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文档简介
2022年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若双曲线:()的一个焦点为,过点的直线与双曲线交于、两点,且的中点为,则的方程为()A. B. C. D.2.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()A.的值域是 B.是奇函数C.是周期函数 D.是增函数3.已知等差数列中,,,则数列的前10项和()A.100 B.210 C.380 D.4004.如图,在正方体中,已知、、分别是线段上的点,且.则下列直线与平面平行的是()A. B. C. D.5.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:①它的图象关于直线x=对称;②它的最小正周期为;③它的图象关于点(,1)对称;④它在[]上单调递增.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④6.已知向量,,则向量在向量上的投影是()A. B. C. D.7.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.则下列结论中表述不正确的是()A.从2000年至2016年,该地区环境基础设施投资额逐年增加;B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多;C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番;D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.8.已知,,,若,则正数可以为()A.4 B.23 C.8 D.179.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为()A. B. C. D.10.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.311.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为()A. B.1 C. D.12.设,则复数的模等于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知平面向量,,且,则向量与的夹角的大小为________.14.如图,在长方体中,,E,F,G分别为的中点,点P在平面ABCD内,若直线平面EFG,则线段长度的最小值是________________.15.设变量,,满足约束条件,则目标函数的最小值是______.16.(5分)某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素(这些元素可以延缓衰老,还能起到抗癌的效果)对人体的作用,现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验,则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线E:y2=2px(p>0),焦点F到准线的距离为3,抛物线E上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C.(1)求抛物线E的方程;(2)求△ABC面积的最大值.18.(12分)已知.(1)若曲线在点处的切线也与曲线相切,求实数的值;(2)试讨论函数零点的个数.19.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设点,直线与曲线相交于,,求的值.20.(12分)已知在多面体中,平面平面,且四边形为正方形,且//,,,点,分别是,的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21.(12分)设函数(其中),且函数在处的切线与直线平行.(1)求的值;(2)若函数,求证:恒成立.22.(10分)对于给定的正整数k,若各项均不为0的数列满足:对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.(1)证明:等比数列是“数列”;(2)若数列既是“数列”又是“数列”,证明:数列是等比数列.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
求出直线的斜率和方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合焦点的坐标,可得的方程组,求得的值,即可得到答案.【详解】由题意,直线的斜率为,可得直线的方程为,把直线的方程代入双曲线,可得,设,则,由的中点为,可得,解答,又由,即,解得,所以双曲线的标准方程为.故选:D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解,其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组,合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.2.C【解析】
根据表示不超过的最大正整数,可构建函数图象,即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数,其函数图象为选项A,函数,故错误;选项B,函数为非奇非偶函数,故错误;选项C,函数是以1为周期的周期函数,故正确;选项D,函数在区间上是增函数,但在整个定义域范围上不具备单调性,故错误.故选:C【点睛】本题考查对题干的理解,属于函数新定义问题,可作出图象分析性质,属于较难题.3.B【解析】
设公差为,由已知可得,进而求出的通项公式,即可求解.【详解】设公差为,,,,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和,属于基础题.4.B【解析】
连接,使交于点,连接、,可证四边形为平行四边形,可得,利用线面平行的判定定理即可得解.【详解】如图,连接,使交于点,连接、,则为的中点,在正方体中,且,则四边形为平行四边形,且,、分别为、的中点,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,因此,平面.故选:B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定,考查了推理论证能力和空间想象能力,属于中档题.5.B【解析】
根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式,再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由图象的平移变换公式知,函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期为,故②正确;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是对称轴,故①错误;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函数g(x)的图象关于点(,1)对称,故③正确;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④错误;故选:B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质;考查运算求解能力和整体代换思想;熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型6.A【解析】
先利用向量坐标运算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.7.D【解析】
根据图像所给的数据,对四个选项逐一进行分析排除,由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项,由图像可知,投资额逐年增加是正确的.对于选项,投资总额为亿元,小于年的亿元,故描述正确.年的投资额为亿,翻两翻得到,故描述正确.对于选项,令代入回归直线方程得亿元,故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力,考查利用回归直线方程进行预测的方法,属于基础题.8.C【解析】
首先根据对数函数的性质求出的取值范围,再代入验证即可;【详解】解:∵,∴当时,满足,∴实数可以为8.故选:C【点睛】本题考查对数函数的性质的应用,属于基础题.9.C【解析】
由题意,可根据向量运算法则得到(1﹣m),从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程,求出t的值.【详解】由题意及图,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故选C.【点睛】本题考查平面向量基本定理,根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键,本题属于基础题.10.C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;11.C【解析】该几何体为三棱锥,其直观图如图所示,体积.故选.12.C【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由,解得,进而求出,即可得出结果.【详解】解:因为,所以,解得,所以,所以向量与的夹角的大小为.都答案为:.【点睛】本题主要考查平面向量的运算,平面向量垂直,向量夹角等基础知识;考查运算求解能力,属于基础题.14.【解析】
如图,连接,证明平面平面EFG.因为直线平面EFG,所以点P在直线AC上.当时.线段的长度最小,再求此时的得解.【详解】如图,连接,因为E,F,G分别为AB,BC,的中点,所以,平面,则平面.因为,所以同理得平面,又.所以平面平面EFG.因为直线平面EFG,所以点P在直线AC上.在中,,故当时.线段的长度最小,最小值为.故答案为:【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明,考查立体几何中的轨迹问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.7【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y,将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值∴z最小值=F(2,1)=716.【解析】
记只雌蛙分别为,只雄蛙分别为,从中任选只牛蛙进行抽样试验,其基本事件为,共15个,选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为,共9个,故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)y2=6x(2).【解析】
(1)根据抛物线定义,写出焦点坐标和准线方程,列方程即可得解;(2)根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离,得出面积,利用均值不等式求解最大值.【详解】(1)抛物线E:y2=2px(p>0),焦点F(,0)到准线x的距离为3,可得p=3,即有抛物线方程为y2=6x;(2)设线段AB的中点为M(x0,y0),则,y0,kAB,则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0(x﹣2),①可得x=5,y=0是①的一个解,所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点,且点C(5,0),由①可得直线AB的方程为y﹣y0(x﹣2),即x(y﹣y0)+2②代入y2=6x可得y2=2y0(y﹣y0)+12,即y2﹣2y0y+2y02=0③,由题意y1,y2是方程③的两个实根,且y1≠y2,所以△=1y02﹣1(2y02﹣12)=﹣1y02+18>0,解得﹣2y0<2,|AB|,又C(5,0)到线段AB的距离h=|CM|,所以S△ABC|AB|h•,当且仅当9+y02=21﹣2y02,即y0=±,A(,),B(,),或A(,),B(,)时等号成立,所以S△ABC的最大值为.【点睛】此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程,根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值,表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入,抛物线中需要考虑设点坐标的技巧,处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.18.(1)(2)答案不唯一具体见解析【解析】
(1)利用导数的几何意义,设切点的坐标,用不同的方式求出两种切线方程,但两条切线本质为同一条,从而得到方程组,再构造函数研究其最大值,进而求得;(2)对函数进行求导后得,对分三种情况进行一级讨论,即,,,结合函数图象的单调性及零点存在定理,可得函数零点情况.【详解】解:(1)曲线在点处的切线方程为,即.令切线与曲线相切于点,则切线方程为,∴,∴,令,则,记,于是,在上单调递增,在上单调递减,∴,于是,.(2),①当时,恒成立,在上单调递增,且,∴函数在上有且仅有一个零点;②当时,在R上没有零点;③当时,令,则,即函数的增区间是,同理,减区间是,∴.ⅰ)若,则,在上没有零点;ⅱ)若,则有且仅有一个零点;ⅲ)若,则.,令,则,∴当时,单调递增,.∴又∵,∴在R上恰有两个零点,综上所述,当时,函数没有零点;当或时,函数恰有一个零点;当时,恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识,求解切线有关问题时,一定要明确切点坐标.以导数为工具,研究函数的图象特征及性质,从而得到函数的零点个数,此时如果用到零点存在定理,必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.19.(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(为参数)直接消去参数,可得直线的普通方程,把两边同时乘以,结合,可得曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)把代入,化为关于的一元二次方程,利用根与系数的关系及参数的几何意义求解.【详解】解:(Ⅰ)由(为参数),消去参数,可得.∵,∴,即.∴曲线的直角坐标方程为;(Ⅱ)把代入,得.设,两点对应的参数分别为,则,.不妨设,,∴.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键,是中档题.20.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)构造直线所在平面,由面面平行推证线面平行;(2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,再由法向量之间的夹角,求得二面角的余弦值.【详解】(1)过点交于点,连接,如下图所示:因为平面平面,且交线为,又四边形为正方形,故可得,故可得平面,又平面,故可得.在三角形中,因为为中点,,故可得//,为中点;又因为四边形为等腰梯形,是的中点,故可得//;又,且平面,平面,故面面,又因为平面,故面.即证.(2)连接,,作交于点,由(1)可
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