级数求和的常用方法

优质文档1.7方程式法....................................................31.8原级数转化为子序列求和......................................31.9数项级数化为函数项级数求和..................................31.10化数项级数为积分函数求原级数和.............................41.11三角型数项级数转化为复数系级数.............................41.12构造函数计算级数和.........................................51.13级数讨论其子序列...........................................51.14裂项法求级数和.............................................61.15裂项+分拆组合法............................................71.16夹逼法求解级数和...........................................72函数项级数求和....................................................82.1方程式法....................................................82.2积分型级数求和..............................................82.3逐项求导求级数和............................................92.4逐项积分求级数和............................................92.5将原级数分解转化为已知级数.................................102.6利用傅里叶级数求级数和.....................................102.7三角级数对应复数求级数和...................................112.8利用三角公式化简级数.......................................122.9针对2.7的延伸.............................................122.10添加项处理系数............................................122.11应用留数定理计算级数和....................................132.12利用Beta函数求级数和.....................................14参考文献...........................................................15人挪活树挪死优质文档级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.数项级数求和1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和 .n(n1)dn(a1an）为首项，d为公差sna1，其中a122证明：s=a1+a2+...+an①，s=an+...+a2+a1②①+②得：2s(a1an）+a2+an-1+...+(an+a1)因为等差级数a1an...an+a1n(a1an）所以s此证明可导出一个方法“首尾相加法”见首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和.例1:求cn03cn15cn2...(2n1)cnn.解：scn03cn15cn2...(2n1)cnn，s(2n1)cnn...5cn23cn1cn0，两式相加得：2s(2n2)(2cn1cn0)(n1)2n1，即：cn03cn15cn2...(2n1)cnn(n1)2n.1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和 .当q=1，sna1；当q≠1，sa1(1qn)，其中a1为首项，q为公比.1q证明：当q=1，易得sna1，当q≠1，s=a1+a1q1+...+a1qn1①，qs=a1q+a1q2+...+a1qn②，①-②得(1q)sa1a1qn.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4人挪活树挪死优质文档1.4 错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比 q，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和 .例2：计算2n1.2n解：s135...2n1①，2s135...2n1②，222232n2222n1n2k1n2k1n22n1112n112n1②-①得：s2ss1112n13，k22k1k12kk12k2n112n2n12n2lims=3.n1.5蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和.例3：计算n.(i2i1i2)i1解：将各项展开可得：s(1223)(2234)...(n22n1n)(n12nn1)(n2n1n2)12-n+1+n2121，所以lims1-2.n1n2n1.6有理化法求级数和对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.例4：计算1.n(n1)(nn1)n1解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项an1，对其分母有理化得：1)(nnn(n1)1分母有理化n1n1-1，则原级数可以采用本文中的1.5“蕴含型n(n1)(n1)nn(n1)nn1级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为 1.1.7方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例5：计算qcos q2cos2 ... qncosn ，其中q 1.人挪活树挪死优质文档n解：记s=qcosq2cos2...qncosn=qkcoskk=1两边同时乘以2qcos得nk+1cosnk+12qcoss=2qcosk=q（k+1）（k-1)cos+cosk=1k=1即：2qcoss=（qn+1cos（n+1）sqcos)(q2q2sqn2cosn)解此方程得：s=qn2cosnqn1cos(n1)qcosq21q22qcoslimsqcosq2.q22qcosn11.8原级数转化为子序列求和若下列条件成立[1]:（1）当n时级数的通项an0（）级数各项没有破坏次序的情况而得2新序列 bn收敛于原级数 .n1例6：计算1+1+（1-1）+1+1+（1-1）+1+1+（1-1）+....2 3 4 5 62 7 8 93解：liman0，应用欧拉公式1+1+1...1clnnen，其中c为欧拉常数，n23nen0(n)s1+1+1+...+1-1-1-...-1233n2nln3nlnne3n-en，limsln3.n1.9数项级数化为函数项级数求和数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.例7：求级数和1.35n11...（2n-1）解：建立函数项级数s(x)n11351x2n1由函数敛散性知识可知其收敛域为...（2n-1）(,)，将函数项级数逐项求导可得：s'(x)111x2n2=n135...（2n-3）1x1x2n11xs(x)，由此可知s(x)满足微分方程n1135...（2n-1）人挪活树挪死优质文档s'(x)xs(x)1，且易知s(0)0，解此常微分方程得：s(x)1x2x1t21则可以求出原级数和：s111t2e2e2dt，令xe2e2dt.001.10 化数项级数为积分函数求原级数和将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将 n与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.例8：计算1，其中(n).1nkk解：记s1limn11分子分母同时除以n构造分割1dx=ln2.k1nknk11kn建立级数与积分的桥梁01+xn1.11三角型数项级数转化为复数系级数将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.例9[7]：设scosq2cos2...qncosn，求s.=qnk解：由于s=qcoskk1

，令z qei q(cos isin )为复数，其中k 0,1,2...zkqkeikqk(coskisink)，其中k1,2...，得：1zn1nzk1+zz2...zn1q(cosisin)q2(cos2isin2)+z1k0q3(cos3isin3)+...+qn(cosnisinn)1qcosq2cos2q3cos3...+qncosni(qsinq2sin2...qnsinn)而另一方面1zn11qn1(cos(n+1)isin(n+1))=1q21z1q(cosisin)1-2qcos｛1qcosqn1cos(n1)qn2cos(n1)cosqn2sin(n1)sin+iqsinqn2cos(n1)sinqn1sin(n1)qn2sin(n1)cos｝取实部对应原级数和即得：1s12(1qcosqn1cos(n1)qn2cosn)即：1-2qcosqs1q2(1qcosqn1cos(n1)qn1cosn12qcosq2)1-2qcos人挪活树挪死优质文档当n，且q<1时limsqcosq21q2.n2qcos1.12 构造函数计算级数和将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.例10[7]：请计算下面的级数式子：记s=（1-t）(tt2t3+...tn...)，其中t-.t1t21t3tn111解：构造函数式子：f(x)exx1,此函数在[0,)单调递减.1e1ex由于exdxd(1ex)dxln(1ex)|0ln2，1ex1ex00令hlnt，满足limhlimlnt=0t1t11t1elnt1eh1ehh，tk(elnt)kehk1f(kh).htk1(elnt)k1ehk代入题目中的级数式子得：（）(tt2t3+...tn...)=t+1t1ttt111lim1ehhf(kh)=lim1ehhf(kh)exdxln2.h0hk1h0hk10ex11.13级数讨论其子序列引理[1]：数列{s}收敛的充分必要条件是{s}的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数列nn{sn}收敛于s的充分必要条件是两个互补的子列{s2n},{s2n1},收敛于同一极限.推广可得：定理[1]：若级数 an通项满足当n 时，an 0（收敛判别的必要条件）， an收敛于s的充分必要条件是：n1 n1部分和{sn}的一个子序列{snp}收敛于s，其中p满足：p是某个正整数p=1，2，⋯将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和， 关键在于如何分解原级数为不同子序列， 然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和1.6的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.人挪活树挪死优质文档cos2n例11[6]：计算：3.n12ncos2n解：记sn12n3，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解为：A1{n|n3k,k0,1,2...}，A2{n|n3k1,k0,1,2...}，A3{n|n3k2,k0,1,2...}.cos2ncos2ncos2ncos2n则：3=3+3+3n02nnA12nnA22nnA32n2（+）1312113（（））kk023k23k1+k23k2cos3+43(23)k0021+cos+k=01115cos2n2，所以：sn31.(1)14817n12781.14 裂项法求级数和针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出.裂项一般形式：11(x11)，此处mn.(xm)(x+n)nmmxn例12：计算s11...1.123234n(n1)(n2)解:记an1，an1111)(n2[1)]n(n2)n(n(n1)(n2)n1111n针对同理采用裂项法记bn则k1k(k1)n(n1)nn1k1

1=k(k 1)(11)(11)(11)(11)(11)+...+(11)223344556nn11-1，limn111，所以lim[1-]n1nk1k(k1)nn1

裂项后后面项可以消去前面项部分这就是裂项法的好处！n11nlimlimnk1k(k1)(k2)2nk1

11[]=k(k1)(k1)(k2)人挪活树挪死优质文档1n11n111)=11(11)1.limlim(2nk1k(k1)2nk1k(k1)222241.15 裂项+分拆组合法将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.例13：计算n.（n+3）n1(n+1)(n+2)解：1123n5n+1n+2n+3（+3）(n+1)(n+2)nn1(112)51=（+3）3n1n+1n+2（n+3）n1(n+1)(n+2)nn+33n1(n+1)(n+2)11251113()3().234641.16夹逼法求解级数和在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.[8]：设m为一给定的正整数，求1例14n1,mnm22.nmN1m11mN1解：smNn1m2n2n1mm2n2n1,mnm2n21[1111...11mN2mm1m1m2m212m1nm1

11](mn)mn1(11...1N11...111)2m22m2Nm2m2m<11N1...1<2m且N时，lim2m0，且N2mN2N2mN+1NN+1lim2m0，所以limsmN032，即21232NN+2mN4mn1,mnmn4m函数项级数求和函数项级数和依据未知数 x的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和 .2.1 方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和 .例15：计算函数项级数x2x3x4x5x6s(x)1x1324135...2246解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为 ，人挪活树挪死优质文档逐项求导得s'(x)1xx2x3...即：s'(x)1xs(x)s(0)12x2xt2解此微分方程得：s(x)e2(e2dt1).02.2 积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.例16：计算级数x|sinxcosx|dx.(2k1)2ksinxk0解：因为x(2k,(2k1）），作变量替换x2kt得：(2k1)x|sinxcosx|dx=(kt）cost|dtekt|sintcost|dte2e2|sinte22ksinx0sint0sintt再根据： e2

|sintcost|tsin'te2(sintC得：dt)dtsintsinte(kt）|sintcost|dttsintcostdt24e20sint0sintttt2e2sint|42e2sint|=2e2sint|42e004

e2tsintcostdt=4sintt2sint|4e8sintc248e8.4所以原级数=ekte2k00

sintcostdt1248e8.sint1e2.3 逐项求导求级数和根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。泰勒定理[1]：若函数f(x)在x0的某领域内存在n1阶的连续导数，则f(x)=f(x0)f'(x0)(xf''(x0)2...f(n)(x0)(xx0)nRn(x)，这里Rn(x)是拉格朗日余项即x0)+2！(xx0)！nR(x)f(n1)(x0)(xx)n1.设f(x)在区间(x0r,x0r)内等于它的泰勒级数的和的充要条件：对一切n+1！0n满足不等式|xx0|r的x，有limRn(x)0，上式右边称为f(x)在xx0处的泰勒展开式.由泰勒展n开式可知右边是个级数，而在求解级数时我们可以逆向来看，已知以级数和像求f(x)的方向行进，人挪活树挪死优质文档找准各阶对应的导数形式，并按泰勒级数的样子提炼出f(x).但在实际应用中f(x)在x00处的级数应用较多，称为麦克劳林级数.而由泰勒级数的定义可以将一些基本初等函数推导出来，再有基本初等函数推导复合函数的级数和形式，反过来即是求级数和.这也不失为一种求级数和的选择.这中方式在前面函数项级数求和的过程中已经有所运用，在此总结是为了形成一种较为普遍的方法.即使是级数逐项求导积分法也是基于此理论基础之上的.(1)nx4n1例17：求解s(x)4n1.n0解：由莱布尼茨定理可以判断此交错级数收敛，且收敛区间为[-1,1],将级数逐项求导可得：s'(x)(1)nx4n(x4)n1(利用易知麦克劳林展式(1)xn1)n0n01x4n01x再积分回去便得到级数和 .2.4逐项积分求级数和通过级数逐项积分收敛半径不变原理，对原级数逐项积分后化为一些易求的幂级数，再往回求导，可求出原级数和.例18：计算 nxn.n0解：记s(x)nxnx2x23x34x4...，对其逐项积分得：n0x1x22x33x4...(11)x2(11)x3...=s(t)dt023423(xx2x3x4...)(x1x21x31x4...)=xln(1x)，其中x(1,1)，2341x所以s(x)nxn(xln(1x))'=x.n11x(1x)22.5 将原级数分解转化为已知级数分解为已知在数学中是一种基本的技巧， 通过转化为我们所知道的知识解决原复杂问题在很多地方都是个不错的想法，因此在解决级数和的问题时我们也引入这思想.我们已知在幂级数中已知的麦克劳林展式有好几个，我们要将这几个基本初等函数的展式牢记于心，还要学会利用拉格朗日展式的角度逆向思考级数求和的问题 .我们简单的引入一个问题来说明这种方式，主要是引入这种思想 .例19：计算1n.n2(n21)2解：记s21n分解1（11)1n，n2(n1)22n2n1n12利用ln(1x)的麦克劳林展式得：s1ln(11)ln(11)11=53ln2.2.64222884利用傅立叶级数求级数和通过构造函数，并通过延拓的方式求此函数的傅立叶展式，再由收敛定理求解函数值即可求出原级数和，关键在于准确找出傅立叶函数.人挪活树挪死优质文档例20：计算1.n1n2解：构造傅立叶函数f(x)=x2,其中x[0,]作偶延拓得:g(x)=x2,x由此可知傅立叶系数为：bn0，其中n1,2,3...a02x2dx22，03an2x2cos(nx)dx2x2sin(nx)|0404xsin(nx)dx4xcos(nx)|04cos(nx)dx(1)n40nnn2n20n2，（其中n1,2,3...）.由狄利克雷收敛条件可知：2124，进而可得：3n1n2n1

2(1)n，其中0x现在令x得：f(x)34n1n2cos(nx)12.n26说明：有了以上结果数项级数的关于12就可以套用公式了，如：利用2.6结果求解级数和，n1n2.6的结果是一个很常用的级数和公式，因此我们可以直接拿来用.例21：计算，n）1.x(1x，其中满足xn1n(1x2n)解：任意x（0，1），记n(1）xnn(1）xn1un(x)=xxn(1xx，n(1x2n)x...x2n1)n(1x2n)nnxnn2由魏尔斯特拉斯定理，因为级数1收敛，所以题目中级数在（0，1）上一致收n1n2敛.limun(x)limn）limxn1an，x(1xx2nx1x1n(1x2n)x1n(1x...1)2n2limn(1）limanlim111，因为12xx，所以带入上面式子可得级数和为x1n1n(1x2n)x1n1x1n12n22n1n2n1n262.122.7三角级数对应复数求级数和三角函数与复数有天然的对应关系，因此将其化归到复数域上再利用复数域知识求解，从而获得原级数的和.人挪活树挪死优质文档例22[7]：计算sinnx.n1n解：由复数域上幂级数的麦克劳林展式可知：ln11zn,zeix，及zn1nl1ln(1xciosx1sin)xln(i2sxinsxsinnx，由n22co)lna|r2cstiainn|1z1cxos2n1nznconsxsnixncosnxln|2sinx，其中x(0,2)，n1nni，对应实部得n|n1n1nn12sinnxarctan1sinxarctan(cotx)arctan(tan2x)x.n1ncosx222.8利用三角公式化简级数三角级数还可以利用三角公式化简三角级数，化简后的级数可能比原级数容易求解些，通常复杂级数求和都是要转化，转化为能求和的方向.例23：计算sinnasinnx.n1n解：由三角函数的积化和差公式可知：原级数=1cosn(xa)1cosn(xa)1xa1xa1sinxa利用2.7的实部2ln||，其ln|2sin|ln|2sin|2n1n2n1n222xa22sin2中未知数x满足：x{x|0xa2}{x|0xa2}.2.9 针对2.7的延伸在此对2.8的延伸，并不是意味着2.8是个通用的级数和式子，只是看见了另外的一个题可以运用2.8，在此列出是为了表明在求级数和的过程中一些复杂级数可以由另外一些级数求和的，因此遇见复杂级数求和的时候要多注意平常积累的例子，想想平时有没有遇见类似的级数求和问题.例24：计算sin(2n1)x.n12n1解：令f(x)sinnx，由2.8可知f(x)sinn|x||x|其中未知数满足nsgnx=sgnx2n1n1nx(2,2)，令f1(x)sin(2k1)x，f2(x)sin2kx.有n12k1n12kf2(x)sgnx1sin(2k|x|)sgnx12|x|，由f(x)f1(x)f2(x)，2k1k22当x(,)时，有sgnx2|x|f1(x)sgnx2|x|，于是24人挪活树挪死优质文档f1(x)sgnx(|x|2|x|sgnx,x(,).24)2.104添加项处理系数例25：计算xx2x4...，其中|x|1.x21x41x812n解：令knx,n0,1,2...，当x1时，1n1x2xxxx21x1x2(1x)1x21x2x2x24(1+x2)x2x24x44...x2x241x1x1x1x1x1x1x...x2nx2n1k1k2...knrn，其中rnx2n11n1n1=k0n2，x21x21x2当:|x|1时，rn0，于是：knlim(xrn)x.n1x1x2.11应用留数定理计算级数和定理[8]：若函数（z)满足以下两个条件：（1）（z)在复平面具有孤立奇点z0，z1，⋯zt，且这些孤立奇点不为整数及，除去上述奇点外（z)在其它各处都解析；（2）(1)nl(z),zs).n(n)s0Res(csc(z)证明：研究围道积分Res(csc(z)(z),j)nlim1z)(z)nlim1(z)1nlim(1)j(j)cjnzjsin(jnzjcos(z)jnzjn又由函数f(z)满足留数定理的条件，则根据定理我们可以得到如下的等式：1csc(z)(z)dznRes(csc(z)(z),j)lRes(csc(z)(z),zs)1n(1)j(j)+lRes(csc(z)(z),zs)（1）由引理，csc(z)2icnjns0jns0在cn上有界，即存在M0，使得|csc(z)|M.于是0|csc(z)(z)dz||cos(z)(z)||dz|M|(z)||dz|，两边取极限得cncncn0lim|csc(z)(z)dz|lim|cos(z)(z)||dz|limM|(z)||dz|0ncnncnncn即：lim|csc()(，z所以li1cszc(，对（1）式取极限得到ncnn2icn人挪活树挪死优质文档0=lim1n(1)j(j)limlRes(csc(z)(z),zs).所以nnns0j(1)nl(n)Res(csc(z)(z),zs).证明完毕.s0结论的应用：n例26[8]：求级数(21)