专题1第讲集合、简易逻辑

考题分析“集合”是一最基础的数学知识点，也是一重要的数学知识点，是一必考内容．本小题重点考查了集合的表示方法和集合的基本运算，以及集合元素的特征．体现了集合与不等式的简单结合．题目难度不大，体现了高考面向全体考生、注重基础的原则．易错提醒(1)容易忽视集合元素的特征．例如集合A

中的元素x∈R，集合B

中的元素x∈Z.

(2)没有掌握“集合”及“交集”的意义．

(3)运算错误．主干知识梳理集合的基本概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．运算性质及重要结论

(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.四种命题及其关系

(1)命题的定义可以判断真

语句叫做命题，可以写成“若

p则q”的形式，其中p

是条件，q

是结论．四种命题间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．充分必要条件．简单的逻辑联结词逻辑联结词“且”，“或”，“非”用逻辑联结词“且”把命题

p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p

且q”；用逻辑联结词“或”把命题

p

和命题q

联结起来，就得到一个新命题，记作“p

或q”；对一个命题p

全盘否定，就得到一个新命题，记作“綈p”．命题p

且q，p

或q

及綈p

真假可以用下表来判定.pqp

且qp

或q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真热点分类突破题型一

集合的运算例1

设全集是实数集

R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．当a＝－4时，分别求A∩B和A∪B；若(∁RA)∩B＝B，求实数a

的取值范围．(1)化简集合

A、B，利用数轴求

A∩B

和思维启迪A∪B.(2)由(∁RA)∩B＝B，转化为B⊆∁RA，进而确定a的关系式求解．解

(1)由

2x2－7x＋3≤01，得2≤x≤3，∴A＝{x

1

x≤3}．|2≤当a＝－4

时，解x2－4<0，得－2<x<2，∴B＝{x|－2<x<2}．∴A∩B＝{x

1≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}．|2(2)∁

A＝{x|x<1

x>3}，R

2或当(∁RA)∩B＝B

时，B⊆∁RA.①当B＝∅时，即a≥0

时，满足B⊆∁RA；②当B≠∅时，即a<0

时，B＝{x|－

－a<x<

－a}，R要使

B⊆∁

A，须

－a1

1≤2，解得－4≤a<0.综上可得，实数a

的取值范围是a1≥－4.探究提高

(1)有关集合的交、并、补的运算，应先求各集合中的元素，利用

或数轴去解决．注意转化关系：(∁RA)∩B＝B⇔B⊆∁RA，类似地A∪B＝B⇔A⊆B.B⊆∁RA

的转化，应注意对

B

进行 ，B为空集或

B

为非空集合，遗漏

B＝∅是易错点，要特别注意．变式训练

1

(2010·浙江)设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则A．P⊆QB．Q⊆PD．Q⊆∁RP(

B

)C．P⊆∁RQ解析

Q＝{x|－2<x<2}，∴Q⊆P.题型二

命题与逻辑联结词例

2

已知命题

p：所有有理数都是实数；命题

q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是A．(綈p)或qC．(綈p)且(綈q)B．p

且qD．(綈p)或(綈q)(

D

)思维启迪本题可以根据有关的数学知识判断p、q的真假，再将p、q

否定并判断真假，最后，验证答案哪个为真．解析

不难判断命题

p为真命题，命题

q为假命题，从而上述叙述中只有(綈

p)或(綈

q)为真命题．探究提高

对含有逻辑联结词题的真假判断，一是要抓住题目中给出的基本命题的真假判断准则，这需要有其他数学知识作基础；二是要抓住含有逻辑联结词题的真假判断准则．变式训练

2

已知命题

p：若

xy≠15，则

x≠5或

y≠3；命题

q：A、B

是锐角三角形的两内角，则

sin

A>cos

BA．(綈p)且qC．p

且(綈q)B．p

且qD．(綈p)或(綈q)则下列命题中为真命题的是

(

B

)解析

“若

xy≠15，则

x≠5

或

y≠3”的逆否命题为“若

x＝5

且

y＝3，则

xy＝15”，逆否命题显然正确，所以命题

p

为真命题．π又

A＋B>π

∴A>

－B，2，

2∴sin

A>sin(π

B)，即sin

A>cos

B，2－所以命题q

为真命题．故p

且q

为真命题．题型三充分必要条件例3

已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0

(m>0)，且綈

p

是綈q

的必要不充分条件，求实数

m

的取值范围．思维启迪

先化简两不等式，再利用綈

p是綈q的必要不充分条件，求得m

的取值范围．解

由

x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m.∵綈p

是綈q

的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．即p⇒q

但q⇒p.∴{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，∴1－m≤－2，1＋m≥10，解得m≥9.∴实数m

的取值范围为{m|m≥9}．探究提高

(1)本题还可以由p、q

求得綈p、綈q，再进而求解．(2)一个命题与它的逆否命题是等价命题，故常将綈p是綈q

的必要不充分条件，等价转化为q

是p

的必要不充分条件．变式训练

3

已知命题

p：2x2－9x＋a<0，命题

q：x2－4x＋3<0，2x

－6x＋8<0，且綈p

是綈

q

的充分条件，求实数a

的取值范围．解

解

q

得：2<x<3，∵綈

p

是綈

q

的充分条件，∴綈p⇒綈q

即q⇒p.设函数f(x)＝2x2－9x＋a，则命题p

为“f(x)<0”．∴q⇒p，利用数形结合，应有即f2≤0，

2×22－9×2＋a≤0，2f3≤0，

2×3

－9×3＋a≤0，解得a≤10，a≤9，∴a≤9.故实数a

的取值范围是{a|a≤9}．规律方法总结熟练运用数形结合思想，利用

、数轴、函数的图象来帮助分析和理解有关集合之间的关系，进行集合的运算，训练自己的形象思维能力，从而进一步提高自己的抽象思维与形象思维能力．注意利用分类

的思想来解决集合之间的关系和含有参数的问题，如在

A⊆B

的条件下，须考虑

A＝∅和

A≠∅两种情况，要时刻注意对空集的．3．常见量词的否定原词语＝><是都是否定词语≠≤≥不是不都是原词语至少有一个至多有一个至少有n个所有的或且否定词语一个也没有至少有两个至少有n+1

个存在一个且或4．注重利用集合的思想和等价转化的思想来处理简单逻辑问题．如将充要关系的判定转化为集合的包含关系；利用原命题和逆否命题的等价关系进行命题的证明等.知能提升演练一、选择题1．(2010·)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，则集合A∩B

等于A．{x|－1<x<1}C．{x|－2<x<2}(

D

)B．{x|－2<x<1}D．{x|0<x<1}解析

因为

A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，所以A∩B＝{x|0<x<1}，故选

D.2．(2010·π4立的

A．充分不必要条件C．充要条件(

A

)B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

ππ解析

tan

2kπ＋4＝tan

4＝1，反之

tan

x＝1，则

x＝kπ＋π

k∈Z)，∴“x＝2kπ4(π＋4”是“tan

x＝1”的充分不必要条件．3．(2010·4)“m<1

是“一元二次方程x2＋x＋m”＝0

有实数解”的

A．充分非必要条件C．必要非充分条件(

A

)B．充分必要条件

D．非充分非必要条件解析

若一元二次方程

x2＋x＋m＝0

有实数解，1则Δ＝1－4m≥0，因此m≤4.故“m<1

是“方程

x2＋x＋m＝0

有实数解”的充分”4非必要条件．解析

S＝{x|x－2x<0}＝{x|0<x<2}，T

＝

{x|x2

－(2a

＋1)x

＋a2

＋a≥0}＝

{x|x≥a

＋1

或x≤a}，所以a＋1≤2a≥0⇒0≤a≤1，选C.C5．给出如下三个命题：①四个实数a、b、c、d

依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；②命题“若x≥2

且y≥3，则x＋y≥5”为假命题；③若p

或q

为假命题，则p、q均为假命题．其中正确A．①②③

B．①②

C．②③

D．①③b

d解析

①若

a，b，c，d

成等比数列，则有a＝c，即

ad＝bc，但反过来却不一定成立，因此ad＝bc

是a，b，c，

d

成等比数列的必要而不充分条件．②根据不等式的性质，若x≥2，且y≥3⇒x＋y≥5成立，这是真命题．③若p

或q

为假命题，则p、q

均为假命题，正确．故①③正确．D二、填空题6．已知全集

U＝{－2，－1,0,1,2}，集合

A＝{－1,0,1}，B＝{－2，－1,0}，则

A∩(∁UB)＝

{1}

.解析

∁UB＝{1,2}，所以

A∩(∁UB)＝{1}．7．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2解析

A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅得

B⊆A，∵方程

x2＋(m＋1)x＋m＝0

的判别式

Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅，∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1

和m＝2

均符合条件，∴m＝1

或2.＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则

m的值是

1或2

．8．设

p：方程

x2＋2mx＋1＝0

有两个不相等的正根q：方程

x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0

无实根，则使p

或

q

为真，p

且

q

为 实数

m

的取值范围是

(－∞，－2]∪[－1,3)

．解析

令

f(x)＝x2＋2mx＋1.则由

f(0)>0，且－

b

>0，2a且Δ>0，求得

m<－1，∴p：m∈(－∞，－1)．

q：Δ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0⇒－2<m<3.由p

或q

为真，p

且q

为假知，p、q

一真一假．m<－1，m≤－2或m≥3，①当

p

真

q

假时，

即

m≤－2；②当

p

假q

真时，m≥－1，－2<m<3，即－1≤m<3.∴m

的取值范围是

m≤－2，或－1≤m<3.三、解答题9．判断命题“若a≥