曲面方程高等数学卓越

曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹.曲面方程的定义：一、空间曲面方程如果曲面

与三元方程F

(x,y,z)

0

有下述关系：曲面上任一点的坐标都满足方程；不在曲面上的点的坐标都不满足方程；那么,方程F

(x,y,z)

0

就称为曲面

的方程,而曲面∑称为方程的图形.F

(x,

y,

z)

0zxo上机动页下页返回结束例1.求动点到定点

M0

(x0

,y0

,z0

)距离为

R的轨迹方程.解:设轨迹上动点为M

(x,y,z),依题意即xyzoM0M表示半球面（3）

x2

y2

z2

2x

4

y.

0表示怎样球面?(

x

x0

)2

(

y

y

)2

(z

z

)2

R0

0

(

y

y0

)2

(z

z0

)2

R2x

2

y

2

z

2

R

2故所求方程(x为

x0

)2注：（1）当M0在原点时,球面方程为M0

M

RR2上机动页下页返回结束（2）z

x2

y2定义旋转一周所成的曲面,称为旋转曲面.线称母这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲

线.例如:一条平面曲线绕其平面上的一条直线母线轴二、旋转曲面上机动页下页返回结束建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为给定yoz

面上曲线M(

x,

y,

z)x2z

z

,

y2

y1

1C若:点

M

(0,

y

,

z

)

C,

则有1

1

1f

(

y1

,

z1

)

0当绕z

轴旋转时,该点转到M

(x,y,z),则有x2f

(

y2

,

z)

0f

(

y,

z)

0ozxCM1

(0,

y1

,

z1

)上机动页下页返回结束C

:

f

(

y,

z)

0oyz当曲线C

绕y

轴旋转一周的旋转曲面方程为x2f

(

y

,

z2

)

0xxOz

坐标面上的已知曲线f

(x,z)

0绕x

轴旋转一周的旋转曲面方程为上机动页下页返回结束y2f

(

x,

z2

)

0解x2z

y2

cotyOz面上直线方程为z

y

cot圆锥面方程例2直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角(0

)称为2圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为

的圆锥面的方程.yxzOxyzO上机动页下页返回结束圆锥面的方程也可写成圆锥面的几种常用形式z

x2

y2与x2z

1

y2

,

z

2(

x2

y2

)分别表示开口朝上与朝下的半锥面.(a

cot

0)z2

a2

(

x2

y2

)上机动页下页返回结束xyx2a2

c2

y2

z2

1绕z

轴旋转所成曲面方程为

z2a2x2

y2

1c2这两种曲面都叫做旋转双曲面.轴和z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x

轴旋转所成曲面方程为x2

z2上机动页下页返回结束a2

c2例3.

求坐标面

xoz

上的双曲线

1

分别绕

xxyz三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.圆x2

y2

R2表示圆柱面oClMM1解:在xoy

面上，x2

y2

R2

表示圆C,1在圆C上任取一点

M

(

x,

y,0),

过此点作平行z

轴的直线

l,对任意

z

,点M

(x,y,z)的坐沿标曲也线满C平足行方于程zx轴2

的y一2

切R直2

线所形成的曲面称为柱面.其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间x2上机动页下页返回结束

y2

R2xyzxyzo表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.

1表示母线平行于z

轴的椭圆柱面.定义

平行定直线并沿定曲线

C

移动的直线

l

形成的轨迹叫做柱面.

C叫做准线,

l

叫做母线.x2

y2

b2a2x

y

0

表示母线平行于z轴的平面.(且z

轴在平面上)Cxyzoo上机动页下页返回结束xl2一般地,在三方程G(y,z)

0

表示柱面,母线平行于x

轴;准线yoz

面上的曲线l2.方程H

(z,x)

0

表示柱面,母线平行于

y

轴;准线xoz

面上的曲线l3.母线平行于z轴;准线xoy

面上的曲线

l方程F

(x,y)

0

表示柱面,1.xzl3xyl1上机动页下页返回结束四、二次曲面三元二次方程Ax2

By2

Cz2

Dxy

Eyx

FzxGx

Hy

Iz

J

0(二次项系数不全为

0)的图形通常为二次曲面.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见

的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法上机动页下页返回结束1.椭球面范围：x

a,

y

b,

z

c与坐标面的交线：椭圆

1

,2

b2z

0

a2

c2

x2

y2

y2

z2

1

,x

0

b

x2

z2

12

c2y

0

ax2

y2

z2a2

b2

c2上机动页下页返回结束

1（a,b,c为正数）x2

y2

z2a2

b2

c2

1(3)

截痕:与z

z1

(z1

c)的交线为椭圆：同样也为椭圆.(4)

当

a＝b

时为旋转椭球面;

当a＝b＝c

时为球面.x2y21c2z

z1a2

(c2

z

2

)1c2b2

(c2

z

2

)

1(a,b,c为正数)y

y1

(

y1

b

)

及

x

x1（

x1

a）的截痕上机动页下页返回结束x22.

抛物面(1)

椭圆抛物面2y2

p

2q

z(p,q

同号)zxyoz上机动页下页返回结束oyxp

0,

q

0p

0,

q

0特殊地:

当

p

q

时,

方程变为

z

旋转抛物面2

p

2

p2yx2z

1

x2

y2分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.例如z

2

x2

y2与xyzOp

q

02

p

2qy22x

z

(p

与q

同号)设

p

0,

q

0xy图形如下：zO(2)

双曲抛物面(马鞍面)3.

双曲面(1)单叶双曲面xx2

y