO分析：标图1．已知可推？“角分无垂直”，考虑“作双垂”．2．猜测∠PDA=∠PEO；求证何来？构造的全等．练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，60解：∠PDA=∠PEO．理由如下：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．∵OP平分∠AOB，∴PF=PH．在Rt△PDF与Rt△PEH中，

∴Rt△PDF≌Rt△PEH

（HL）．∴∠PDF＝∠PEH.∴∠PDA=∠PEO．解：∠PDA=∠PEO．理由如下：∵OP平分∠AOB61小结在我们运用角的平分线的性质处理问题时：1．熟悉定理及其对应的基本图；2