2007年数一真题试题+答案

2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题： 1～10小题,每小题 4分,共40分,下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上．．．．(1)当x 0时,与 x等价的无穷小量是 ()(A)1ex.1.1x1.(D)1cosx.(B)lnx(C)1x答案：(B).(2)曲线y1ln(1ex)渐近线的条数为()x(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.答案：(D).(3)如图,连续函数yf(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区2,0,0,2上的图形分别是直径为xf(t)dt,则下列结论正确间2的上、下半圆周,设F(x)0的是()3(A)F(3)F(2).(B)4(C)F(3)3F(2).(D)4答案： (C).

F(3)5F(2).4F(3)5F(2).4设函数f(x)在x0处连续,则下列命题错误的是()．．若limf(x)(A)存在,则x0x(C)若limf(x)存在,则

f(0)0.若limf(x)f(x)(B)存在,则x0xx)f(0)存在.(D)若limf(x)f(存在,则

f(0) 0.f(0) 存在.x0x0xx答案： (D).(5)设函数f(x)在(0,)上具有二阶导数,且f(x)0,令unf(n)(n1,2,),则下列结论正确的是()若(A)u1u2,则un必收敛.(B)若u1u2,则un必发散.(C)若uu,则u必收敛.(D)若uu,则u必发散.12n12n答案：(D).1(6)设曲线 L:f(x,y) 1(f(x,y)具有一阶连续偏导数 ),过第Ⅱ象限内的点 M和第Ⅳ象限内的点N, 为L上从点M到点N的一段弧,则下列积分小于零 的是()．．．(A) f(x,y)dx. (B) f(x,y)dy.(C)f(x,y)ds.(D)fx(x,y)dxfy(x,y)dy.答案：(B).(7)设向量组1,2,3线性无关,则下列向量组线性相关的是()．．．．(A),,,,1.(B)1.1223312233(C),,22,2321.122,21.123(D)2233答案：(A).211100(8)设矩阵A121,B010,则A与B()112000(A) 合同,且相似. (B) 合同,但不相似.(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同,也不相似.答案： (B).(9)某人向同一目标独立重复射击 ,每次射击命中目标的概率为 p(0 p 1),则此人第 4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ()(A) 3p(1p)2.(B) 6p(1p)2. (C)3p2(1 p)2. (D) 6p2(1 p)2.答案： (C).(10)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率且密度,则在Y y条件下, X的条件概率密度 fXY(xy)为()f(x)(A)fX(x).(B)fY(y).(C)fX(x)fY(y).(D)X.fY(y)答案：(A).二、填空题：11～16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.．．．211.(11)3exdxx2答案：e.2(12)设f(u,v)为二元可微函数,zf(xy,yx),则z.x答案：zfyx)yxyf2(xy,yx)yxlny(x,y11x.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y.答案：非齐次线性微分方程的通解为yC1ex23x2e2x.Ce(14)设曲面:xyz1,则(xy)dS.答案：(xy)dSydS14343.33010 0(15)设距阵 A 0010 ,则A3的秩为.001000答案： r A3 1.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数1,则这两数之差的绝对值小于的概率为.32答案：.三、解答题：17～24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤 .(本题满分11分)求函数 f(x,y)x2 2y2x2y2,在区域D(x,y)x2y24,y0上的最大值和最小值 .答案： 函数在D上的最大值为 f(0,2)8,最小值为 f(0,0) 0.(本题满分10分)计算曲面积分 I xzdydz2zydzdx3xydxdy, 其中 为曲面z 1x2y2(0z1)的上侧.4答案： I .3(本题满分11分)设函数 f(x),g(x)在 a,b上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值 ,又f(a)＝g(a),f(b)＝g(b),证明：存在 (a,b),使得f''() g''().证明： 设 (x) f(x) g(x),由题设 f(x),g(x)存在相等的最大值 ,设x1 (a,b), x2 (a,b)使f(x1)maxf(x)g(x2)maxg(x).[a.b][a.b]若x1 x2,即f(x)与g(x)在同一点取得最大值 ,此时,取 x1,有f() g()；若x1 x2,不妨设 x1 x2,则 (x1) f(x1) g(x1) 0, (x2) f(x2) g(x2) 0,且(x)在 a,b上连续,则由零点定理得存在 (a,b),使得 ( ) 0,即f() g()；由题设 f(a)＝g(a),f(b)＝g(b),则 (a) 0 (b),结合 () 0,且 (x)在 a,b上连续,在(a,b)内二阶可导 ,应用两次使用罗尔定理知：存在 1 (a,),2 (,b),使得 (1)＝0,(2) 0.在[1, 2]再由罗尔定理 ,存在 (1,2)，使 () 0.即f() g() .(本题满分10分)设幂级数an在(,)内收敛,其和函数y(x)满足y2xy4y0,y(0)0,y(0)1.nxn0(I)证明an22na,n1,2,.1求y(x)的表达式.答案：(I)证明：对yaxnn,求一阶和二阶导数,得ynanxn1,yn(n1)anxn2,n0n1n2代入y2xy4y0,得n(n1)anxn22xnanxn14anxn0.n2n1n0即(n1)(n2)an2xn2nanxn4anxn0.n0n1n04于是2a24a00从而a2(n1)a2a0,n1,2,,n2n1an,n1,2,.n2nyxe2.(本题满分11分)x1x2x30设线性方程组x12x2ax30(1)与方程x12x2x3a1(2)有公共解,求a得x14x2a2x30值及所有公共解.1110答案：当a1时,(Ab)0100,所以方程组的通解为k(1,0,1)T,k为任意常数,此即为00000000方程组(1)与(2)的公共解.1 1 1 0当a20110,此时方程组有唯一解(0,1,1)T,此即为方程组(1)与时,(Ab)00110000(2)的公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A的特征值11,22,32,1(1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量.记BA54A3其中E为3阶单位矩阵.E,验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量；求矩阵B.答案：由A11,可得Ak)Ak11,k(I)1Ak1(A11是正整数,则B1(A53A54A3421,11114AE)11E11是矩阵B的属于特征值2于是1特征向量.所以B的所有的特征向量为：对应于12的全体特征向量为k1,其中k1是非零任意常1数,对应于231的全体特征向量为k22k33,其中k2,k3是不同时为零的任意常数.5200011(II)BP010P1101.001110(23)(本题满分 11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)2xy,0x1,0y1,0,其他,(I)求PX2Y；(II)求ZXY的概率密度fZ(z).答案：111PXdxxxy)dy(x5x2)dx7(I)2Y2(2.0008242zz2,0z1,(II)fZ(z)z24z4,1z2,0,其他.(24)(本题满分11分)1,0x,2设总体X的概率密度为f(x;)1,x1,其中参数(01)未2(1)0,其他知,X1,X2,...Xn是来自总体 X的简单随机样本 ,X是样本均值 .(I) 求参数 的矩估